Österreichische AHS Matura - 2022.05.03 - 4 Typ II Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fahrradtour

Bettina macht eine 2-stündige Fahrradtour.

Teil a

Ihre Geschwindigkeit kann dabei näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden.
\(v\left( t \right) = - 0,08 \cdot {t^2} + 16{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 2\)

• t ... Zeit in h mit t = 0 für den Beginn der Fahrradtour
• v(t) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in km/h

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Zeitdauer, die Bettina für die ersten 10 km dieser Fahrradtour benötigt.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 1. Geben Sie auch die zugehörige Einheit an.
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fahrradtour

Bettina macht eine 2-stündige Fahrradtour.

Teil b

Der empfohlene Reifendruck eines Fahrradreifens sinkt mit zunehmender Breite des Reifens. Für einen empfohlenen Reifendruck von 2 bar bis 9 bar kann der empfohlene Reifendruck näherungsweise durch die Funktion p beschrieben werden.

\(p\left( x \right) = 19,1 \cdot {e^{ - 0,0376 \cdot x}}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie das größtmögliche Intervall für die Breite des Reifens, für das sich ein empfohlener Reifendruck von 2 bar bis 9 bar ergibt.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung unter Angabe der zugehörigen Einheiten im gegebenen Sachzusammenhang.

\(p\left( {30} \right) - p\left( {20} \right) \approx - 2,8\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden. Dabei gilt:

• Nach der ersten und nach der zweiten absolvierten Runde findet jeweils ein Schießen statt. Bei jedem Schießen werden fünf Schüsse abgegeben.
• Für jeden Fehlschuss muss eine 150 m lange Strafrunde absolviert werden, wodurch es zu einem Zeitverlust kommt.

Quelle: https://www.sport1.de/wintersport/biathlon/2018/11/biathlon-im-ueberbli…
[15.04.2021].

Teil a

Lisa absolviert die drei Runden mit folgenden durchschnittlichen Geschwindigkeiten (v₁, v₂, v₃ in m/s): v₁ für die erste Runde; v₂ für die zweite Runde; v₃ für die dritte Runde

• Für das Schießen benötigt Lisa jeweils die Zeitdauer t* (t* in s).
• Nach der ersten absolvierten Runde macht sie beim Schießen keinen Fehler.
• Nach der zweiten absolvierten Runde macht sie beim Schießen genau 2 Fehler.
• Die 2 Strafrunden absolviert sie mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von v_S (v_S in m/s).

Unter der Laufzeit b (b in s) versteht man diejenige Zeit, die Lisa insgesamt für die absolvierten Runden inklusive Strafrunden und für das Schießen benötigt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe von v₁, v₂, v₃, t* und v_S eine Formel zur Berechnung von b auf.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden.

Teil b

Die Geschwindigkeit von Hanna in der ersten Runde kann modellhaft durch die Funktion
v: [0; 440] → ℝ, t ↦ v(t) beschrieben werden (t in s, v(t) in m/s).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie

\(\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt{\text{ mit }}T \in \left( {0s;440s} \right)\)

im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

Es gibt genau zwei Zeitpunkte 
\({t_1},{t_2} \in \left( {0s;440s} \right){\text{ mit }}{t_1} < {t_2}\)

für die gilt:

\(\begin{gathered} v'\left( {{t_1}} \right) = 0{\text{ und }}v''\left( {{t_1}} \right) < 0 \hfill \\ v'\left( {{t_2}} \right) = 0{\text{ und }}v''\left( {{t_2}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \)
 

• Satzteil 1.1: lokale Minimumstellen
• Satzteil 1.2: lokale Maximumstellen
• Satzteil 1.3: Wendestellen

• Satzteil 2.1: durchschnittlichen Geschwindigkeit
• Satzteil 2.2: Länge der zurückgelegten Strecke
• Satzteil 2.3: durchschnittlichen Beschleunigung

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

Die Zeitpunkte t₁ und t₂ sind _____1_____ der Funktion v und der Wert von \(\dfrac{{v\left( {{t_2}} \right) - \left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)  entspricht dabei der _____2_____  im Zeitintervall [t₁; t₂].
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden.

Teil c

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer von Daria beim Schießen an und wird als binomialverteilt angenommen. Bei jedem der 5 Schüsse ist p die Trefferwahrscheinlichkeit.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie unter Verwendung von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit auf.

