Österreichische AHS Matura - 2022.01.12 - 24 Typ I Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zahlendarstellungen

Für Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten. So ist etwa \(\dfrac{1}{2} = 0,5\)  als endliche Dezimalzahl oder \(\dfrac{1}{6} = 0,1\mathop 6\limits^ \bullet \)  als periodische Dezimalzahl darstellbar. Unten stehend sind Aussagen zu Darstellungsmöglichkeiten verschiedener Zahlen gegeben.

• Aussage 1: Jede rationale Zahl lasst sich als endliche Dezimalzahl oder als periodische Dezimalzahl darstellen.
• Aussage 2: Jede reelle Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden.
• Aussage 3: Jeder Bruch zweier ganzer Zahlen kann als endliche Dezimalzahl dargestellt werden.
• Aussage 4: Es gibt rationale Zahlen, die man nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann.
• Aussage 5: Es gibt Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bremsvorgang

Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s und soll mit einer Bremsung zum Stillstand gebracht werden. Seine Geschwindigkeit nimmt dabei pro Sekunde um b m/s ab. Mit t wird die Zeitdauer vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand des PKWs bezeichnet (t in s).

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen t und b beschreibt.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parameter einer quadratischen Gleichung

Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({x^2} + k \cdot x + 4 \cdot k = 0{\text{ mit dem Parameter }}k \in {\Bbb R} \)

Aufgabenstellung [0 / 0,5 /1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie die zwei unterschiedlichen Werte k₁ und k₂ von k, für die die gegebene Gleichung genau eine Lösung hat.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gleichungssystem

Von einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den zwei Variablen x und y ist die Gleichung I gegeben.

\({\text{Gl}}{\text{.1}}:2 \cdot x + y = 1\)

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems soll leer sein.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten

Geben Sie eine passende Gleichung 2 in x und y an.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Punkt auf einer Geraden

Die Gerade g verlauft durch die Punkte A und B und kann durch
\(g:X = A + t \cdot \overrightarrow {AB} {\text{ mit }}t \in {\Bbb R}\)

beschrieben werden.

Für den Punkt \(C \in g{\text{ gilt: }}t = - 1,5\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Punkt C ein.
[0 / 1 P.]

Bild

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Treppe

In der nachstehenden Abbildung ist eine Treppe mit der Stufenhöhe h (in cm), der Stufenlänge l (in cm) und dem Steigungswinkel φ dargestellt.

Bild

Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

• \(2 \cdot h + l = 63\)
• Die Stufenlänge l liegt im Intervall [21 cm; 36,5 cm].

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den kleinstmöglichen und den größtmöglichen Steigungswinkel φ (in °), bei dem die oben genannten Bedingungen erfüllt sind.

• kleinstmöglicher Steigungswinkel φ: °
• größtmöglicher Steigungswinkel φ: °

[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wertepaare

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Funktion f. Die gekennzeichneten Punkte des Graphen haben ganzzahlige Koordinaten.

Bild

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

Für ____1____ gilt f(x) ≤ 5; für x ∈ [3; 5] gilt ____2____ .

• Satzteil 1.1: \(x \in \left[ {1;5} \right]\)
• Satzteil 1.2: \(x \in \left[ {2;6} \right]\)
• Satzteil 1.3: \(x \in \left[ {3;7} \right]\)

• Satzteil 2.1: \(f\left( x \right) \in \left[ {1;2} \right]\)
• Satzteil 2.2: \(f\left( {x \in \left[ {0;1} \right]} \right)\)
• Satzteil 2.3: \(f\left( {x \in \left[ {2;5} \right]} \right)\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Schnittpunkte einer Geraden mit der x-Achse

Jede Gleichung der Form \(y = k \cdot x + d{\text{ mit }}k,d \in {\Bbb R}\)  beschreibt eine Gerade in der Ebene.

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie diejenigen Bedingungen an, die die Parameter k und d einer solchen Geraden auf jeden Fall erfüllen müssen, damit diese keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat.

• Bedingung für k:
• Bedingung für d:

[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Flächeninhalt von Rechtecken

Die Funktion f ordnet der Breite x (mit x > 0) eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt 26 cm² die Länge f(x) zu (x, f(x) in cm).

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.

f(x) =

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Grad einer Polynomfunktion

Nachstehend ist der Graph der Polynomfunktion f abgebildet. Außerhalb des dargestellten Bereichs hat f keine Null-, keine Extrem- und keine Wendestellen.

Bild

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie, warum der Grad von f mindestens 4 sein muss.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Körperliche Leistungsfähigkeit

Im Rahmen einer Studie wird jährlich die körperliche Leistungsfähigkeit bestimmter Personen untersucht. Das Ergebnis wird in Punkten angegeben. Modellhaft wird angenommen, dass diese Punktzahl mit zunehmendem Alter exponentiell abnimmt. Lena ist eine dieser Personen. Von ihr sind folgende Daten bekannt:

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie unter Verwendung eines exponentiellen Modells, ab welchem Alter Lena voraussichtlich höchstens 1 200 Punkte erreichen wird.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bevölkerungszahl

Es wurde erhoben, wie sich die Bevölkerungszahl in verschiedenen Städten in den vergangenen fünf Jahren verändert hat. Zwei der unten angeführten Situationen können als exponentielles Wachstum der jeweiligen Bevölkerungszahl beschrieben werden.

• Aussage 1: Die Bevölkerungszahl nahm jedes Jahr um 1/10 der Bevölkerungszahl des jeweiligen Vorjahres zu.
• Aussage 2: Die Bevölkerungszahl hat im ersten Jahr um 10 000, im zweiten um 20 000, im dritten um 30 000, im vierten um 40 000 und im letzten Jahr um 50 000 zugenommen.
• Aussage 3: Die Bevölkerungszahl war jedes Jahr um 5 % größer als im jeweiligen Vorjahr.
• Aussage 4: Die Bevölkerungszahl war jedes Jahr um 20 000 größer als im jeweiligen Vorjahr.
• Aussage 5: Die Bevölkerungszahl war in den ersten zwei Jahren jedes Jahr um 5 % größer als im jeweiligen Vorjahr, dann jedes Jahr um 15 % größer als im jeweiligen Vorjahr.

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die beiden Situationen an, die jeweils mithilfe einer Exponentialfunktion angemessen beschrieben werden können.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]