Boolsche Algebra
Formel
Boolesche Algebra
Die boolesche Algebra beschäftigt sich mit logischen Operatoren, wie "und", "oder",... und mit mangentheoretischen Verknüpfungen wie "Durchschnitt", "Vereinigung",... .
Junktoren (Logik)
Junktoren sind logische Verknüpfungen zwischen Aussagen.
Junktoren sind neben den Quantoren Symbole der Aussagenlogik. Man unterscheidet unter anderem zwischen Identität, Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz.
Wahrheitstabelle
Eine Wahrheitstabelle ist eine tabellarische Aufstellung in Form einer Matrix. Dabei werden die Wahrheitswerte mehrere Aussagen die mittels Junktoren verbunden sind zu einem resultierenden Wahrheitswert zusammen gefasst.
In der Elektronik werden Wahrheitstabellen mittels elektronischer Schaltungen realisiert. Man spricht von einer positiven Logik, wenn dem Wahrheitswerten "0" bzw. "falsch" der niedrigere Signalpegel und dem Wahrheitswert "1" bzw. "richtig" der höhere Signalpegel zugeordnet ist. Aus Sicherheitsgründen werden in der Praxis sogenannte Live-Zero Schaltungen mit 3 Zuständen verwendet um Leitungsbrüche zu erkennen: Bei einer 0 ... 20 mA Stromschleife liegt der niedere Signalpegel bei 4 mA, der hohe Signalpegel bei 20 mA. Wenn ein Signal mit 0 mA anliegt, dann liegt ein Ausfall der Schaltung, z.B.: zufolge Leitungsbruch vor.
Identität
Zwei Aussagen sind ident, wenn es zwischen ihnen keinen Unterschied gibt.
Wahrheitstabelle:
In der einstelligen booleschen Algebra sind bei einer Identität die Wahrheitswerte von Eingang und Ausgang immer genau ident.
| E | A | A=E |
| 0 | 0 | w |
| 1 | 1 | w |
Schaltsymbol:
Negation
Bei der Negation handelt es sich um die Verneinung einer Aussage.
Wahrheitstabelle:
In der einstelligen booleschen Algebra sind bei einer Negation die Wahrheitswerte von Eingang und Ausgang immer genau entgegengesetzt.
| E | A | \({A = \overline E {\text{ bzw}}{\text{. A }}\neg {\text{ E}}}\) |
| 0 | 1 | w |
| 1 | 0 | w |
Schaltsymbol:
Konjunktion oder Und-Verknüpfung
Bei der Konjunktion handelt es sich um die „und“ Verknüpfung zweier Aussagen.
Wahrheitstabelle:
In der zweistelligen booleschen Algebra ist bei einer Und-Verknüpfung der Ausgang dann „1“, wenn alle Eingänge „1“ sind bzw. ist der Ausgang dann „0“, wenn mindestens ein Eingang „0“ ist.
| E1 | E2 | \(A = A \wedge B\) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Schaltsymbol:
Disjunktion oder Oder-Verknüpfung
Bei der Disjunktion handelt sich um die „oder“ Verknüpfung.
Wahrheitstabelle:
In der zweistelligen booleschen Algebra ist bei einer Oder-Verknüpfung der Ausgang dann „1“, wenn wenn mindestens ein Eingang „1“ ist bzw. ist der Ausgang dann „0“, wenn alle Eingänge „0“ sind.
| E1 | E2 | \({A = {E_1} \vee {E_2}}\) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Schaltsymbol:
Implikation
Es handelt sich um die „wenn … dann …“ Verknüpfung. Bei einer Implikation folgert aus einer Prämisse eine Konklusion
Wahrheitstabelle:
Sind Prämisse P und Konklusion K zwei Aussagen, die so mit einander verknüpft sind, dass aus der Prämisse die Konklusion logisch folgert, so spricht man von einer Implikation. Eine Implikation ist nur dann und genau dann falsch, wenn die Prämisse wahr ist und die Konklusion falsch ist. In allen anderen Fällen ist sie wahr. Achtung: Aus Falschem kann Beliebiges folgen (ex falso quodlibet)
| P | K | \({P \Rightarrow K}\) |
| f | f | w |
| f | w | w |
| w | f | f |
| w | w | w |
Äquivalenz
Es handelt sich um die „genau dann…, wenn … und umgekehrt“ Verknüpfung.
