Aufgabe 4441
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Meerwasser und mehr Wasser - Aufgabe B_509
Teil a
Die Funktion V beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf des Wasservolumens eines bestimmten Sees. Dabei wird das Wasservolumen in Kubikmetern und die Zeit t in Tagen angegeben. V erfüllt die folgende Differenzialgleichung:
\(\dfrac{{dV}}{{dt}} = 0,001 \cdot \left( {350 - V} \right){\text{ mit }}V > 0\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie anhand der Differenzialgleichung, für welche Werte von V das Wasservolumen dieses Sees gemäß diesem Modell zunimmt.
[0 / 1 P.]
2 Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[0 / 1 P.]
Zur Zeit t = 0 betragt das Wasservolumen 150 m3.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
dV/dt ist gibt die Tangente an die Funktion V(t) an. Wenn dV/dt positiv ist, also die Tangente steigt, dann nimmt das Wasservolumen im See zu:
\(\begin{array}{l} \dfrac{{dV}}{{dt}} = 0,001 \cdot \left( {350 - V} \right){\rm{ > 0}}\\ \\ {\rm{0}}{\rm{,35 - 0}}{\rm{,001}} \cdot {\rm{V > 0}}\\ {\rm{0}}{\rm{,35 > 0}}{\rm{,001}} \cdot {\rm{V}}\\ \\ V < 350 \end{array}\)
→ Das Volumen nimmt zu, solange V kleiner als 350 m³ ist.
Gedanklich kann man sich vorstellen, dass das Wasser über einen Bach abfließt, sobald er Seepegel eine Grenze übersteigt, die 350 m³ entspricht.
2. Teilaufgabe:
Will man die allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen ermitteln, so geht man dreistufig vor:
1. Lösungsschritt: Wir trennen die Variablen so, dass auf der linken Seite V und dV zu stehen kommt und auf der rechten Seite dt samt einem konstanten Faktor
\(\begin{array}{l} \dfrac{{dV}}{{dt}} = 0,001 \cdot \left( {350 - V} \right)\,\,\,\,\,\left| { \cdot dt} \right.\\ dV = 0,001 \cdot \left( {350 - V} \right) \cdot dt\,\,\,\,\,\left| {:(350 - V)} \right.\\ \dfrac{1}{{(350 - V)}} \cdot dv = 0,001 \cdot dt \end{array}\)
2. Lösungsschritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung
\(\begin{array}{l} \int {\dfrac{1}{{(350 - V)}}} \,\,dv = \int {0,001} \,\,dt\\ \\ Nr:\\ \int {\dfrac{1}{x}} \,\,dx = \ln \left| x \right|\\ \int {\dfrac{1}{{c - x}}} \,\,dx = - \ln \left| {c - x} \right|\\ \\ - \ln \left| {350 - V} \right| = 0,001 \cdot t + {C_1} \end{array}\)
3. Lösungsschritt: Man versucht - was nicht immer möglich ist - die Auflösung der nunmehr vorliegenden impliziten Gleichung vom Typ G(y)=F(t) nach der Variablen „y“.
\(\begin{array}{l} - \ln \left| {350 - V} \right| = 0,001 \cdot t + {C_1}\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.\\ \ln \left| {350 - V} \right| = - 0,001 \cdot t - {C_1}\,\,\,\,\,\left| { \cdot e} \right.\\ \left| {350 - V} \right| = {e^{ - 0,001 \cdot t - {C_1}}} = {e^{ - {C_1}}} \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\\ 350 - V = \pm {e^{ - {C_1}}} \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| { \pm {e^{ - {C_1}}}} \right. = C\\ 350 - V = C \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\,\,\,\,\,\,\left| { - 350\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.} \right.\\ \\ V\left( t \right) = 350 - C \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\, \end{array}\)
Somit kennen wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
3. Teilaufgabe:
Indem wir die Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t=0 einbeziehen wird aus der allgemeinen die spezielle Lösung:
\(\begin{array}{l} V\left( {t = 0} \right) = 350 - C \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\, = 150\,\,\,\,\,\left| { - 150\,\,\,\,\, + } \right.C \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\\ C \cdot {e^{ - 0,001 \cdot 0}} = 200\\ C \cdot 1 = 200 \to C = 200\\ \\ V(t) = 350 - 200 \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}} \end{array}\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Das Volumen nimmt zu, solange V kleiner als 350 m³ ist.
2. Teilaufgabe
\(V\left( t \right) = 350 - C \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\,\)
3. Teilaufgabe
\(V(t) = 350 - 200 \cdot {e^{ - 0,001 \cdot t}}\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Argumentieren.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der allgemeinen Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der speziellen Lösung der Differenzialgleichung.