Mathematik Lernen mit Computer Algebra Systemen
Computer-Algebra-Systeme (CAS) sind Softwareprogramme, welche die symbolische oder numerische Berechnung mathematischer Aufgabenstellungen ermöglichen.
- Bei der symbolischen Berechnung werden mathematische Ausdrücke so umgeformt oder berechnet bis ein exaktes allgemeingültiges Resultat vorliegt, ohne dass dabei für die Variablen konkrete Werte eingesetzt werden.
- Bei der numerischen Berechnung wird die (näherungsweise) Lösung eines mathematischen Ausdrucks durch schrittweise Annäherung anhand spezifischer numerischer Werte iterativ ermittelt. Es werden dabei konkrete Zahlen für die Variablen eingesetzt und die resultierenden Ausdrücke ausgewertet. Auf die sehr rechenintensive numerische Berechnung greift man zurück, wenn eine symbolische Berechnung nicht sinnvoll möglich ist.
Beliebte Computer-Algebra-Systeme
Die nachfolgenden Computer-Algebra-Systeme werden in verschiedenen Bereichen eingesetzt, darunter Mathematik, Physik, Ingenieurwesen, Informatik und Bildung. Sie helfen Forschern, Wissenschaftlern, Ingenieuren und Studenten bei der Durchführung komplexer Berechnungen, der Erforschung mathematischer Konzepte und der Lösung komplizierter mathematischer Probleme.
Bei den oben genannten CAS handelt es sich um kommerzielle Software deren Vollversion auf Grund der Anschaffungskosten für Nutzer mit begrenzten Budgets kaum zugänglich sind. Die Software ist nicht für ad-hoc Einsätze gedacht, da sie eine umfangreiche Einarbeitung erfordern.
Wolfram Alpha (Pro)
Wolfram Alpha ist eine kostenlose Website, welche einzelne Suchabfragen basierend auf kuratierten Daten und CAS-Funktionalität miteinander verbindet. Die Benutzeroberfläche weist einen Suchslot auf, in den man die jeweilige Abfrage, losgelöst von vorherigen Abfragen, entweder in englischer natürlicher Sprache oder als mathematischen Term gemäß der Wolfram-Language eingibt. Die Ausgabe erfolgt als Set von strukturierten Daten.
Die Basisversion Wolfram Alpha ist kostenlos, die Pro Version bietet zusätzlich Schritt-für-Schritt Lösungen, ermöglicht Downloads und verfügt über einen Aufgaben-Generator, ist jedoch kostenpflichtig.
Wolfram Alpha Notebook Edition
Wolfram Alpha Notebook Edition ist kostenpflichtig als Desktop- bzw. als Online-Variante verfügbar. Die Alpha Notebook Edition ist als separates Produkt und als Teil von Mathematica erhältlich. Die Wolfram Alpha Notebook Edition erweitert die Funktionalität von Wolfram Alpha Pro, indem es aufeinander aufbauende Verarbeitungen ermöglicht, während Alpha Pro auf eine „one-Shot“ Abfrage/Antwort limitiert ist. Die Notebook Edition basiert auf Mathematica, erlaubt aber weitgehend eine Eingabe in englischer natürlicher Sprache, dh man muss die Wolfram-Language nicht unbedingt beherrschen.
Mathematica
Mathematica wurde von Wolfram Research entwickelt und ist ein umfassendes CAS, das eine breite Palette an mathematischen und rechnerischen Fähigkeiten speziell für symbolische Berechnungen bietet. Wolfram Mathematica ist kostenpflichtig als Desktop- bzw. als Online-Variante verfügbar. Mathematica ist eine professionelle Software für Mathematik auf Universitäts-Niveau und erfordert einiges an Einarbeitungszeit.
Maple
Maple ist ein leistungsstarkes CAS, das von Maplesoft entwickelt wurde. Es bietet umfangreiche Werkzeuge für symbolische Berechnungen, mathematische Visualisierung und Programmierung.
