Österreichische AHS Matura - 2021.05.21 - 4 Typ II Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Koffein

Teil a

Lea trinkt eine Tasse Kaffee. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion K dargestellt, die modellhaft die Konzentration K(t) von Koffein in Leas Blut in Abhängigkeit von der Zeit t nach dem Trinken des Kaffees beschreibt (t in h, K(t) in mg/L).

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung, wie viele Minuten t nach dem Trinken des Kaffees die maximale Konzentration von Koffein im Blut auftritt.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

[0 / ½ / 1 P.]

Die Funktion K hat im Intervall (0; 0,8) _____1_____ und in diesem Intervall ändert sich das Vorzeichen der _____2_____ .
 

• Satzteil 1_1: eine Wendestelle
• Satzteil 1_2: eine Extremstelle
• Satzteil 1_3: eine Nullstelle
   
• Satzteil 2_1: Krümmung
• Satzteil 2_2: Steigung
• Satzteil 2_3: Funktionswerte

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Koffein

Teil b

Die Löslichkeit von Koffein in Wasser gibt an, wie viel Gramm Koffein pro Liter (g/L) maximal gelöst werden können. Die Löslichkeit ist temperaturabhängig. Sie lasst sich näherungsweise durch die Funktion f beschreiben.
\(f\left( T \right) = 6,42 \cdot {e^{0,05 \cdot T}}{\text{ mit }}0 \leqslant T \leqslant 90\)

Jemand behauptet: „Bei einem Anstieg der Temperatur um 10 °C nimmt die Löslichkeit von Koffein in Wasser etwa auf das 1,65-Fache zu.“

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Überprüfen Sie rechnerisch, ob diese Behauptung richtig ist.
[0 / 1 P.]

Folgende Gleichung wird aufgestellt:
\(2 \cdot 6,42 = 6,42 \cdot {e^{0,05 \cdot T}}\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie die Lösung dieser Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

CO₂ und Klimaschutz

In den letzten Jahrzehnten hat der CO2-Gehalt in der Erdatmosphäre unter anderem durch den Straßenverkehr zugenommen.

Teil a

Für jeden PKW mit Benzinantrieb wird angenommen, dass pro Liter verbrauchten Benzins 2,32 kg CO₂ ausgestoßen werden. PKW A fahrt eine Strecke von s km mit einem durchschnittlichen Benzinverbrauch von 7,9 Litern pro 100 km. Um dessen CO₂-Ausstoß auszugleichen, sollen b Bäume gepflanzt werden. Dabei nimmt man an, dass jeder dieser Bäume in seiner gesamten Lebenszeit 500 kg CO₂ aufnimmt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie unter Verwendung von s eine Formel zur Berechnung der Anzahl b der zu pflanzenden Bäume auf.

b =
[0 / 1 P.]

PKW B legt eine Strecke von 15 000 km zurück. Um dessen CO₂-Ausstoß auszugleichen, werden 5 Bäume gepflanzt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den durchschnittlichen Benzinverbrauch (in Litern pro 100 km) von PKW B auf dieser Strecke.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

CO₂ und Klimaschutz

In den letzten Jahrzehnten hat der CO2-Gehalt in der Erdatmosphäre unter anderem durch den Straßenverkehr zugenommen.

Teil b

Neben CO₂ verstärken auch andere Gase die Klimaerwärmung. Die Emission von diesen Gasen wird in sogenannte CO₂-Äquivalente umgerechnet. Die nachstehende Tabelle gibt für einige Staaten der EU Auskunft über die jeweilige Einwohnerzahl (in Millionen) im Jahr 2015 und die zugehörigen CO₂-Äquivalente (in Tonnen pro Person).

Datenquellen: https://ec.europa.eu/eurostat/statisticsexplained/index.php?title=Popul… [24.07.2020],
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Lander_nach_Treibhausgas-Emissi…
[24.07.2020].

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die durchschnittlichen CO₂-Äquivalente e (in Tonnen pro Person) für den gesamten in der obigen Tabelle angeführten Teil der EU.
e =                Tonnen pro Person
[0 / 1 P.]

Lukas sind nur die in der obigen Tabelle angeführten Werte der CO₂-Äquivalente der einzelnen Staaten bekannt, nicht aber die jeweils zugehörige Einwohnerzahl. Er berechnet das arithmetische Mittel der CO₂-Äquivalente zu:

\(\overline x = 11,3\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erklären Sie ohne Verwendung des berechneten Wertes von e, warum x größer als e sein muss.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm

Die Geschwindigkeiten von 2 PKWs (PKW A und PKW B) werden als Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit modelliert. Im unten stehenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm sind die zugehörigen Graphen dargestellt. Die Zeit t wird in Sekunden angegeben, die Geschwindigkeiten werden in m/s angegeben.

