Aufgabe 4439
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking - Aufgabe B_508
Teil b
Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Tomasz Majewski im Kugelstoßfinale der Männer. Die Flugbahn der Kugel kann modellhaft durch den Graphen der Funktion h mit
\(h\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
beschrieben werden.
x, h(x) |
Koordinaten der Flugbahn in m |
An der Stelle x = 0 kann die Geschwindigkeit der Kugel durch den Geschwindigkeitsvektor \(\overrightarrow {{v_M}} \) beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die fehlenden Ausdrücke in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Verwenden Sie dabei den Winkel α.
\(\overrightarrow {{v_M}} = \left| {\overrightarrow {{v_M}} } \right| \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boxed{}} \\ {\boxed{}} \end{array}} \right)\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Weisen Sie nach, dass gilt:
tan(α) = b
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir zerlegen den Vektor vm in eine Komponente in x-Richtung und in eine Komponente in y-Richtung, wodurch ein rechtwinkeliges Dreieck aufgespannt wird. Wir wissen, dass im rechtwinkeligen Dreieck folgende Zusammenhänge gelten:
\(\begin{array}{l} {\rm{Hypotenuse = }}\left| {\overrightarrow {{v_m}} } \right|\\ {{\rm{v}}_x} = {\rm{Ankathete}} = {\rm{Hypotenuse}} \cdot {\rm{cos}}\left( \alpha \right)\\ {{\rm{v}}_y} = {\rm{Gegenkathete}} = {\rm{Hypotenuse}} \cdot \sin \left( \alpha \right) \end{array}\)
Da die Hypotenuse in der gegebenen Gleichung bereits „herausgehoben“ wurde, ergibt sich die gesuchte Lösung zu:
\(\overrightarrow {{v_m}} = \left| {\overrightarrow {{v_m}} } \right| \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( \alpha \right)}\\ {\sin \left( \alpha \right)} \end{array}} \right)\)
2. Teilaufgabe:
Die Steigung k der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt. Für die Steigung k und den Steigungswinkel Alpha gilt folgender Zusammenhang:
\(k = \dfrac{{df}}{{dx}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \left( \alpha \right)\)
Wir bestimmen daher die Steigung der Tangente k an der Stelle x=0 (gemäß Abbildung) wie folgt:
\(\begin{array}{l} h\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\\ h'\left( x \right) = 2 \cdot a \cdot x + b\\ \\ h'\left( {x = 0} \right) = b \to k = b = \tan \left( \alpha \right){\rm{ wzbw}}{\rm{.}} \end{array}\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\overrightarrow {{v_m}} = \left| {\overrightarrow {{v_m}} } \right| \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( \alpha \right)}\\ {\sin \left( \alpha \right)} \end{array}} \right)\)
2. Teilaufgabe
\(h'\left( {x = 0} \right) = b \to k = b = \tan \left( \alpha \right)\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Ausdrucke.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Nachweisen.