BMBWF - AG 4.1 .. AG 4.2: Trigonometrie

LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1059

AHS - 1_059 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Rechtwinkeliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck wie in nebenstehender Skizze.

Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Bogen d Bogen d: Kreisbogen[D, E, F] Bogen e Bogen e: Kreisbogen[G, H, I] Bogen f Bogen f: Kreisbogen[J, K, L] Strecke c Strecke c: Strecke [A, B] von Dreieck poly1 Strecke a Strecke a: Strecke [B, C] von Dreieck poly1 Strecke b Strecke b: Strecke [C, A] von Dreieck poly1 A text1 = "A" B text2 = "B" C text3 = "C" b=39 text4 = "b=39" c=15 text5 = "c=15" a=36 text6 = "a=36" $\alpha$ text7 = "$\alpha$" $\gamma$ text8 = "$\gamma$" $\dot$ text9 = "$\dot$"

  • Aussage 1: \(\tan \left( \alpha \right) = \dfrac{5}{{13}}\)
  • Aussage 2: \(\cos \left( \alpha \right) = \dfrac{{13}}{{12}}\)
  • Aussage 3: \(\sin \left( \gamma \right) = \dfrac{5}{{13}}\)
  • Aussage 4: \(\cos \left( \gamma \right) = \dfrac{{12}}{{13}}\)
  • Aussage 5: \(\tan \left( \gamma \right) = \dfrac{{12}}{5}\)

Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Aussagen sind für das abgebildete Dreieck zutreffend? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

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Rechtwinkeliges Dreieck
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
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Rechtwinkeliges Dreieck - 1059. Aufgabe 1_059

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Lösungsweg

Aufgabe 1092

AHS - 1_092 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Winkelfunktion

Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck:

Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke C, A v text1 = “v” u text2 = “u” w text3 = “w” $\varphi $ text4 = “$\varphi $” $\psi$ text5 = “$\psi$” $90^o$ text6 = “$90^o$” $90^o$ text6 = “$90^o$” $90^o$ text6 = “$90^o$”

Aufgabenstellung:
Geben Sie tan ψ in Abhängigkeit von den Seitenlängen u, v und w an!

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Bezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck
Winkelfunktion - 1092. Aufgabe 1_092
Gegenkathete
Ankathete
Tangensfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1134

AHS - 1_134 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Rechtwinkeliges Dreieck
Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC sind die Längen der Seiten a und c gegeben.

Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Bogen d Bogen d: Kreisbogen[B, D, E] Bogen e Bogen e: Kreisbogen[A, F, G] Strecke c Strecke c: Strecke [A, B] von Dreieck poly1 Strecke c Strecke c: Strecke [A, B] von Dreieck poly1 Strecke a Strecke a: Strecke [B, C] von Dreieck poly1 Strecke a Strecke a: Strecke [B, C] von Dreieck poly1 Strecke b Strecke b: Strecke [C, A] von Dreieck poly1 Strecke b Strecke b: Strecke [C, A] von Dreieck poly1 Punkt H H = (6.62, 8.1) Punkt H H = (6.62, 8.1) \alpha text1 = "\alpha" A Text1 = "A" B Text2 = "B" C Text3 = "C"

Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel für die Berechnung des Winkels α an!

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Rechtwinkeliges Dreieck
Winkelfunktionen
Rechtwinkeliges Dreieck - 1134. Aufgabe 1_134
Gegenkathete
Ankathete
Tangensfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1219

AHS - 1_219 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Dennis Tito
Dennis Tito, der 2001 als erster Weltraumtourist unterwegs war, sah die Erdoberfläche unter einem Sehwinkel von 142°.

Sektor c Sektor c: Kreissektor[A, B, C] Sektor c Sektor c: Kreissektor[A, B, C] Bogen d Bogen d: Kreisbogen[H, I, J] Strecke f Strecke f: Strecke [E, F] Strecke g Strecke g: Strecke [E, D] Strecke h Strecke h: Strecke [E, G] Strecke i Strecke i: Strecke [K, L] 71^o text1 = "71^o" 71^o text1 = "71^o" 71^o text1 = "71^o" h text2 = "h" r text3 = "r" M text4 = "M"

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, wie hoch (h) über der Erdoberfläche sich Dennis Tito befand, wenn vereinfacht die Erde als Kugel mit einem Radius r = 6 370 km angenommen wird! Geben Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer gerundet an!

