Österreichische AHS Matura - 2020.05.28 - 4 Typ II Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fallschirmsprung

Bei einem Fallschirmsprung aus einer Höhe von 4 000 m über Grund wird 30 s nach dem Absprung der Fallschirm geöffnet.

Für t ∈ [0; 30] gibt die Funktion v₁ mit

\({v_1}\left( t \right) = 56 - 56 \cdot {e^{ - \dfrac{t}{4}}}\)

(unter Berücksichtigung des Luftwiderstands) die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t an (t in s nach dem Absprung, v₁(t) in m/s).

Für t ≥ 30 gibt die Funktion v₂ mit
\({v_2}\left( t \right) = \dfrac{{51}}{{{{\left( {t - 29} \right)}^2}}} + 5 - 56 \cdot {e^{ - 7,5}}\)
die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt der Landung an (t in s nach dem Absprung, v₂(t) in m/s). Modellhaft wird angenommen, dass der Fallschirmsprung lotrecht ist.

Teil a:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Deuten Sie \(w = \dfrac{{{v_1}\left( {10} \right) - {v_2}\left( 5 \right)}}{{10 - 5}}\) im gegebenen Kontext.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Für ein \({t_1} \in \left[ {0;30} \right]{\text{ gilt: }}{v'_1}\left( {{t_1}} \right) = w\)
Deuten Sie t₁ im gegebenen Kontext.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fallschirmsprung

Bei einem Fallschirmsprung aus einer Höhe von 4 000 m über Grund wird 30 s nach dem Absprung der Fallschirm geöffnet.

Für t ∈ [0; 30] gibt die Funktion v₁ mit

\({v_1}\left( t \right) = 56 - 56 \cdot {e^{ - \dfrac{t}{4}}}\)

(unter Berücksichtigung des Luftwiderstands) die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t an (t in s nach dem Absprung, v₁(t) in m/s).

Für t ≥ 30 gibt die Funktion v₂ mit
\({v_2}\left( t \right) = \dfrac{{51}}{{{{\left( {t - 29} \right)}^2}}} + 5 - 56 \cdot {e^{ - 7,5}}\)
die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt der Landung an (t in s nach dem Absprung, v₂(t) in m/s). Modellhaft wird angenommen, dass der Fallschirmsprung lotrecht ist.

Teil b:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie mithilfe der Funktion v₁, in welcher Höhe der Fallschirm geöffnet wird.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Zeitdauer des gesamten Fallschirmsprungs vom Absprung bis zur Landung.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fallschirmsprung

Bei einem Fallschirmsprung aus einer Höhe von 4 000 m über Grund wird 30 s nach dem Absprung der Fallschirm geöffnet.

• Für t ∈ [0; 30] gibt die Funktion v₁ mit

\({v_1}\left( t \right) = 56 - 56 \cdot {e^{ - \dfrac{t}{4}}}\)

(unter Berücksichtigung des Luftwiderstands) die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t an (t in s nach dem Absprung, v₁(t) in m/s).

• Für t ≥ 30 gibt die Funktion v₂ mit

\({v_2}\left( t \right) = \dfrac{{51}}{{{{\left( {t - 29} \right)}^2}}} + 5 - 56 \cdot {e^{ - 7,5}}\)
die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt der Landung an (t in s nach dem Absprung, v₂(t) in m/s). Modellhaft wird angenommen, dass der Fallschirmsprung lotrecht ist.

Teil c:

Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands hätte der Fallschirmspringer eine Anfangsgeschwindigkeit von 0 m/s und im Zeitintervall [0; 30] eine konstante Beschleunigung von 9,81 m/s². Die Fallgeschwindigkeit 9 s nach dem Absprung betragt dann v*.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, um wie viel v₁(9) kleiner ist als v*.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, um wie viel Prozent 9 s nach dem Absprung die Beschleunigung des Fallschirmspringers geringer ist als bei einem Sprung ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
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Wachstumsprozesse

Im Folgenden werden Wachstumsmodelle betrachtet. Die nachstehende Differenzengleichung beschreibt ein Wachstum.