MATLAB
MATLAB ist in erster Linie als numerische Rechenumgebung bekannt, umfasst aber über seine Symbolic Math Toolbox auch Funktionen für symbolische Berechnungen. Es kann durch Simulink ergänzt werden, welches speziell zur Modellierung von technischen, physikalischen oder finanzmathematischen Aufgabenstellungen optimiert ist.
Beliebte Programmiersprachen für numerische Berechnungen
Python
Python als eine weit verbreitete und lizenzlos zugängliche Programmiersprache, die sich leicht erlernen und für numerische Berechnungen verwenden lässt, speziell um große Datenmengen zu sammeln, zu strukturieren, zu analysieren und zu visualisieren. NumPy- und SciPy-Bibliotheken bieten einen umfangreichen Satz numerischer Funktionen und Algorithmen, einschließlich linearer Algebra, Optimierung, Interpolation und mehr. Bei rechenintensiven Aufgaben kann Python im Vergleich zu kompilierten Sprachen langsamer sein. Obwohl NumPy und SciPy leistungsstark sind, bieten sie möglicherweise nicht das gleiche Leistungsniveau wie spezialisierte numerische CAS-Systeme
R
R ist eine beliebte Sprache für statistische Berechnungen und Datenanalysen mit umfangreichen Paketen und Bibliotheken. Es bietet eine breite Palette an Statistikfunktionen und Visualisierungsmöglichkeiten. R verfügt über eine starke Community und eine Fülle an Ressourcen zum Lernen und zur Unterstützung. Für allgemeine numerische Berechnungen, die über Statistik und Datenanalyse hinausgehen, ist R möglicherweise nicht so gut geeignet wie spezialisierte numerische CAS-Systeme.
Beliebte Computer-Algebra-Systeme für ad-hoc Einsätze
GeoGebra
GeoGebra ist vor allem als dynamische Mathematiksoftware bekannt, die verschiedene mathematische Darstellungen integriert, darunter Geometrie, Algebra, Analysis und Statistik. Es bietet Benutzern eine Plattform zum Erstellen und Bearbeiten geo-metrischer Objekte, zum Plotten von Funktionen und zum Durchführen symbolischer Berechnungen mithilfe des integrierten CAS. GeoGebra legt Wert auf interaktives Lernen und Visualisierung und ist daher bei Pädagogen und Studenten beliebt.
Mit den CAS-Funktionen von GeoGebra können Benutzer symbolische Berechnungen durchführen, beispielsweise Ausdrücke vereinfachen, Gleichungen lösen, Ableitungen finden und Integrale auswerten. Allerdings ist die CAS-Funktionalität im Vergleich zu dedizierten CAS-Tools eingeschränkt. Auch die Möglichkeiten komplexe numerische Berechnungen durchzuführen können auf Grund der zugrundeliegenden Spezialisierung nicht mit Wolfram Alpha oder Wolfram Mathematik mithalten. GeoGebra‘s CAS ist in eine umfassenderen mathematischen Visualisierungs- und Explorationsfunktionen integriert und ermöglicht es Benutzern, symbolische Berechnungen mit dynamischen geometrischen Konstruktionen und Visualisierungen zu verbinden.
Wolfram Alpha als CAS
Wolfram Alpha ist eine rechnergestützte Wissensmaschine, die darauf ausgelegt ist, Fragen zu beantworten und detaillierte Informationen zu einem breiten Themenspektrum bereitzustellen. Es beinhaltet ein leistungsstarkes CAS, das über traditionelle mathematische Berechnungen hinausgeht und ein breites Spektrum an Bereichen abdeckt, darunter Mathematik, Naturwissenschaften, Ingenieurwesen, Finanzen, Linguistik und mehr. Wolfram Alpha kann komplexe mathematische Operationen verarbeiten, sein Anwendungsbereich geht jedoch weit über die reine Mathematik hinaus.