Wahrheitstabelle:
Es besteht genau dann und nur dann Äquivalenz zwischen zwei Aussagen A und B bzw. umgekehrt zwischen B und A, wenn entweder beide Aussagen falsch oder beide Aussagen richtig sind. Ist hingegen eine der beiden Aussagen wahr und die andere falsch, dann kann keine Äquivalenz vorliegen.
| A | B | \(A \Leftrightarrow B\) |
| f | f | w |
| f | w | f |
| w | f | f |
| w | w | w |
NAND oder Nicht-Und Verknüpfung
Bei der NAND Verknüpfung handelt es sich um die "Nicht-Und" Verknüpfung (engl: Not AND)
Wahrheitstabelle:
In der zweistelligen booleschen Algebra ist bei einer NAND Verknüpfung der Ausgang dann „1“, wenn mindestens ein Eingang „0“ ist bzw. ist der Ausgang dann „0“, wenn alle Eingänge „1“ sind.
| E1 | E2 | \({A = \overline {{E_1} \wedge {E_2}} }\) |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Schaltsymbol:
NOR oder Nicht-OdeR Verknüpfung
Bei der NOR Verknüpfung handelt es sich um die "Nicht-Oder" Verknüpfung (engl.: Not OR)
Wahrheitstabelle:
In der zweistelligen booleschen Algebra ist bei einer NOR Verknüpfung der Ausgang dann „1“, wenn alle Eingänge gleich „0“ sind bzw. ist der Ausgang „0“, wenn mindestens ein Eingang „1“ ist.
| E1 | E2 | \({A = \overline {{E_1} \vee {E_2}} }\) |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Schaltsymbol:
(E)XOR oder Entweder-OdeR-Verknüpfung
Bei der EXOR oder XOR Verknüpfung handelt es sich um die "Entweder-Oder" Verknüpfung (engl.: eXclusive OR auch EXlusive OR)
Wahrheitstabelle:
In der zweistelligen booleschen Algebra ist bei einer XOR Verknüpfung der Ausgang dann „1“, wenn die Eingänge ungleich sind bzw. ist der Ausgang dann „0“, wenn die Eingänge gleich sind.
| E1 | E2 | \(A = \left( {\overline {{E_1}} \wedge {E_2}} \right) \vee \left( {{E_1} \wedge \overline {{E_2}} } \right)\) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Schaltsymbol:
(E)XNOR oder (E)Xklusive Nicht OdeR-Verknüpfung
Bei der (e)XNOR Verknüpfung handelt es sich um die "Exklusive-Nicht-Oder" Verknüpfung (engl.: eXclusive Not OR auch EXclusive Not OR)
Wahrheitstabelle:
In der zweistelligen booleschen Algebra ist bei einer XNOR Verknüpfung der Ausgang dann „1“, wenn beide Eingänge gleich sind bzw. ist der Ausgang „0", wenn beide Eingänge ungleich sind.
| E1 | E2 | \(A = \left( {{E_1} \wedge {E_2}} \right) \vee \left( {\overline {{E_1}} \wedge \overline {{E_2}} } \right)\) |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Schaltsymbol:
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Bild
Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Aussagen | Eine Aussage ist die Formulierung einer Behauptung, von der man mittels Beweis feststellen kann, ob sie wahr oder falsch ist. |
Aktuelle Lerneinheit
| Boolsche Algebra | Junktoren sind logische Verknüpfungen zwischen Aussagen. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Quantoren | Quantoren legen fest, für welche Elemente der Grundmenge eine Aussage gilt |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1191
AHS - 1_191 & Lehrstoff: AG 1.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Äquivalenz
Gegeben ist der Term: \(\dfrac{x}{{2b}} - \dfrac{y}{b}{\text{ mit }}b \ne 0\)
- Aussage 1: \(\dfrac{{2x - y}}{{2b}}\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{x - 2y}}{b}\)
- Aussage 3: \(\dfrac{{x - 2y}}{{2b}}\)
- Aussage 4: \(\dfrac{{x - y}}{b}\)
- Aussage 5: \(x - 2y:2b\)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie den/ die zum gegebenen Term äquivalenten Term(e) an!