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Winkelfunktionen
Dennis Tito - 1219. Aufgabe 1_219
Sinusfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1220

AHS - 1_220 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Raumdiagonale beim Würfel
Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge a

Bogen c Bogen c: Kreisbogen[A, I, J] Bogen d Bogen d: Kreisbogen[C, K, L] Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [B, C] Strecke h Strecke h: Strecke [C, D] Strecke i Strecke i: Strecke [D, A] Strecke j Strecke j: Strecke [A, E] Strecke k Strecke k: Strecke [E, F] Strecke l Strecke l: Strecke [F, G] Strecke m Strecke m: Strecke [G, H] Strecke n Strecke n: Strecke [H, E] Strecke p Strecke p: Strecke [H, D] Strecke q Strecke q: Strecke [G, C] Strecke r Strecke r: Strecke [F, B] Strecke s Strecke s: Strecke [A, G] Strecke t Strecke t: Strecke [A, C] Punkt A A = (4.24, 3.74) Punkt A A = (4.24, 3.74) Punkt A A = (4.24, 3.74) Punkt B B = (9.94, 3.8) Punkt B B = (9.94, 3.8) Punkt B B = (9.94, 3.8) Punkt C C = (14.04, 5.87) Punkt C C = (14.04, 5.87) Punkt C C = (14.04, 5.87) Punkt D D = (8.12, 5.84) Punkt D D = (8.12, 5.84) Punkt D D = (8.12, 5.84) Punkt E E = (4.24, 8.82) Punkt E E = (4.24, 8.82) Punkt E E = (4.24, 8.82) Punkt F F = (9.86, 8.82) Punkt F F = (9.86, 8.82) Punkt F F = (9.86, 8.82) Punkt G G = (14.02, 10.68) Punkt G G = (14.02, 10.68) Punkt G G = (14.02, 10.68) Punkt H H = (8.18, 10.66) Punkt H H = (8.18, 10.66) Punkt H H = (8.18, 10.66) Punkt M M = (13.4, 6.26) Punkt M M = (13.4, 6.26) a text1 = "a" a text2 = "a" d_{1} text3 = "d_{1}" d_{1} text3 = "d_{1}" d_{2} text4 = "d_{2}" d_{2} text4 = "d_{2}" φ Text1 = "φ"

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Größe des Winkels φ zwischen einer Raumdiagonalen und einer Seitenflächendiagonalen eines Würfels!

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Winkelfunktionen
Raumdiagonale beim Würfel - 1220. Aufgabe 1_220
Satz des Pythagoras
Tangensfunktion

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Lösungsweg

Aufgabe 1221

AHS - 1_221 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Sonnenradius
Die Sonne erscheint von der Erde aus unter einem Sehwinkel von α ≈ 0,52°. Die Entfernung der Erde vom Mittelpunkt der Sonne beträgt ca. \(150 \cdot {10^6}{\rm{ km}}\).

Sehwinkel

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Sonnenradius an und berechnen Sie den Radius!

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Winkelfunktionen
Sonnenradius - 1221. Aufgabe 1_221
Sinusfunktion
LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1344

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Definition der Winkelfunktionen

Die nachstehende Abbildung zeigt ein rechtwinkeliges Dreieck PQR.

Bogen c Bogen c: Kreisbogen[A, D, E] Bogen d Bogen d: Kreisbogen[B, F, G] Bogen e Bogen e: Kreisbogen[C, H, I] Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [B, C] Strecke h Strecke h: Strecke [C, A] \alpha text1 = "\alpha" \beta text2 = "\beta" \dot text3 = "\dot" P text4 = "P" Q text5 = "Q" R text6 = "R" p text7 = "p" q text8 = "q" r text9 = "r"

  • Aussage 1: \(\sin \alpha = \dfrac{p}{r}\)
  • Aussage 2: \(\sin \alpha = \dfrac{q}{r}\)
  • Aussage 3: \(\tan \beta = \dfrac{p}{q}\)
  • Aussage 4: \(\tan \alpha = \dfrac{r}{p}\)
  • Aussage 5: \(\cos \beta = \dfrac{p}{r}\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Gleichungen an, die für das dargestellte Dreieck gelten!

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Winkelfunktionen
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
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Definition der Winkelfunktionen - 1344. Aufgabe 1_344
Ankathete
Gegenkathete
Lösungsweg

Aufgabe 1368

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Steigungswinkel

Das nachstehend abgebildete Verkehrszeichen besagt, dass eine Straße auf einer horizontalen Entfernung von 100 m um 7 m an Höhe gewinnt.

beispiel_1368_2

Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Gradmaßes des Steigungswinkels α dieser Straße an!

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Steigungswinkel - 1368. Aufgabe 1_368
Tangensfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1416

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sehwinkel

Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt von einem Beobachter wahrgenommen wird. Die nachstehende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen dem Sehwinkel α, der Entfernung r und der realen („wahren“) Ausdehnung g eines Objekts in zwei Dimensionen.

