Aufgabe 4510

1. Teilaufgabe:

Wir stellen die Kostenfunktion auf und erhalten nach Division durch x die Stückkostenfunktion. Danach leiten wir die Stückkostenfunktion ab und bestimmen die Nullstelle von deren 1. Ableitung, da dort das Minimum der Stückkostenfunktion – das Betriebsoptimum bzw. die langfristige Preisuntergrenze - liegt.

Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsoptimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten und seine variablen Kosten. Wird ein höherer Preis als die langfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so macht das Unternehmen Gewinn.

\(\begin{array}{l} K\left( x \right) = {K_v}(x) + {K_f}\\ K\left( x \right) = \left( {0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x} \right) + 450\\ \\ \overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left[ x \right]}}{x} = 0,0029 \cdot {x^2} - 0,45 \cdot x + 24 + \dfrac{{450}}{x} \end{array}\)

Nun bestimmen wir die NST der Stückkostenfunktion

\(\begin{array}{l} \overline {K'} \left( x \right) = 0,0058 \cdot x - 0,45 - \frac{{450}}{{{x^2}}} = 0\\ x = 87,6787 \end{array}\)

Die Stückzahl im Betriebsoptimum beträgt also 87,68 ME

Mit Hilfe dieser Stückzahl bestimmen wir die langfristige Preisuntergrenze wie folgt:
\(\begin{array}{l} \overline K (x = 87,6787) = \\ = 0,0029 \cdot {87,6787^2} - 0,45 \cdot 87,6787 + 24 + \dfrac{{450}}{{87,6787}} = 11,9709 \end{array}\)

→ Die langfristige Preisuntergrenze beträgt rund 11,97 GE/ME.

Hier die beiden Zwischenrechnungen mit Wolfram Alpha:

0.0058x-0.45-(450)/(x^(2))=0

0.0029*87.6787^(2)-0.45*87.6787+24+(450)/(87.6787)=

2. Teilaufgabe:

Zur besseren Veranschaulichung beschriften wir die gegebenen Funktionen etwas ausführlicher :

Bild

\(\eqalign{ & {\text{Kostenfunktion}} \cr & K\left( x \right) = {K_v}\left( x \right) + {K_F}\left( x \right) = \left[ {0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x} \right] + \left[ {450} \right] \cr & \cr & {\text{Grenzkostenfunktion}} \cr & K'\left( x \right) = 0,0087{x^2} - 0,9x + 24 \cr & \cr & {\text{Durchschnittskostenfunktion}} \cr & \overline K (x) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} + \dfrac{{{K_F}(x)}}{x} = \left[ {0,0029{x^2} - 0,45 \cdot x + 24} \right] + \left[ {\dfrac{{450}}{x}} \right] \cr & \cr & {\text{variable Durchschnittkostenfunktion}} \cr & \overline {{K_v}} = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} = 0,0029x - 0,45x + 24 \cr} \)

• Kostenkehre: Tiefpunkt der Grenzkosten K‘. Die Kostenkehre liegt an der Stelle x=50 ME
• Fixkosten: Die Fixkosten kann man nicht aus der Abbildung herauslesen. Wir kennen den Wert zwar mit 450 GE, aber nur aus der Angabe zur 1. Teilaufgabe → Ankreuzen
• Betriebsminimum: Das Betriebsminimum liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten ihr Minimum haben. Das ist an der Stelle x=77 ME
• Betriebsoptimum: Das Betriebsoptimum liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat. Das ist an der Stelle x=88 ME
• Kurzfristige Preisuntergrenze: Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten ihr Minimum haben. Das ist an der Stelle y=7 GE

Vollständigkeitshalber:

• Langfristige Preisuntergrenze: Die langfristige Preisuntergrenze liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat. Das ist an der Stelle x=12 GE

Somit ergibt sich folgendes Gesamtbild:

Bild

Somit ergibt sich folgendes Gesamtbild unter Einbeziehung der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Es sind zudem die grafischen Konstruktionsmöglichkeiten durch Tangenten und WP angeführt 

Bild

3. Teilaufgabe:

Der Höchstpreis ist der Preis, zu dem niemand mehr bereit ist, auch nur 1 ME zu kaufen. Wir erhalten den Höchstpreis somit an der Stelle x=0
\(\eqalign{ & {p_N}\left( x \right) = - 0,16 \cdot x + 30 \cr & {p_N}(x = 0) = 30 \cr} \)

→ Der Höchstpreis beträgt 30 GE

4. Teilaufgabe:

Der Cournot’sche Punkt ist jener Punkt auf der Gewinn-Funktion bei dem sich das Gewinnmaximum befindet. Die Gewinnfunktion ergibt sich als die Differenz von der Erlös- und der Kostenfunktion

• x-Koordinate: Jene Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt
• y-Koordinate: Preis bei gewinnmaximaler Produktionsmenge

Zuerst ermitteln wir die Gewinnfunktion.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)

Die dafür erforderliche Erlösfunktion ergibt sich aus der Preisfunktion der Nachfrage multipliziert mit x:
\(\eqalign{ & G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right) \cr & G\left( x \right) = {p_N}\left( x \right) \cdot x - K\left( x \right) = {p_N}\left( x \right) - {K_v}(x) - {K_F} \cr & G(x) = \left( { - 0,16 \cdot x + 30} \right) \cdot x - \left[ {0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x + 450} \right] \cr & G(x) = - 0,0029 \cdot {x^3} + 0,29 \cdot {x^2} + 6 \cdot x - 450 \cr} \)

Damit wir das Gewinnmaximum bestimmen können leiten wir die Gewinnfunktion einmal ab und setzen die Ableitung Null:

\(\eqalign{ & G(x) = - 0,0029 \cdot {x^3} + 0,29 \cdot {x^2} + 6 \cdot x - 450 \cr & \cr & G'\left( x \right) = - 3 \cdot 0,0029 \cdot {x^2} + 2 \cdot 0,29 \cdot x + 6 \cr & G'\left( x \right) = - 0,0087 \cdot {x^2} + 0,58 \cdot x + 6 \cr & \cr & - 0,0087 \cdot {x^2} + 0,58 \cdot x + 6 = 0 \cr & \left( {{x_1} = - 9,1021} \right) \cr & {x_2} = 75,7688 \cr} \)

Die Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt, beträgt 76 Stück.

Diese Menge setzen wir in die Preisfunktion der Nachfrage ein um den Cournot'schen Preis zu erhalten:
\({p_N}(x = 75,7688) = - 0,16 \cdot 75,7677 + 30 = 17,877\)

→ Der Cournot’sche Preis beträgt 17,88 GE

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