Periodische Funktion

Formel

Periodische Funktion

Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist. Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periode T lang. Die Zeit T wird als die Periode bzw. als die Schwingdauer des Systems bezeichnet

\(x\left( {t + T} \right) = x\left( t \right)\)

Funktion p Funktion p: p(x) = f(x) + g(x) + h(x) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) T Text9 = “T”

Frequenz

Die Frequenz ist ein Maß für die „Häufigkeit“ der Wiederholungen einer Schwingung pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist daher die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen.

\(f = \dfrac{1}{T}\)

Periodendauer

Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.

\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Funktion f f(x) = 2sin(2x - 10) Strecke g Strecke g: Strecke D, E Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” A_0 text2 = “A_0” A_0 text2 = “A_0” -A_0 text3 = “-A_0” -A_0 text3 = “-A_0” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” ${\varphi }$ text5 = “${\varphi }$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” A Text3 = “A”

Bei einer Schwingung vom Typ \(f\left( t \right) = {A_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\)gibt

  • A0 die Höhe der Amplitude an
  • \(\omega \) die Kreisfrequenz, gemessen in der Anzahl der vollen Schwingungen in einem Intervall der Länge \(2 \cdot \pi \)
  • \(\varphi\) den Phasenverschiebungswinkel , als den Winkel an um den der Nulldurchgang der Schwingung gegenüber t=0 verschoben ist.

Ein Anschauungsbeispiel aus der Elektrotechnik:

In der Elektrotechnik beträgt die Periodendauer bei in Europa gebräuchlichem 50 Hz Wechsel- oder Drehstrom 20 msec (1sec dividiert durch 50 Hz). Eine Halbperiode, das ist die Zeit von einem Nulldurchgang (=Vorzeichenwechsel) zum nächsten Nulldurchgang beträgt daher 10 msec (20msec : 2 Halbwellen). D.h. man muss maximal 10 msec warten, bis die betrachtete elektrische Größe für kurze Zeit zu Null wird.

Wellenlänge

Als Wellenlänge bezeichnet man bei einer wellenförmigen Ausbreitung den kleinsten Abstand zweier Punkte gleicher Phase. Die Wellenlänge errechnet sich indem man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c im jeweiligen Medium durch die Frequenz dividiert. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauern. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(\lambda = \dfrac{c}{f}\)

Beispiele für Ausbreitungsgeschwindigkeiten:

  • Für Schallwellen: c = 343 m/s
  • Für elektromagnetische Wellen: c = 299 792 458 m/s

Zusammenhang zwischen Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge

Die Periodendauer T entspricht der Kehrwert der Frequenz, bzw. der Quotient aus Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium.

\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{\dfrac{c}{\lambda }}} = \dfrac{\lambda }{c}\)

Schwingung

Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauer. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(T = \dfrac{1}{f}\)

Harmonische Schwingung

Harmonische Schwingungen sind ein Sonderfall der periodischen Schwingung, da sie durch Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden können. Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.

  • Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
  • Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung

Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, sin(x)) Funktion g g(x) = Wenn(x > 0, cos(x)) Strecke k Strecke k: Strecke C, E Strecke j Strecke j: Strecke D, F Strecke m Strecke m: Strecke F, G Strecke n Strecke n: Strecke A, H Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Punkt A A = (-3, 0) Punkt A A = (-3, 0) Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) x(t) = sin(ωt) Text1 = “x(t) = sin(ωt)” x(t) = cos(ωt) Text2 = “x(t) = cos(ωt)”

Die Funktion u(t) beschreibt einen Schwingungsvorgang, wie er bei mechanischen oder elektrischen Schwingkreisen vorkommt.

\(\eqalign{ & u\left( t \right) = U \cdot \cos \left( {wt + \varphi } \right) \cr & u\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + b \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \cr & u\left( t \right) = U \cdot {e^{\left( {\omega t + \varphi } \right)}} \cr}\)

U die Amplitude der Schwingung (deren Maximalauslenkung)
\(\omega\) die Kreisfrequenz

Dabei gilt:

\(\eqalign{ & \omega = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr}\)

T die Schwingungsdauer
\(\varphi\) der Nullphasenwinkel, also der Winkel zum Zeitpunkt t=0

Änderung von Parametern einer harmonischen Schwingung

Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
    \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
    • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
​Illustration 
  • In rot die Sinusfunktion.
  • In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
  • In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind.

Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 0.75cos(x) Funktion h h(x) = sin(x + 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) sin(x) Text1 = “sin(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$”

Phasenverschiebung c zwischen Sinus und Kosinus

Anmerkung: In der Technik bevorzugt man die Sinus Darstellung gegenüber der Kosinus Darstellung. Dies ist immer möglich, da man durch Berücksichtigung einer Phasenverschiebung c die beiden Winkelfunktionen in einander umrechnen kann gemäß

  • \(\sin \left( x \right) = \cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
  • \(\cos \left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Periodische Funktion
Periodendauer
Schwingung
Frequenz f
Nulldurchgang
Wellenlänge
Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Halbwelle
Harmonische Schwingung
Amplitude
Schwingungsdauer
Kreisfrequenz
Phasenverschiebung zwischen Sinus und Kosinus
Gleichung einer Schwingung
Phasenverschiebungswinkel
Parameter einer Schwingung

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Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen

Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu  genau einem Element y der Wertemenge.

Aktuelle Lerneinheit

Periodische Funktion

Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird

 

 

 

 

 

Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit

Wichtige Funktionswerte

Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum.
Grad einer Funktion

Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x.
Polynomfunktionen n-ten Grades

Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen.
Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Wurzelfunktionen

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x
Potenzfunktionen

Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. 
Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis
Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. 
Gebrochenrationale Funktionen

Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional.
Quadratische Funktion

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Intervallweise lineare Funktion

Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben.
Lineare Funktion

Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist.
Nullstelle einer Funktion

Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x).
Gerade und ungerade Funktionen

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen

Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört.
Taylorpolynom

Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren
Parameter von Funktionen

Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion.
Aufgaben zu diesem Thema
Lösungsweg

Aufgabe 1281

AHS - 1_281 & Lehrstoff: FA 6.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graphen von Winkelfunktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen f1, f2, f3 und f4.

Funktion f f(x) = 3cos(x) Funktion g g(x) = -2sin(x) Funktion h h(x) = cos(x) Funktion i i(x) = 0.5sin(x) f_1 Text1 = "f_1" f_1 Text1 = "f_1" f_2 Text2 = "f_2" f_2 Text2 = "f_2" f_3 Text3 = "f_3" f_3 Text3 = "f_3" f_4 Text4 = "f_4" f_4 Text4 = "f_4"

A \(\sin \left( {2x} \right)\)
B \(- 2 \cdot \sin \left( x \right)\)
C \(\dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( x \right)\)
D \(\cos \left( x \right)\)
E \(\cos \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)
F \(3 \cdot \cos \left( x \right)\)

 

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier dargestellten Funktionsgraphen jeweils die passende Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!

  Deine Antwort
f1  
f2  
f3  
f4  
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.1
Winkelfunktionen
Periodische Funktion
Graphen von Winkelfunktionen - 1281. Aufgabe 1_281
Parameter einer Sinusfunktion
LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1285

AHS - 1_285 & Lehrstoff: FA 6.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion
Die Funktion cos(x) kann auch durch eine allgemeine Sinusfunktion beschrieben werden.

  • Aussage 1: \(sin \left( {x + 2\pi } \right)\)
  • Aussage 2: \(sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
  • Aussage 3: \(sin \left( {\dfrac{x}{2} - \pi } \right)\)
  • Aussage 4: \(sin \left( {\dfrac{{x - \pi }}{2}} \right)\)
  • Aussage 5: \(sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Aufgabenstellung
Welche der obenstehend angeführten Sinusfunktionen beschreiben die Funktion cos(x)? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Funktionen an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.5
Periodische Funktion
Kosinusfunktion
Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion - 1285. Aufgabe 1_285
Phasenverschiebung zwischen Sinus und Kosinus
Sinusfunktion
Parameter einer Sinusfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1601

