Bijektive, injektive und surjektive Funktionen
Formel
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen
Abhängig von der Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge unterscheidet man zwischen bijektiven, injektiven und surjektiven Funktionen.
Bijektivität
Bijektiv oder umkehrbar eindeutig ist eine Funktion f(x) dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge Df eindeutig ein Element y der Wertemenge Wf zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge Wf genau ein Element x der Definitionsmenge Df gehört. Umkehrbar eindeutige Funktionen heißen auch „ein-eindeutig“. Die Zuordnung von Wertepaaren ist also in beide Richtungen eindeutig, daher „umkehrbar“ eindeutig. Bijektive Funktionen sind daher sowohl injektiv als auch surjektiv.
Um zu zeigen, dass eine Funktion bijektiv ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt, muss man zeigen, dass sie
- entweder streng monoton steigend ist, dh man zeigt, dass f'(x)>0 ist
- oder dass sie streng monoton fallend ist, dh man zeigt, dass f'(x)<0 ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = y\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x \cr & {f^{ - 1}} = {\text{Umkehrfunktion}} \cr}\)
Illustration einer bijektiven Funktion
Umkehrfunktion
Eine bijektive Funktion ist immer invertierbar, sie hat also eine Umkehrfunktion. Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f-1, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Graph der Umkehrfunktion f-1 geht durch Spiegelung vom Funktionsgraphen f um die 1. Mediane hervor.
Reziproke Funktion
Der Kehrwert einer Funktion wird als reziproke Funktion bezeichnet. Achtung: Die reziproke Funktion ist ungleich der Umkehrfunktion
\(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)
Illustration einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion
Injektivität
Injektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird höchstens von einem (oder keinem) Pfeil aus der Definitionsmenge getroffen.
Illustration einer injektiven, aber nicht surjektiven Funktion
Surjektivität
Surjektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird mindestens von einem (oder mehreren) Pfeil(en) aus der Definitionsmenge getroffen.
Illustration einer surjektiven, aber nicht injektiven Funktion
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
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Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 6031
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion
\(f:x \mapsto 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ mit }}{D_f} = \left] {0;1} \right[\).
Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Bestimmen Sie die Nullstelle von f.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von Df
3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von Gf an.
4. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Begründen Sie, dass f in Df umkehrbar ist.
5. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von Gf .
6. Teilaufgabe b.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente w an Gf im Wendepunkt W von Gf .
(zur Kontrolle: x-Koordinate von W: 1/2)
Verschiebt man Gf so, dass der Wendepunkt W im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion g.
7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie den Funktionsterm von g an.
8. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Welche Folgerung für Gf ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist?
9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeichnen Sie Gf und die Tangente w unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.
Gf schließt mit den Koordinatenachsen und der Tangente w ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein.
10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie A.
Aufgabe 121
Eigenschaften von Funktionen
Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es gibt Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv sind
- Aussage 2: Eine Funktion kann sowohl monoton steigende als auch monoton fallende Abschnitt beinhalten
- Aussage 3: Jede Funktion muss entweder injektiv oder surjektiv oder bijektiv sein.
- Aussage 4: Existiert eine Umkehrfunktion, dann ist die Funktion auch bijektiv
Aufgabe 122
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
Aufgabe 123
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine reellwertige Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
Anmerkung: Der Graph nähert sich asymptotisch der negativen x-Achse an.
- Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
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Aufgabe 110
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Aussagen!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar bijektiv, injektiv und surjektiv
Aufgabe 111
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Aussagen!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar bijektiv, injektiv und surjektiv
Aufgabe 112
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage1 : Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar injektiv, sie ist aber nicht surjektiv oder bijektiv.
Aufgabe 113
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die surjektiv ist
- Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die bijektiv ist
- Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor, die aber weder injektiv, noch surjektiv ist
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Aufgabe 115
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die sogar surjektiv ist
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor, da x3 auf mehrere Elemente aus Wf verweist
- Aussage 3: Es liegt keine Funktion vor, da auf y3 von den Elementen x2 und x3 aus Df verwiesen wird.
- Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
- Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor
Aufgabe 116
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
Aufgabe 117
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
Aufgabe 118
Eigenschaften von Funktionen
Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!
- Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
- Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
- Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
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