Steigung einer linearen Funktion
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Lineare Funktion
Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Erscheinungsbild durch die beiden Parameter k und d bestimmt ist. Dabei ist
- y die von x abhängige Variable, sie wird auch als Funktionswert bezeichnet
- k der Anstieg bzw. die Steigung. Die Steigung ist bei einer Geraden natürlich unveränderlich konstant
- x die unabhängige Variable, sie wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet
- d der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt
\(f\left( x \right) =y= kx + d\)
Homogene lineare Funktion
Bei der homogenen linearen Funktion ist d=0, daher verläuft ihr Graph durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx\)
Inhomogene lineare Funktion
Bei der inhomogenen linearen Funktion ist d≠0, daher verläuft der Graph nicht durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx + d\)
Konstante Funktion
Bei der konstanten Funktion ist k=0, daher verläuft der Graph parallel zur x-Achse, im Abstand d. Für k=0 und d=0 entspricht der Graph der Funktion dem Verlauf der x-Achse
\(f\left( x \right) = d\)
1. bzw. 2. Mediane
Die Funktion \(f\left( x \right) = \pm x\) heißt 1. bzw. 2. Mediane, wenn k=1 bzw. -1 und d=0. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung und steht im 45° Winkel zur x- und zur y-Achse.
Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft
Es gibt auch Geraden, die nicht der Graph einer linearen Funktion sind. Man spricht nicht von einer Funktion, wenn x=c. Das wäre die Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft oder speziell für x=c=0 wäre es die Gleichung der y-Achse
Steigung k
Die Steigung einer linearen Funktion ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte y=f(x) ändern, wenn sich die Argumente x ändern. Bei positivem k steigt der Graph der Funktion an, bei negativem k fällt er im Koordinatensystem von links oben nach rechts unten. Andere Bezeichnungen für k sind. Steigungsverhältnis bzw. Differenzenquotient.
Die Steigung k der linearen Funktion ist unabhängig von x, was man wie folgt zeigen kann:
\(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {k \cdot {x_2} + d} \right) - \left( {k \cdot {x_1} + d} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = k\)
Aus der konstanten Steigung folgert, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade sein muss.
Achsenabschnitt d
Der Achsenabschnitt d ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse, was man wie folgt zeigen kann:
\(f\left( {x = 0} \right) = k \cdot 0 + d = d\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=-1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=-1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach unten geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=-2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=-2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| -2 \right.} \right)\)
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Aufgaben
Aufgabe 4252
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
New Horizons - Aufgabe A_294
New Horizons ist eine Raumsonde, die im Jahr 2006 von der Erde aus in den Weltraum gestartet ist und immer noch unterwegs ist.
Teil b
Im unten stehenden Diagramm ist die Entfernung von New Horizons von der Erde in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise dargestellt. Eine in der Astronomie gebräuchliche Längeneinheit ist die sogenannte astronomische Einheit (AE). In einer Entfernung von 30 bis 50 AE von der Erde durchfliegt New Horizons den sogenannten Kuipergürtel.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus dem obigen Diagramm ab, wie lange New Horizons benötigt, um den gesamten Kuipergürtel zu durchfliegen.
[1 Punkt]
4 Jahre nach dem Start von New Horizons ist eine weitere Raumsonde von der Erde gestartet. Diese Raumsonde fliegt auf derselben Route wie New Horizons, aber mit der halben Geschwindigkeit.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im obigen Diagramm die Entfernung dieser Raumsonde von der Erde in Abhängigkeit von der Zeit ein.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4258
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Torre de Collserola - Aufgabe A_296
Teil b
Vom Fußpunkt des Torre de Collserola (Fernsehturm in Barcelona) bis zu dessen Aussichtsplattform führt ein Aufzug senkrecht nach oben. In der nachstehenden Abbildung ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v bei einer Aufzugsfahrt modellhaft dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Steigung k der Geschwindigkeit-Zeit- Funktion v im Zeitintervall [105; 150].
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie die Steigung k und ihr Vorzeichen im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
[1 Punkt]
Aufgabe 4271
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Steig- bzw. Sinkflug von Flugzeugen - Aufgabe A_301
Teil a
Ein Flugzeug beginnt zur Zeit t = 0 in einer Flughöhe von 12 000 m mit dem Sinkflug. Dabei nimmt die Flughöhe um 90 m/min ab. Die Flughöhe (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) soll für den Sinkflug durch die lineare Funktion h1 beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion h1 auf.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Für ein zweites Flugzeug zeigt der nachstehend dargestellte Graph der Funktion h2 den Zusammenhang zwischen der Flughöhe und der Zeit.
Überprüfen Sie nachweislich, ob das zweite Flugzeug schneller als das erste Flugzeug sinkt.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4294
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gondelbahn auf den Untersberg - A_224
Teil b
Der Seilverlauf zwischen Stütze I und Stütze II wird vereinfacht als linear angenommen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Überprüfen Sie nachweislich, ob der Steigungswinkel des Seilverlaufs in diesem Abschnitt kleiner als 40° ist.
[1 Punkt]
Aufgabe 4480
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Holzfeuchte und Holztrocknung - Aufgabe A_307
Teil c
Im nachstehenden Diagramm ist der Zusammenhang zwischen der relativen Luftfeuchtigkeit x (in Prozent) und dem Wassergehalt w(x) (in Prozent) einer bestimmten Holzsorte bei der Lagerung dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kennzeichnen Sie im obigen Diagramm denjenigen Punkt P = (x0 | w(x0)), für den gilt: w′(x0) = 1
[0 / 1 P.]
Der im obigen Diagramm dargestellte Zusammenhang soll im Intervall [45; 55] mithilfe der Punkte A = (45 | 7,8) und B = (55 | 9,4) durch eine lineare Funktion modelliert werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung dieser linearen Funktion auf.
[0 / 1 P.]
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