• PKW A und PKW B starten zum Zeitpunkt t = 0 aus dem Stillstand. Sie haben beide zum Zeitpunkt t = 10 eine Geschwindigkeit von 12 m/s.
• PKW A bewegt sich für \(t \in \left[ {0;6} \right]\) mit der Geschwindigkeit v₁(t) und für \(t \in \left[ {6;10} \right]\) mit der konstanten Geschwindigkeit v₂(t).
• PKW B bewegt sich für \(t \in \left[ {0;10} \right]\) mit der Geschwindigkeit \({v_3} = 0,12 \cdot {t^2}\)

Illustration fehlt

Teil a

• Im Zeitintervall [0; 6] legt PKW A eine Strecke von 36 m zurück.
• Im Zeitintervall [0; t₁] mit 6 ≤ t₁ ≤ 10 legt PKW A eine Strecke mit der Länge d zurück (d in m).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie d in Abhängigkeit von t₁ an.
d =
[0 / 1 P.]

Im Zeitintervall [0; 10] legt PKW A eine längere Strecke als PKW B zurück.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, um wie viele Meter diese Strecke länger ist.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm

Die Geschwindigkeiten von 2 PKWs (PKW A und PKW B) werden als Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit modelliert. I.m unten stehenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm sind die zugehörigen Graphen dargestell. Die Zeit t wird in Sekunden angegeben, die Geschwindigkeiten werden in m/s angegeben.

Teil b

Für PKW A gilt:

• Zum Zeitpunkt t = 6 betragt die Geschwindigkeit 12 m/s.
• Zum Zeitpunkt t = 0 betragt die Beschleunigung 0 m/s².
• Zum Zeitpunkt t = 3 hat die Beschleunigung ihren maximalen Wert.

Für die Funktion \({v_1}\left[ {0;6} \right] \to {\Bbb R}\)  gilt:
\({{\text{v}}_1}\left( t \right) = p \cdot {t^3} + q \cdot {t^2} + r \cdot t{\text{ f\"u r alle t}} \in \left[ {0;6} \right]{\text{ p}}{\text{,q}}{\text{,r }} \in {\Bbb R}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen auf, mit dem die Koeffizienten p, q und r berechnet werden können.
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm

Die Geschwindigkeiten von 2 PKWs (PKW A und PKW B) werden als Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit modelliert. Die Zeit t wird in Sekunden angegeben, die Geschwindigkeiten werden in m/s angegeben.

Teil c

Die Beschleunigung von PKW B wird im Zeitintervall [0; 10] durch die Funktion a₃ in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben (t in s, a₃(t) in m/s2).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Beschleunigungsfunktion a₃ ein.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Würfelspiel

Bei einem Würfelspiel werden verschiedene Würfel mit jeweils 6 Seitenflächen verwendet. Bei allen verwendeten Würfeln tritt bei jedem Wurf jede Seitenfläche mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie jede der anderen Seitenflächen auf. Die Ergebnisse verschiedener Würfe sind voneinander unabhängig. Es werden die 3 Würfeltypen A, B und C verwendet. In der nachstehenden Abbildung sind deren Seitenflächen dargestellt.

Illustration fehlt

Teil a

Ein Spieler würfelt 1-mal gleichzeitig mit einem Würfel vom Typ B und einem Würfel vom Typ C.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gewürfelten Augenzahlen 8 beträgt.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Würfelspiel

Bei einem Würfelspiel werden verschiedene Würfel mit jeweils 6 Seitenflächen verwendet. Bei allen verwendeten Würfeln tritt bei jedem Wurf jede Seitenfläche mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie jede der anderen Seitenflächen auf. Die Ergebnisse verschiedener Würfe sind voneinander unabhängig. Es werden die 3 Würfeltypen A, B und C verwendet. In der nachstehenden Abbildung sind deren Seitenflächen dargestellt.

Illustration fehlt

Teil b

Die Zufallsvariable X_A bzw. X_B bzw. X_C gibt die Augenzahl beim Wurf eines Würfels vom Typ A bzw. B bzw. C an. Eine dieser drei Zufallsvariablen hat einen ganzzahligen Erwartungswert.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie diesen ganzzahligen Erwartungswert an.
[0 / 1 P.]

Die beiden anderen Zufallsvariablen haben die gleiche Standardabweichung.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diese Standardabweichung. [0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Würfelspiel

Bei einem Würfelspiel werden verschiedene Würfel mit jeweils 6 Seitenflächen verwendet. Bei allen verwendeten Würfeln tritt bei jedem Wurf jede Seitenfläche mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie jede der anderen Seitenflächen auf. Die Ergebnisse verschiedener Würfe sind voneinander unabhängig. Es werden die 3 Würfeltypen A, B und C verwendet. In der nachstehenden Abbildung sind deren Seitenflächen dargestellt.

Illustration fehlt

Teil c

Mit einem Würfel vom Typ C wird n-mal gewürfelt. Die Zufallsvariable Y_n gibt an, bei wie vielen von diesen n Würfen mit einem Würfel vom Typ C eine ungerade Augenzahl auftritt (n ∈ ℕ). Mit \({\mu _n}\) wird der Erwartungswert und mit \({\sigma _n}\) die Standardabweichung von Y_n bezeichnet.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie \({\mu _n}\) und \({\sigma _n}\)  in Abhängigkeit von n an.
[0 / ½ / 1 P.]