Das CAS von Wolfram Alpha kann anspruchsvolle Berechnungen durchführen, die symbolische Manipulation, Gleichungslösung, Analysis, lineare Algebra, Statistik und mehr umfassen. Es bietet umfassendes integriertes Wissen und Algorithmen, die es ihm ermöglichen, komplexe Probleme in verschiedenen Disziplinen zu lösen. Im Gegensatz zu GeoGebra konzentriert sich Wolfram Alpha in erster Linie auf die Bereitstellung detaillierter Antworten und Erklärungen auf der Grundlage von Benutzeranfragen und nicht auf interaktive Erkundungen oder dynamische Visualisierungen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sowohl GeoGebra als auch Wolfram Alpha CAS-Funktionen bieten, GeoGebra sein CAS jedoch in eine umfassendere interaktive Mathematiksoftware integriert und dabei den Schwerpunkt auf visuelles Erkunden und Lernen legt. Im Gegensatz dazu ist Wolfram Alpha eine umfassende rechnerische Wissensmaschine, die neben ihren vielen Funktionen auch ein robustes CAS umfasst und als Werkzeug zum Erhalten detaillierter Antworten und Erklärungen in zahlreichen Bereichen dient.
Lernen mit Keyword basierten Suchmaschinen und organischen Treffern
Google, Bing, Yahoo oder Ecosia
Keyword basierte Suchmaschinen wie Google, Bing, Yahoo oder Ecosia durchforsten mit Hilfe eines Web-Crawlers zyklisch die ihnen zugänglichen Teile vom Internet und erstellen einen Index, der für jedes Schlüsselwort die relevanten Webseiten auflistet. Da Google 2022 einen Anteil von 95% der Suchanfragen im deutschen Sprachraum hatte, werden wir uns im Folgenden auf die Google Terminologie beschränken.
Sucht ein Nutzer der Suchmaschine nach einem bestimmten Schlüsselwort – z.B.: „Binomialkoeffizient“, werden auf der SERP (Search Engine Result Page) nach einem (geheimen) Ranking-Algorithmus aus dem Index die blauen Links auf die relevanten Webseiten ausgegeben. Man spricht dabei von organischen Suchtreffern. Klickt der Suchende den Link an, landet er auf der entsprechenden Website eines Inhalteanbieters irgendwo auf der Welt. Da mehr als ein Treffer angeboten wird, bleibt die Meinungsvielfalt gewahrt.
2012 haben die keyword-basierten Suchmaschinen bezüglich der Strukturierung von Daten aufgerüstet. Oberhalb der organischen Treffer gibt Google auf der SERP, abgesehen von bezahlter Werbung, mehrere Boxen aus, deren Inhalt von Google generiert wird. D.h. Google verlinkt nicht mehr auf externe Inhalte, sondern generiert die Inhalte selbst. Die Quellen werden möglichst unauffällig angegeben und es ist nicht die Absicht von Google, dass Nutzer zum eigentlichen Inhalteanbieter weitersurft. Der Nutzer bleibt im Ökosystem von Google und es fällt kaum mehr Traffic für externe Webseiten an, die Meinungsvielfalt bleibt auf der Strecke.
- Direkt Answer, beantwortet einfache Suchanfragen, die über ein gigantischem Suchvolumen verfügen direkt, z.B.: "km Meilen". Der Nutzer bleibt im Google Ökosystem.
- Knowledge Panel bzw. Informationen aus dem Knowledge Graph, damit werden die auf verschiedenen Webseiten gefunden Informationen automatisch von Google zusammengefasst. Die Nutzer erhalten einen schnellen Überblick über allgemeine Themen, ohne auf externe Webseiten zu surfen. Hier werden ab 2023 wohl KI generierte Texte den Nutzer noch stärker zum Verweilen im Google Ökosystem verleiten.
- Featured Snippets, damit werden Auszüge aus einer durch Favicon und URL grundsätzlich identifizierbaren externen Webseite in Form einer Antwort auf die sehr konkrete Suchanfrage zusammengefasst. Trafficstarke Featured Snippets bringen viel organischen Traffic auf die Website des Inhalte-Erstellers. Hier werden ab 2023 wohl KI generierte Texte den Nutzer noch stärker zum Verweilen im Google Ökosystem verleiten.
- People Also Ask - Boxen, damit werden ähnliche Fragen beantwortet, die für den Nutzer ohne dessen Zutun die Suchanfrage verfeinern oder leicht abwandeln.
