Bayern Mathematik Abitur 2016 - Prüfungsteil A+B - mit CAS - Gruppe 2

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}\) mit maximalem Definitionsbereich D.

1. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie D an.

2. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Nullstelle von f an.

3. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\)

4. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ermitteln Sie die x-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

1. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Der Punkt \(\left( {2\left| 0 \right.} \right)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von g.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Der Graph der Funktion h ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion f.

Bild

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)

Die Funktion F ist die in \({\Bbb R}\) definierte Stammfunktion von f mit \(F\left( 3 \right) = 0\)

2. Teilaufgabe b) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der Stelle x=2 an.

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie, dass \(F\left( b \right) = \int\limits_3^b {f\left( x \right)} \,\,dx{\text{ mit }}b \in {\Bbb R}\)

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die Abbildung zeigt den Graphen G_k einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion k.

Bild

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion G_k‘ .
Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen G_k an dessen Wendepunkt \(\left( {0\left| { - 3} \right.} \right)\) sowie die Nullstelle von k‘

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt:
{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie den Erwartungswert von X.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.

• A: „Anna und Tobias gehören dem Team an.“
• B: „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen.“

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:

\(\dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}\\
4
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
4
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}\\
4
\end{array}} \right)}}\)

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben sind die Ebene \(E:2 \cdot {x_1} + {x_2} + 2 \cdot {x_3} = 6\) sowie die Punkte \(P\left( {1\left| 0 \right.\left| 2 \right.} \right){\text{ und }}Q\left( {5\left| {2\left| 6 \right.} \right.} \right)\)

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E verläuft.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:20

Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben sind die Punkte \(A\left( { - 2\left| {1\left| 4 \right.} \right.} \right){\text{ und }}B\left( { - 4\left| {0\left| 6 \right.} \right.} \right)\)

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: \(\overrightarrow {CA} = 2 \cdot \overrightarrow {AB} \)

Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

• I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.
• II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \dfrac{x}{{x + 3}}\) mit maximalem Definitionsbereich D_f . Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Geben Sie D_f , den Wertebereich W_f von f sowie die Gleichungen aller Asymptoten von G_f an.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Der Graph der Funktion g geht aus G_f durch eine Verschiebung hervor und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Geben Sie eine Gleichung von g an.

3. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Die Funktion f ist umkehrbar. Beschreiben Sie, wie man den Term der Umkehrfunktion von f bestimmen kann, und geben Sie Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion von f an.

4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Der Graph der Funktion f und der Graph der Umkehrfunktion von f schneiden sich im Koordinatenursprung. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die beiden Graphen im Koordinatenursprung einschließen.

5. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Die Punkte \(O\left( {0\left| 0 \right.} \right){\text{ und A}}\left( {a\left| 1 \right.} \right){\text{ mit }}a \in {{\Bbb R}^ + }\) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten parallel zur x-Achse bzw. zur y-Achse sind. Das Rechteck wird von G_f in zwei Teilflächen gleichen Inhalts zerlegt. Bestimmen Sie einen Näherungswert für a auf zwei Dezimalen genau.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen \({f_k}:x \mapsto \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {k^2}}}{\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\) . 

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ausschließlich anhand des Funktionsterms f_k(x), ohne Verwendung von Ableitungen, dass alle Funktionen f_k an der Stelle x=0 ein Minimum besitzen.

2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Weisen Sie nach, dass alle Wendepunkte der Graphen der Schar f_k auf einer Parallelen zur x-Achse liegen.

3. Teilaufgabe c) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40

In dieser Aufgabe ist k=4. Für jedes \(r \in {{\Bbb R}^ + }\) legen die Punkte \(O\left( {0\left| 0 \right.} \right),\,\,{P_p}\left( {p\left| {{f_4}\left( p \right)} \right.} \right){\text{ und }}{Q_p}\left( {p\left| 1 \right.} \right)\)  das Dreieck OP_pQ_p fest. Bestimmen Sie dessen Flächeninhalt A_p in Abhängigkeit von p und ermitteln Sie anschließend denjenigen Wert von p, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks maximal ist.

Teilergebnis: \({A_p} = \dfrac{{8p}}{{{p^2} + 16}}\)

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Betrachtet wird die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(w:x \mapsto 13,5 \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{50}} \cdot x} \right)\)

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion w im Intervall \(\left[ { - 25;175} \right]\) in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie an, wie der Graph der Funktion w schrittweise aus dem Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion \(s:x \mapsto \sin \left( x \right)\) hervorgeht.

3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ein quaderförmiges Aluminiumblech besitzt eine quadratische Grundfläche der Seitenlänge 1m und eine Dicke von 2,0 mm. Es wird in einer Maschine zu einem Wellblechelement mit unverändertem Volumen umgeformt (vgl. nachfolgende Abbildung).

Illustration fehlt

Bildquelle: https://www.montana-ag.ch/de/produkte/wellbandprofile/swiss-panel-wellb… Stand 09.08.2023

Von oben betrachtet deckt das Wellblechelement weiterhin ein Quadrat der Seitenlänge 1m ab, seine mittlere Dicke ist folglich geringer als 2,0 mm. Die Profillinie des Wellblechelements kann durch ein Teilstück des Graphen von w beschrieben werden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei 1 mm in der Realität.

Bestimmen Sie die mittlere Dicke des Wellblechelements auf Zehntelmillimeter genau. Verwenden Sie dabei, dass für die Länge l des Funktionsgraphen der Funktion w zwischen den Punkten

\(\left( {a\left| {w\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {w\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b{\text{ gilt: l = }}\int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {w'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\)

4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Das Wellblechelement wird auf einer ebenen Dachfläche so angebracht, dass es unmittelbar aufliegt. Der dabei entstehende Hohlraum wird ausgeschäumt. Bestimmen Sie das Volumen, das der Schaum einnimmt; vernachlässigen Sie dabei die Dicke des Wellblechelements.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. 41 % aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare.

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens 10 % der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort.