surjektiv
Surjektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen
Abhängig von der Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge unterscheidet man zwischen bijektiven, injektiven und surjektiven Funktionen.
Bijektivität
Bijektiv oder umkehrbar eindeutig ist eine Funktion f(x) dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge Df eindeutig ein Element y der Wertemenge Wf zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge Wf genau ein Element x der Definitionsmenge Df gehört. Umkehrbar eindeutige Funktionen heißen auch „ein-eindeutig“. Die Zuordnung von Wertepaaren ist also in beide Richtungen eindeutig, daher „umkehrbar“ eindeutig. Bijektive Funktionen sind daher sowohl injektiv als auch surjektiv.
Um zu zeigen, dass eine Funktion bijektiv ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt, muss man zeigen, dass sie
- entweder streng monoton steigend ist, dh man zeigt, dass f'(x)>0 ist
- oder dass sie streng monoton fallend ist, dh man zeigt, dass f'(x)<0 ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = y\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x \cr & {f^{ - 1}} = {\text{Umkehrfunktion}} \cr}\)
Illustration einer bijektiven Funktion
Umkehrfunktion
Eine bijektive Funktion ist immer invertierbar, sie hat also eine Umkehrfunktion. Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f-1, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Graph der Umkehrfunktion f-1 geht durch Spiegelung vom Funktionsgraphen f um die 1. Mediane hervor.
Reziproke Funktion
Der Kehrwert einer Funktion wird als reziproke Funktion bezeichnet. Achtung: Die reziproke Funktion ist ungleich der Umkehrfunktion
\(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)
Illustration einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion
Injektivität
Injektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird höchstens von einem (oder keinem) Pfeil aus der Definitionsmenge getroffen.
Illustration einer injektiven, aber nicht surjektiven Funktion
Surjektivität
Surjektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird mindestens von einem (oder mehreren) Pfeil(en) aus der Definitionsmenge getroffen.
Illustration einer surjektiven, aber nicht injektiven Funktion
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Aufgaben
Aufgabe 110
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Aussagen!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar bijektiv, injektiv und surjektiv
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Aufgabe 111
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Aussagen!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar bijektiv, injektiv und surjektiv
Aufgabe 112
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage1 : Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar injektiv, sie ist aber nicht surjektiv oder bijektiv.
Aufgabe 113
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die surjektiv ist
- Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die bijektiv ist
- Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor, die aber weder injektiv, noch surjektiv ist
Aufgabe 114
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die sogar surjektiv ist
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor, da x3 auf mehrere Elemente aus Wf verweist
- Aussage 3: Es liegt keine Funktion vor, da auf y3 von den Elementen x2 und x3 aus Df verwiesen wird.
- Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
- Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor
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Aufgabe 115
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die sogar surjektiv ist
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor, da x3 auf mehrere Elemente aus Wf verweist
- Aussage 3: Es liegt keine Funktion vor, da auf y3 von den Elementen x2 und x3 aus Df verwiesen wird.
- Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
- Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor
Aufgabe 116
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
Aufgabe 121
Eigenschaften von Funktionen
Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es gibt Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv sind
- Aussage 2: Eine Funktion kann sowohl monoton steigende als auch monoton fallende Abschnitt beinhalten
- Aussage 3: Jede Funktion muss entweder injektiv oder surjektiv oder bijektiv sein.
- Aussage 4: Existiert eine Umkehrfunktion, dann ist die Funktion auch bijektiv
Aufgabe 122
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
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