D.h. der Nutzer erhält eine erste oberflächliche und natürlichsprachige Antwort auf seine Suchabfrage bereits direkt durch Google, und zwar ganz oben auf der Trefferseite, noch vor den organischen Treffern. Der Nutzer "erspart" es sich dadurch auf die der Antwort zugrunde liegende Website zu surfen, was den Webseiten, welche die Inhalte aufwendig erstellt haben, um die Besucher und die damit verbundenen Vermarktungsmöglichkeiten bringt. An dieser Stelle sei vor einem Informationsmonopol durch Google, Bing, Yandex und Baidu gewarnt!
Der Betrieb eines Indexers ist teuer, daher gibt es weltweit nur 4 große Suchindizes (Google und Bing aus den USA; Yandex aus Russland bzw. den Niederlanden und Baidu aus China) die auf Grund ihrer Dominanz das Potential haben, die gesellschaftliche Willensbildung zu beeinflussen. Daher fördert die EU derzeit den Aufbau eines europäischen Suchindex.
Das Training einer KI und deren Betrieb in einem Rechenzentrum sind ebenfalls sehr teuer, sodass es auch hier vor einem Informationsmonopol gewarnt werden muss.
Lernen mit wissensbasierten semantischen Suchmaschinen
Wolfram Alpha - als semantische Suchmaschine
Wissensbasierte semantische Suchmaschinen wie Wolfram Alpha suchen nicht nach einzelnen Schlüsselwörtern, sondern nach deren Bedeutung („Notable people born in Vienna“ wird zerlegt in „City=Vienna“ & „notable people born in city“) und nützten dabei durch „Data Curators“ händisch ausgewählte vertrauenswürdige Datenquellen, etwa von Statistischen Zentralämtern. Es kommt kein Indexer zum Einsatz.
Als Ausgabe erhält der Nutzer keine Links auf die Datenquellen wie bei Google, aber auch keinen Text in natürlicher Sprache wie bei ChatGPT, sondern ein Set an strukturierten Daten.
Bei der Suchfunktionalität von Wolfram Alpha handelt es sich um ein wissensbasiertes System, welches formalisierte Regeln und Logiken verwendet, um Fragen faktenbasiert zu beantworten. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass die Suchmaschine komplex formulierte sprachliche Anfragen nicht verarbeiten kann und nur auf Fragen aus ausgewählten Wissenschaften eine Antwort liefern kann.
Mathematik Lernen mit KI basierten Sprachmodellen
ChatGPT, Gemini, Copilot undc Claude von Anthropic
KI-basierte Sprachmodelle vom Typ LLM (Large Language Model) wie ChatGPT von OpenAI, Gemini (ehemals Bard) von Google oder Copilot von Microsoft bzw. Claude von Anthropic wurden vorab mit gigantischen Textmengen trainiert. Sie nützen neuronale Netze, um Beziehungen zwischen einzelnen Worten und Texten zu erfassen. Basierend auf Wahrscheinlichkeiten und Modellen von Wortabfolgen, erzeugen sie neue Texte und geben diese dann in natürlicher Sprache aus, sodass der Eindruck eines Gesprächs („Chat“) entsteht.
Während LLM basierte KIs einen Text schreibt, evaluiert es auf der Basis eines komplexen Sprachmodells mit Milliarden an Parametern vor jedem neuen Wort, welche Wörter mit der größten Wahrscheinlichkeit auf den bisher geschriebenen Satzteil folgen sollten um zur Fragestellung zu passen. Ziel ist es, wortweise einen sinnvollen Satz bzw. eine kontextbezogene Abfolge von Sätzen auszugeben.
Sprachbasierte generative KIs, bei der eine künstliche Intelligenz vom Typ „Large Language Model (LLM)“ mit dem Nutzer unter Zuhilfenahme einer Chatoberfläche kommuniziert, können ohne Plugin, also Schnittstellen zu einem externen CAS, grundsätzlich nicht rechnen!