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parameter einer Sinusfunktion

Gegeben ist der Graph einer Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right){\text{ mit }}a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)
Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x)

Aufgabenstellung:
Aufgabenstellung: Geben Sie die für den abgebildeten Graphen passenden Parameterwerte a und b an!
a=
b=

Parameter einer Sinusfunktion - 1601. Aufgabe 1_601
Amplitude
Periodendauer
Periodische Funktion
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.1
Lösungsweg

Aufgabe 6002

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Parameter von Funktionen

1. Teilaufgabe a) 1 BE - 140 Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {ax} \right)\) eine Nullstelle in \(x = \dfrac{\pi }{6}\)  hat.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Ermitteln Sie den Wert des Parameters b, sodass die Funktion \(g:x \mapsto \sqrt {{x^2} - b} \)  den maximalen Definitionsbereich \({\Bbb R}\backslash \left] { - 2;2} \right[\)  besitzt.

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie, dass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(h:c \mapsto 4 - {e^x}\) den Wertebereich \(\left] { - \infty ;4} \right[\) besitzt.

kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern 2015 - Teil A - Analysis
Periodische Funktion
Definitionsbereich

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Lösungsweg

Aufgabe 1721

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Periodenlänge

Gegeben ist die Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \sin \left( {\dfrac{{3 \cdot \pi }}{4} \cdot x} \right)\)

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Länge der (kleinsten) Periode p der Funktion f .

p = ___

[0 / 1 Punkt]

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.4
Periodenlänge 1721. Aufgabe 1_721
Periodische Funktion
Lösungsweg

Aufgabe 4500

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Attersee - Aufgabe B_524

Teil a

Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Attersees kann modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Illustration Attersee - BHS Matura B_524

 

\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot t - \dfrac{{2 \cdot \pi }}{3}} \right) + c{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 360\)

t Zeit in Tagen
f(t) Temperatur zur Zeit t in °C
a,b,c Parameter

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter b.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den zutreffenden Zahlenwert aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

  • Größe 1: Amplitude von f
  • Größe 2: linearer Mittelwert (Integralmittelwert) von f im Intervall [30; 210]

 

  • Zahlenwert 1: 10
  • Zahlenwert 2: 12
  • Zahlenwert 3: 13
  • Zahlenwert 4: 23

Zur Zeit t = 120 betrug die tatsächlich gemessene Temperatur 12 °C.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie den Betrag des absoluten Fehlers an, der entsteht, wenn man statt der tatsächlich gemessenen Temperatur den Funktionswert an der Stelle t = 120 verwendet.

[0 / 1 P.]

Zur Überprüfung der Qualität der Modellfunktion f werden 1 000 Messwerte yider Temperatur zu verschiedenen Zeiten tierhoben. Für jeden dieser Messpunkte (ti| yi) wird die Differenz des Messwerts yizum Funktionswert f(ti) ermittelt. Diese Differenzen werden jeweils quadriert und danach aufsummiert. Die so erhaltene Summe wird mit s bezeichnet.

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung von s.

\(s = \sum\limits_{i = 1}^{1000} {???} \)

[0 / 1 P.]

Attersee - Aufgabe B_524
Mathematik Zentralmatura BHS - September 2021 - kostenlos vorgerechnet
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Periodische Funktion
Periodendauer
Amplitude
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
Sinusfunktion bzw Cosinusfunktion
Absoluter und relativer Fehler
Integralmittelwert
Regression - Korrelation und Methode der kleinsten Quadrate
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_3.3
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T_1.1
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_4.5
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_5.5
Lösungsweg

Aufgabe 4504

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Förderband - Aufgabe B_525

Teil b

Im Modell B wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Funktion h mit
\(h\left( x \right) = a \cdot \cos \left( {\dfrac{\pi }{8} \cdot x} \right) + d\)

beschrieben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung die Parameter a und d an.

  • a =
  • d =

[0 / 1 / 2 P.]