\({N_{t + 1}} - {N_t} = r \cdot \left( {S - {N_t}} \right)\)

Teil a

Auf einem Kreuzfahrtschiff mit 2 000 Passagieren erkranken ab dem Zeitpunkt t = 0, zu dem noch kein Passagier erkrankt ist, jeden Tag 5 % der noch nicht erkrankten Passagiere. Dabei ist N_t die Anzahl der erkrankten Passagiere zum Zeitpunkt t mit t in Tagen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie eine Differenzengleichung für N_t+1 an.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, nach wie vielen Tagen erstmals mehr als 25 % der Passagiere erkrankt sind.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wachstumsprozesse

Im Folgenden werden Wachstumsmodelle betrachtet. Die nachstehende Differenzengleichung beschreibt ein Wachstum.

\({N_{t + 1}} - {N_t} = r \cdot \left( {S - {N_t}} \right)\)

Teil b

Die Differenzengleichung
\({N_{t + 1}} - {N_t} = r \cdot \left( {S - {N_t}} \right)\)

lässt sich auch in folgender Form darstellen:
\({N_{t + 1}} = a \cdot {N_t} + b{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Drücken Sie r und S durch a und b aus.

r =

S =

Zur Entwicklung eines neuen Impfstoffs wird das Wachstum einer Bakterienkultur in einer Petrischale untersucht. In der nachstehenden Tabelle ist der Inhalt N_t (in cm²) derjenigen Fläche angeführt, die von der Bakterienkultur zum Zeitpunkt t (in h) bedeckt wird.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie a und b mithilfe der in der obigen Tabelle angegebenen Werte.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wachstumsprozesse

Teil c

Ein Pharmaunternehmen bringt einen neuen Impfstoff auf den Markt. In der ersten Woche nach der Markteinführung haben bereits 15 000 Personen den Impfstoff gekauft. Die Anzahl f(t) derjenigen Personen, die den Impfstoff innerhalb von t Wochen nach der Markteinführung gekauft haben, lasst sich modellhaft durch die Funktion f mit

\(f\left( t \right) = 1\,000\,000 \cdot \left( {1 - {e^{ - k \cdot t}}} \right){\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\)
beschreiben.

1. Teilaufgabe
Berechnen Sie k

2. Teilaufgabe
Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt t₀, zu dem erstmals 500 000 Personen diesen Impfstoff gekauft haben.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quiz mit Spielbrett

Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.

Spielbrett: 

Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.

Teil a:

Bei einem Spieldurchgang ist das Quiz zu Ende, wenn die Spielfigur auf dem Feld mit der Zahl 2 zu stehen kommt. Mit A wird das Ereignis bezeichnet, dass die Spielfigur nach höchstens 4 Fragen auf dem Feld mit der Zahl 2 steht.

Maria beantwortet jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p richtig.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P(A) in Abhängigkeit von p an.

P(A) =

Wird p erhöht, so vergrößert sich die Wahrscheinlichkeit P(A).

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie dasjenige p ∈ [0; 1] an, bei dem die Wahrscheinlichkeit P(A) am stärksten wächst (also die lokale Änderungsrate von P(A) am größten ist).

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quiz mit Spielbrett

Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.

Spielbrett: 

Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.

Teil b:

Bei einem anderen Spieldurchgang werden Maria genau 100 Fragen gestellt. Sie beantwortet dabei jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 richtig. Die Zufallsvariable Y gibt die Zahl desjenigen Feldes an, auf dem die Spielfigur nach der Beantwortung der 100 Fragen steht.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y).

E(Y) =

Die Zufallsvariable Y wird durch eine normalverteilte Zufallsvariable Z angenähert. Dabei gilt:

E(Y) = E(Z) und die Standardabweichung σ von Z ist 8.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie das um den Erwartungswert E(Z) symmetrische Intervall

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Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quiz mit Spielbrett

Bei einem Quiz werden hintereinander mehrere Fragen gestellt, die jeweils mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden. Auf einem Spielbrett steht eine Spielfigur zu Beginn eines jeden Spieldurchgangs auf dem Feld mit der Zahl 0. Bei jeder richtigen Antwort wird diese Spielfigur um ein Feld nach rechts, bei jeder falschen Antwort um ein Feld nach links gezogen. Die Felder des Spielbretts sind mit ganzen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beschriftet (siehe nachstehende Abbildung). Das Spielbrett kann auf beiden Seiten beliebig verlängert werden.

Spielbrett: 

Maria und Tom spielen dieses Quiz. Tom befragt Maria.

Teil c:

Bei einem anderen Spieldurchgang beantwortet Maria alle Fragen durch Raten. Sie beantwortet somit jede Frage unabhängig von den anderen Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 richtig. Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 2 gilt:
\(M\left( n \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {\dfrac{n}{2}} \end{array}} \right) \cdot {0,5^n}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie M(n) im gegebenen Kontext.