Das kann sich auch so lange nicht ändern, als LLMs auf stochastischen Modellen basieren. D.h. sie erzeugen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von möglichen Antworten.
Die Fähigkeiten sind bei Texten über mathematische Inhalte ausreichend:
1. Beispiel: Fragt man ChatGPT: „Wofür dient der Binomialkoeffizient“ so erhält man eine brauchbare Antwort: „Der Binomialkoeffizient, oft mit dem Symbol "n über k" oder "C(n,k)" dargestellt, ist eine mathematische Funktion, die in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie weit verbreitet ist. Er dient dazu, die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen… Die Berechnung des Binomialkoeffizienten erfolgt in der Regel mithilfe der Kombinatorik-Formel: \(C\left( {n,k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
In der weiteren Antwort kommt aber auch der Begriff „Binomiales Experiment“ vor. Fragt man nach, ob ein „Binomiales Experiment“ dasselbe wie eine „Bernoulli-Kette“ ist, so verfängt sich ChatGPT in Widersprüchen ….
2. Beispiel: Fragt man ChatGPT: "Wieviel ist 1+1?“, so erhält man als Antwort jenes Resultat, das ChatGPT am häufigsten in den Daten gefunden hat, mit denen es trainiert wurde: „1+1 ergibt 2“. Und müsste eigentlich hinzufügen: „Wahrscheinlich“.
Die Fähigkeiten sind nicht ausreichend, für Rechenaufgaben, die eine exakte Antwort benötigen.
3. Beispiel: Hat ChatGPT das Resultat aber noch nie gelesen, fängt es an zu raten: „Wieviel ist \root 5 \of {147,95} =“. Die Antwort lautet „Die fünfte Wurzel von 147,95 beträgt ungefähr 2,364“, was nicht wirklich brauchbar ist, denn: \(\sqrt[5]{{147,95}} \approx 2,71658\)
4. Beispiel: (verkürzter) Dialog mit Copilot am 26.6.2024 :
- Ich: "Zeige die schwache Goldbachvermutung für die Zahl 13"
- Copilot: "Natürlich! Hier ist die Darstellung gemäß der schwachen Goldbachvermutung für die angegebene Zahl: 13=2+2+3+6; Summe von vier Primzahlen; Die schwache Goldbachvermutung besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden kann. ...
- Ich: "Das ist falsch, für 13 verwendest du nicht 3 Primzahlen, sondern 4 Zahlen, wobei 6 keine Primzahl ist"
- Copilot: "Du hast absolut recht, und ich entschuldige mich für den Fehler in meiner vorherigen Antwort. Vielen Dank für die Korrektur! Lassen Sie uns die schwache Goldbachvermutung für die Zahl 13 erneut betrachten: 13=2+2+3+6; Summe von vier Primzahlen: 2, 2, 3 und 6. Vielen Dank nochmals für den Hinweis, und ich hoffe, diese Antwort ist korrekt und hilfreich!"
- Ich: "Das ist die gleiche falsche Antwort, für 13 verwendest du nicht 3 Primzahlen, sondern 4 Zahlen, wobei 6 keine Primzahl ist."
- Copilot: "Vielen Dank für deine Geduld, und ich entschuldige mich für die wiederholten Fehler in meinen vorherigen Antworten. Lassen Sie uns die schwache Goldbachvermutung für die Zahl 13 erneut betrachten: 13=2+11. Summe von zwei Primzahlen 2 und 11. Ich hoffe, diese Antwort ist korrekt und hilfreich!"
- Ich: "Leider nein!"
Was zeigt uns das Beispiel:
- Copilot sagt korrekt, dass es sich bei der schwachen Goldbachvermutung um die Summe aus 3 Primzahlen handeln muss, weil sich dieser einfache Text oft in der Literatur findet.
- Copilot nennt aber die Summe aus 4 Zahlen, von denen eine keine ("6") Primzahl ist. Später nennt es die Summe aus 2 Zahlen. Dh es versteht die Goldbachvermutung überhaupt nicht.
