Aufgabe 4435
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schlosspark - Aufgabe B_507
Teil b
Ein rechteckiges Blumenbeet mit den Seitenlangen b und h ist in einen Bereich für Rosen und einen Bereich für Tulpen unterteilt. Die Begrenzungslinie zwischen diesen Bereichen kann modellhaft durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten Fläche auf.
A =
[0 / 1 P.]
f ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
Folgende Punkte liegen auf dem Graphen von f: (3 | 0,8), (5 | 2,7), (7 | 3,7), (9 | 2,3).
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie mithilfe dieser Punkte die Koeffizienten a, b, c und d.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir ziehen von der Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen h und b die Fläche unterhalb der Funktion f(x) mit Hilfe vom bestimmten Integral ab:
\(A = h \cdot b - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
2. Teilaufgabe:
Damit wir die 4 Unbekannten a, b, c und d berechnen können benötigen wir 4 unabhängige Gleichungen, die wir mit Hilfe der 4 gegebenen Punkte die auf der Funktion f(x) liegen wie folgt aufstellen können:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d \cr & \cr & f\left( {x = 3} \right) = a \cdot {3^3} + b \cdot {3^2} + c \cdot 3 + d = 0,8 \cr & f\left( {x = 5} \right) = a \cdot {5^3} + b \cdot {5^2} + c \cdot 5 + d = 2,7 \cr & f\left( {x = 7} \right) = a \cdot {7^3} + b \cdot {7^2} + c \cdot 7 + d = 3,7 \cr & f\left( {x = 9} \right) = a \cdot {9^3} + b \cdot {9^2} + c \cdot 9 + d = 2,3 \cr} \)
Lösung mittels Technologieeinsatz - Wolfram Alpha:
\(\eqalign{ & 27a + 9b + 3c + d = 0.8; \cr & 125a + 25b + 5c + d = 2.7; \cr & 343a + 49b + 7c + d = 3.7; \cr & 729a + 81b + 9c + d = 2.3; \cr} \)
Lösung mittels Technologieeinsatz - Geogebra Löse Befehl
- In der CAS-Ansicht gibt man die Funktionsgleichung an
- In den 4 Zeilen darunter jeweils das Funktionsargument und den Funktionswert für jeden der 4 Punkte.
- Danach markiert man die 4 Gleichungen und wählt das 7. Symbol „Löse“
Beide Technologieeinsätze liefern die gesuchten Koeffizienten wir folgt:
\(\eqalign{ & a = - 0,03125 \cr & b = 0,35625 \cr & c = - 0,36875 \cr & d = - 0,45625 \cr} \)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(A = h \cdot b - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & a = - 0,03125 \cr & b = 0,35625 \cr & c = - 0,36875 \cr & d = - 0,45625 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten a, b, c und d.