Das Förderband soll an keiner Stelle eine Steigung von mehr als 20 % haben.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Vorgabe im Modell B eingehalten wird.

[0 / 1 P.]

Förderband - Aufgabe B_525
Mathematik Zentralmatura BHS - September 2021 - kostenlos vorgerechnet
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Periodische Funktion
Sinusfunktion bzw Cosinusfunktion
Differenzialrechnung
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_3.3
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_4.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_4.4
Lösungsweg

Aufgabe 1530

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Winkelfunktionen

Gegeben sind die Funktionen f und g mit \(f(x) = - \sin (x)\) bzw. \(g(x) = \cos (x)\).

Aufgabenstellung:
Geben Sie an, um welchen Wert \(b \in [0;2\pi ]\) in rad der Graph von f verschoben werden muss, um den Graphen von g zu erhalten, sodass \(-sin\left( {x + b} \right) = cos\left( x \right)\) gilt!

Periodendauer
Winkelfunktionen - 1530. Aufgabe 1_530
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.5

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Lösungsweg

Aufgabe 1625

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinusfunktion

Für \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) sei die Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) für \(x \in {\Bbb R}\) gegeben. Die beiden nachstehenden Eigenschaften der Funktion f sind bekannt:

  • Die (kleinste) Periode der Funktion f ist π.
  • Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Funktionswert von f beträgt 6.

Aufgabenstellung
Geben Sie a und b an!

  • a =
  • b =
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.3
Periodendauer
Amplitude
Sinusfunktion - 1625. Aufgabe 1_625
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Aufgabe 1577

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Periodizität

Gegeben ist eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = 3 \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right){\text{ mit }}b \in {\Bbb R}\)

  • Aussage 1: \(\dfrac{b}{2}\)
  • Aussage 2: \(b\)
  • Aussage 3: \(\dfrac{b}{3}\)
  • Aussage 4: \(\dfrac{\pi }{b}\)
  • Aussage 5: \(\dfrac{{2\pi }}{b}\)
  • Aussage 6: \(\dfrac{\pi }{3}\)

Aufgabenstellung:
Einer der obenstehend angegebenen Werte gibt die (kleinste) Periodenlange der Funktion f an. Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an!

Periodendauer
Periodizität - 1577. Aufgabe 1_577
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.4
Lösungsweg

Aufgabe 1283

AHS - 1_283 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Atemzyklus
Der Luftstrom beim Ein- und Ausatmen einer Person im Ruhezustand ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit nach einer Funktion f. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt ein Atemzyklus. f ( t) ist die bewegte Luftmenge in Litern pro Sekunde zum Zeitpunkt t in Sekunden und wird durch die Gleichung \(f\left( t \right) = 0,5 \cdot \sin \left( {0,4 \cdot \pi \cdot t} \right)\) festgelegt.

(Datenquelle: Timischl, W. (1995). Biomathematik: Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2. Auflage. Wien u. a.: Springer.)

Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Dauer eines gesamten Atemzyklus!

Periodendauer
Atemzyklus - 1283. Aufgabe 1_283
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.3
Lösungsweg

Aufgabe 1284

AHS - 1_284 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Periodizität
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen f1, f2 und f3 von Funktionen der Form \(f\left( x \right) = \sin \left( {b \cdot x} \right)\)

\({f_1} = \sin \left( x \right);\) \({f_2} = \sin \left( {2x} \right);\) \({f_3} = \sin \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)

Funktion f1 f1(x) = sin(x) Funktion f2 f2(x) = sin(2x) Funktion f3 f3(x) = sin(x / 2) f_{1} text1 = "f_{1}" f_{1} text1 = "f_{1}" f_{2} text2 = "f_{2}" f_{2} text2 = "f_{2}" f_{3} text3 = "f_{3}" f_{3} text3 = "f_{3}" f_{3} text3 = "f_{3}"

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie jeweils die der Funktion entsprechende primitive (kleinste) Periode p!

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Winkelfunktionen
Periodendauer
Periodizität - 1284. Aufgabe 1_284
Parameter einer Sinusfunktion

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