- Im 3. Anlauf werden 2 Primzahlen genannt. Dh das LLM kann nicht bis 3 zählen. Es versteht auch den zweifachen Hinweis nicht, dass nicht 4 sondern 3 Zahlen aufsummiert werden sollen.
- Mögliche richtige Antworten wären übrigens : 13=3+3+7 oder 13=3+5+5. Wenn Copilot diese Zeilen hier liest, gibt es in Zukunft hoffentlich eine korrekte Antwort... zumindest für die Goldbach-Zerlegung der Zahl 13.
Rechenaufgaben erfordern ein Verständnis der zugrundeliegenden Mathematik, während KIs die auf LLM basieren, Muster in Trainingsdaten erkennen und daraus, basierend auf einem Algorithmus, ein Modell parametrieren.
Stellt ein Nutzer eine Frage, versucht die KI mit Hilfe des vorab parametrieren Modells eine wahrscheinliche Antwort zu finden, ohne jegliches Verständnis der zugrundeliegenden Kausalitäten, – etwa von Gleichungen oder Formeln.
Bei den meisten Aufgabestellungen in der Schulmathematik hat der Ersteller darauf geachtet, dass ein „schönes“ Ergebnis rauskommt.
„Berechne an Hand von konkreten Zahlenbeispielen für ein rechtwinkeligen Dreieck aus den gegebenen Katheten a, b die zugehörige Hypotenuse c“. Natürlich gibt es dafür unendlich viele Zahlen-Tripel, aber es gibt nur eine Handvoll „schöner“ Tripel, also solche, bei denen die Quadratwurzel aus der Summe der beiden Quadrate zweier ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl ergibt. Mögliche Antworten sind :
- 3 und 4 liefern 5
- 5 und 12 liefern 13
- 6 und 8 liefern 10
- 8 und 15 liefern 17
- 7 und 24 liefern 25
- 20 und 21 liefern 29
- 9 und 40 liefern 41
- 28 und 45 liefern 53
- usw
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine sprachbasierte generative KI, genau diese wenigen, speziellen Tripel in den Trainingsdaten findet, ist durchaus hoch, da sie sich in der Literatur bereits seit der Antike immer wieder finden.
Wir haben obige Aufgabe aber auch in Textform verfasst! Das „liegt“ einer sprachbasierten KI natürlich… Hätten wir statt dem Text eine Illustration mit einem rechtwinkeligen Dreieck verwendet, hätte die KI zunächst mit Hilfe einer Bilderkennungssoftware die Illustration in einen Text umwandeln müssen, was ausgesprochen fehleranfällig ist.
Man kann das mal anhand eines Bildes mit Midjourney und dem Befehl /describe probieren. Erst mit dieser Beschreibung kann die sprachbasierte KI im Modell mit der Suche beginnen.
Das erklärt auch, warum speziell ehemalige Maturaaufgaben zu erfolgreichen Antworten führen. Exakt diese Angaben samt korrektem Lösungsweg finden sich dutzendfach im Internet, etwa auf unserer Website.
Mehr noch: Auf maths2mind liegen sogar die zugehörigen Illustrationen im vektoriellen .svg-Format vor, in dem grafische Elemente in XML, einer durch Menschen und Maschinen lesbaren Textform, abgelegt sind.
Man könnte sagen, KIs die auf LLMs basieren, eignen sich dann zum Schummeln bei Matheaufgaben, wenn die KI selbst Schummeln kann. Denn eines kann eine sprachbasierte generative KI nicht – nämlich rechnen!
Text to "Wolfram Language“
Wir haben bisher immer wieder betont, eine „sprachbasierte generative KI“ kann nicht rechnen. Natürlich hat sich dafür auch schon ein „Workaround“ gefunden. „Plugins“ wie etwa „Wolfram GPT“ übersetzen den vom LLM (Large Language Model) des Chatbots zugelieferten linguistischen Text in die mathematische Sprache namens „Wolfram Language“, mit der dann wiederum ein CAS wie Wolfram Mathematica oder Wolfram|Alpha aufgerufen wird. So erhält die KI Zugang zu leistungsstarken Berechnungen und Visualisierungen, basierend auf präziser Mathematik.