Aufgabe 1481
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mittlere Änderungsrate interpretieren
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. Die mittlere Änderungsrate von f hat im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) den Wert 5.
- Aussage 1: Im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) gibt es mindestens eine Stelle x mit f(x) = 5.
- Aussage 2:\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)
- Aussage 3: Die Funktion f ist im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) monoton steigend
- Aussage 4: \(f'\left( x \right) = 5\) für alle \(x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\)
- Aussage 5: \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = 5 \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Welche der 5 Aussagen können über die Funktion f sicher getroffen werden? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Nachfolgende Skizze veranschaulicht die Aufgabenstellung. Sie zeigt eine charakteristische Polynomfunktion dritten Grades mit ihren 3 Nullstellen. Weiters sind die Punkte x1 und x2 so gewählt, dass die Verbindungsgerade zwischen f(x1) und f(x2) eine positive Steigung von k=5 veranschaulicht.
Die mittlere Änderungsrate ist definiert als: \(k = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)man spricht auch vom Differenzenquotienten. Sie ist die mittlere Anstiegsrate der Verbindungsgerade zwischen f(x1) und f(x2).
- Aussage 1: Falsch, weil das konstante Glied „d“ des Polynoms 3. Grades \(a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) die Lage des Graphen entlang der y-Achse bestimmt. Der Funktionswert f(x)=5 kann zwar - muss dabei keineswegs unbedingt - zwischen \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) liegen.
- Aussage 2: Richtig, weil die mittlere Änderungsrate positiv ist, daher muss die Verbindungsgerade zwischen f(x1) und f(x2) nach rechts oben ansteigen, daher muss der rechte Wert f(x2) größer (hoher liegen) als der linke Wert f(x1)
- Aussage 3: Falsch, weil wir auf Grund der mittleren Änderungsrate keine Aussage über den Verlauf vom Graph zwischen x1 und x2 machen können. Sollte in diesem Intervall ein Wendepunkt liegen - so wie in der Skizze oben - dann ist die Funktion eben nicht durchgängig monoton steigend.
- Aussage 4: Falsch, weil die erste Ableitung \(f'\left( x \right) = 3a \cdot {x^2} + 2b \cdot x + c\) der Funktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) eine Aussage über die Steigung macht, und eben nicht \(f'\left( x \right) = 5\) lautet
- Aussage 5: Richtig, weil sie sich direkt aus dem Differentialquotienten wie folgt herleiten lässt: \(k = 5 = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 5 \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\) wzbw.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.