Für jede gerade Anzahl n an Fragen mit n ≥ 10 kann M(n) durch
\(\widetilde M\left( n \right) = \sqrt {\dfrac{2}{{\pi \cdot n}}} \)

näherungsweise berechnet werden. Für jedes gerade n ≥ 10 gibt es ein n*, sodass gilt:

\(\widetilde M\left( {{n^*}} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \widetilde M\left( n \right)\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Bestimmen Sie n* in Abhängigkeit von n.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ozonmessungen

Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unterschiedlichen Atmosphärenschichten gemessen.

Teil a:

Auf der Hohen Warte in Wien befindet sich in 220 m Seehöhe eine Wetterstation. Hier wird für eine Messreihe ein Wetterballon mit einem Ozonmessgerat gestartet. Das Ozonmessgerät beginnt mit seinen Aufzeichnungen, wenn der Wetterballon eine Seehöhe von 2 km erreicht hat.

Nehmen Sie an, dass der Wetterballon (mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s) lotrecht in die Höhe steigt und dabei gleichmäßig mit 0,125 m/s² beschleunigt, bis er zu einem Zeitpunkt t₁ eine Geschwindigkeit von 6 m/s erreicht. Die Zeit wird dabei in Sekunden und die Seehöhe in Metern gemessen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die Höhe des Wetterballons über der Wetterstation zum Zeitpunkt t₁.

Ab dem Zeitpunkt t₁ steigt der Wetterballon mit der konstanten Geschwindigkeit von 6 m/s lotrecht weiter.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, wie viele Sekunden nach dem Start das Messgerät mit seinen Aufzeichnungen beginnt.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ozonmessungen

Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unterschiedlichen Atmosphärenschichten gemessen.

Teil b:

Ein Wetterballon hat bei einem Luftdruck von 1 013,25 hPa ein Volumen von 6,3 m³. Durch die Abnahme des Luftdrucks während des Aufstiegs dehnt sich der Wetterballon immer weiter aus und wird näherungsweise kugelförmig. Bei einem Durchmesser von d Metern zerplatzt er.

Der Luftdruck kann in Abhängigkeit von der Seehöhe h durch eine Funktion p modelliert werden. Dabei ordnet die Funktion p der Seehöhe h den Luftdruck p(h) zu. Es gilt:
\(p\left( h \right) = 1013,25 \cdot {\left( {1 - \dfrac{{0,0065 \cdot h}}{{288,15}}} \right)^{5,255}}\)

mit h in m, p(h) in hPa

Gehen Sie davon aus, dass der Luftdruck p(h) und das Volumen V(h) des Wetterballons indirekt proportional zueinander sind. Dabei ist V(h) das Volumen des Wetterballons in der Seehöhe h.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Drücken Sie das Volumen V(h) durch die Seehöhe h aus.
V(h) =               mit h in m, V(h) in m³

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Der Wetterballon zerplatzt in einer Seehöhe von h = 27 873,6 m.

Berechnen Sie den Durchmesser d des Wetterballons in Metern, bei dem dieser zerplatzt.

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​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ozonmessungen

Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unterschiedlichen Atmosphärenschichten gemessen.

Teil c:

Das sogenannte Gesamtozon ist ein Maß für die Dicke der Ozonschicht und wird in sogenannten Dobson-Einheiten (DU) angegeben. Die von einem Wetterballon aufgezeichneten Messdaten können modellhaft durch eine quadratische Funktion f beschrieben werden. Dabei ordnet f der Höhe h die Gesamtozondichte f(h) zu (h in km, f(h) in DU/km). Der höchste Wert von 36 DU/km wird in einer Seehöhe von 22 km gemessen. In einer Seehöhe von 37 km betragt der gemessene Wert 1 DU/km.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie f(h).

f(h) =

In der Erdatmosphäre entspricht 1 DU einer 0,01 mm dicken Schicht reinen Ozons an der Erdoberfläche. Die Dicke derjenigen Schicht reinen Ozons an der Erdoberfläche, die dem Gesamtozon zwischen 7 km und 37 km Seehöhe entspricht, ist

\(\int\limits_7^{37} {f\left( h \right)} \,\,dh\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Dicke dieser Schicht.

Dicke dieser Schicht:                    mm