Bogen c Bogen c: Kreisbogen(K, L, M) Bogen d Bogen d: Kreisbogen(N, O, P) Bogen e Bogen e: Kreisbogen(Q, R, S) Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke A, C Strecke i Strecke i: Strecke E, F Strecke q Strecke q: Strecke A, T Strecke r Strecke r: Strecke U, D Punkt V V = (8.68, 6.78) Punkt V V = (8.68, 6.78) \alpha text1 = “\alpha” \frac{\alpha}{2} text2 = “\frac{\alpha}{2}” \frac{\alpha}{2} text2 = “\frac{\alpha}{2}” \frac{\alpha}{2} text2 = “\frac{\alpha}{2}” r text3 = “r” g text4 = “g” Objekt text5 = “Objekt” Beobachter Text1 = “Beobachter”

Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/ScheinbareGroesse.png [22.01.2015] (adaptiert)

Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel an, mit der die reale Ausdehnung g dieses Objekts mithilfe von \(\alpha\) und r berechnet werden kann!

g =

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 4.1
Winkelfunktionen
Sehwinkel - 1416. Aufgabe 1_416
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Aufgabe 1440

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sonnenhöhe

Unter der Sonnenhöhe φ versteht man denjenigen spitzen Winkel, den die einfallenden Sonnenstrahlen mit einer horizontalen Ebene einschließen. Die Schattenlänge s eines Gebäudes der Höhe h hangt von der Sonnenhöhe φ ab (s, h in Metern).

Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel an, mit der die Schattenlange s eines Gebäudes der Hohe h mithilfe der Sonnenhöhe φ berechnet werden kann!

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Winkelfunktionen
Sonnenhöhe - 1440. Aufgabe 1_440
Tangensfunktion
Gegenkathete
Ankathete
Lösungsweg

Aufgabe 1464

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
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Standseilbahn Salzburg

Die Festungsbahn Salzburg ist eine Standseilbahn in der Stadt Salzburg mit konstanter Steigung. Die Bahn auf den dortigen Festungsberg ist die älteste in Betrieb befindliche Seilbahn dieser Art in Osterreich. Die Standseilbahn legt eine Wegstrecke von 198,5 m zurück und überwindet dabei einen Höhenunterschied von 96,6 m.

Anmerkung: Die Original-Angabe enthält ein Foto von der Standseilbahn in Salzburg, auf dem man erkennen kann, dass die Bahn in einem Winkel gegen die Waagrechte zur Burg hinauf fährt. Wir ersetzen dieses Foto aus Urheberrechtsgründen durch folgende Skizze, wodurch das Beispiel aber vereinfacht wird:

Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Bogen d Bogen d: Kreisbogen[B, F, H] Strecke c Strecke c: Strecke [A, B] von Dreieck poly1 Strecke a Strecke a: Strecke [B, C] von Dreieck poly1 Strecke b Strecke b: Strecke [C, A] von Dreieck poly1 Punkt A A = (3, 6) Punkt A A = (3, 6) Punkt B B = (12, 6) Punkt B B = (12, 6) Punkt C C = (12, 11) Punkt C C = (12, 11) Punkt R R = (11.73, 6.29) Punkt R R = (11.73, 6.29) 96,6 Text2 = "96,6" 198,5 Text3 = "198,5" Talstation Text4 = "Talstation" Bergstation Text5 = "Bergstation"

Aufgabenstellung
Berechnen Sie den Winkel α, unter dem die Gleise der Bahn gegen die Horizontale geneigt sind!

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Winkelfunktionen
Standseilbahn Salzburg - 1464. Aufgabe 1_464
Lösungsweg

Aufgabe 1488

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vermessung einer unzugänglichen Steilwand

Ein Steilwandstuck CD mit der Höhe \(h = \overline {CD}\) ist unzugänglich. Um h bestimmen zu können, werden die Entfernung e = 6 Meter und zwei Winkel α = 24° und β = 38° gemessen. Der Sachverhalt wird durch die nachstehende (nicht maßstabgetreue) Abbildung veranschaulicht.

Bogen c Bogen c: Kreisbogen[A, E, F] Bogen d Bogen d: Kreisbogen[A, G, H] Bogen e Bogen e: Kreisbogen[B, I, J] Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [B, D] Strecke h Strecke h: Strecke [A, D] Strecke i Strecke i: Strecke [A, C] Punkt A A = (3, 4) Punkt A A = (3, 4) Punkt B B = (10, 4) Punkt B B = (10, 4) Punkt C C = (10, 8) Punkt C C = (10, 8) Punkt D D = (10, 10) Punkt D D = (10, 10) \alpha text1 = "\alpha" \beta text2 = "\beta" h text3 = "h" \dot text4 = "\dot" A Text1 = "A" B Text2 = "B" C Text3 = "C" D Text4 = "D"

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Höhe h des unzugänglichen Steilwandstücks in Metern!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 4.1
Winkelfunktionen
Tangensfunktion
Vermessung einer unzugänglichen Steilwand - 1488. Aufgabe 1_488