Funktionsgleichung
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Formeln
Darstellung von Funktionen
Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.
\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)
Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)
Funktionsgleichung
Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge Df auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)
Daher nennt man
- y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
- x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument
Typen wichtiger Funktionsgleichungen
Konstante Funktion | \(f\left( x \right) = c\) |
Direkt proportionale Funktion sie sind für d=0 eine Untermenge der linearen Funktionen |
\(f\left( x \right) = k \cdot x\) |
Lineare Funktion | \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) |
Quadratische Funktion (Parabel) | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) |
Indirekt proportionale Funktion (Hyperbel) sie sind für negative n eine Untermenge der Potenzfunktionen |
\(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\) |
Potenzfunktion | \(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\) |
Wurzelfunktion | \(f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\) |
Exponentialfunktion | \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\\ f\left( x \right) = c \cdot {e^x} \end{array}\) |
Logarithmusfunktion | \(f\left( x \right) = {}^a\log x\) |
Periodische Funktion | \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) |
Polynomfunktion | \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\) |
uvm. |
Graph einer Funktion
Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.
\(y = f\left( x \right)\)
Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.
Wertetabelle einer Funktion
Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge Df ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge Wf, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.
x | y=f(x) |
x1 | f(x1) |
x2 | f(x2) |
... | ... |
xi | f(xi) |
Mengendiagramm einer Funktion
Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden
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Aufgaben
Aufgabe 4505
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Förderband - Aufgabe B_525
Teil c
Nach dem Punkt Q verlauft das Förderband 4 m horizontal bis zum Punkt R. Vom Punkt R bis zum Punkt S wird der Verlauf des Förderbands durch die Funktion h1 beschrieben. (Siehe nachstehende Abbildung.)
Der Graph der Funktion h1 entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion h.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die richtige Funktionsgleichung von h1 an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Funktionsgleichung 1: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x - 12} \right) - 1\)
- Funktionsgleichung 2: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x - 4} \right) - 1\)
- Funktionsgleichung 3: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x + 4} \right) + 1\)
- Funktionsgleichung 4: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x + 12} \right) + 1\)
- Funktionsgleichung 5: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x - 12} \right) + 1\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge L des Förderbands vom Punkt P bis zum Punkt S auf.
L =
[0 / 1 P.]
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