\(P\left( {X \geqslant 4} \right) = \)

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Weltbevölkerung

In der nachstehenden Tabelle ist für bestimmte Kalenderjahre die Schätzung der Weltbevölkerung (jeweils zur Jahresmitte) angegeben.

Datenquellen: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1694/umfrage/entwicklung…,

https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…

[17.05.2020].

Teil a

Im Zeitraum von 1850 bis 1950 hat sich die Weltbevölkerung annähernd verdoppelt. Nehmen Sie für diesen Zeitraum an, dass die Weltbevölkerung jährlich um den gleichen Prozentsatz gewachsen ist.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diesen Prozentsatz.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Weltbevölkerung

In der nachstehenden Tabelle ist für bestimmte Kalenderjahre die Schätzung der Weltbevölkerung (jeweils zur Jahresmitte) angegeben.

Datenquellen: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1694/umfrage/entwicklung…,

https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…

[17.05.2020].

Teil b

Ab 1970 kann die Entwicklung der Weltbevölkerung näherungsweise durch eine lineare Funktion f beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe der Werte für die Weltbevölkerung der Kalenderjahre 1970 und 2000 eine Funktionsgleichung von f in Abhängigkeit von der Zeit t auf (t in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1970, f(t) in Milliarden).
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, um wie viel Prozent der mithilfe von f ermittelte Wert für das Kalenderjahr 2020 vom in der obigen Tabelle angegebenen Wert abweicht. [0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Weltbevölkerung

In der nachstehenden Tabelle ist für bestimmte Kalenderjahre die Schätzung der Weltbevölkerung (jeweils zur Jahresmitte) angegeben.

Datenquellen: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1694/umfrage/entwicklung…,

https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…

[17.05.2020].

Teil c

In einem anderen Modell wird die Entwicklung der Weltbevölkerung ab 1970 durch die Funktion g modelliert.

\(g\left( t \right) = 3,7 \cdot {e^{ - 0,0001 \cdot {t^2} + 0,02 \cdot t}}\)

• t ... Zeit ab 1970 in Jahren
• g(t) ... Weltbevölkerung zur Zeit t in Milliarden

Gemäß diesem Modell wird die Weltbevölkerung zunächst zunehmen und in weiterer Folge abnehmen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der Funktion g das Maximum der Weltbevölkerung, in dem dies gemäß dem Modell eintreten soll.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der Funktion g das Kalenderjahr, in dem dies gemäß dem Modell eintreten soll.
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vitamin C

Vitamin C erfüllt viele wichtige Aufgaben im menschlichen Körper.

Teil a

Brokkoli enthält durchschnittlich 100 mg Vitamin C pro 100 g. Bei einem Gemüsegroßhändler wird eine Zufallsstichprobe von 50 Portionen frischem Brokkoli entnommen und für jede Portion der Vitamin-C-Gehalt pro 100 g gemessen.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks im nachstehenden Histogramm entspricht der absoluten Häufigkeit der Portionen dieser Stichprobe im jeweiligen Bereich.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Anzahl der Portionen in der Zufallsstichprobe, die 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g aufweisen.
[0 / 1 P.]

Von der Zufallsstichprobe werden 3 Portionen ohne Zurücklegen entnommen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 dieser Portionen 100 mg bis 120 mg Vitamin C pro 100 g aufweisen.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vitamin C

Vitamin C erfüllt viele wichtige Aufgaben im menschlichen Körper.

Teil b

Ein Getränkehersteller möchte Fruchtsaft so in Flaschen abfüllen, dass jede Flasche 100 mg Vitamin C enthält. Es stehen zur Verfügung:

• Birnensaft mit 20 mg Vitamin C pro 100 ml
• Orangensaft mit 35 mg Vitamin C pro 100 ml
• Mischungen aus diesen beiden Säften

Emine behauptet, dass der Vitamin-C-Gehalt von 100 mg bei Flaschen mit einem Fassungsvermögen von 250 ml nicht erreicht werden kann.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie, warum Emines Behauptung richtig ist.
[0 / 1 P.]

Die zur Verfügung stehenden Fruchtsäfte werden so gemischt, dass 350 ml Saft genau 100 mg Vitamin C enthalten.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, wie viele Milliliter Birnensaft mit wie vielen Millilitern Orangensaft dafür gemischt werden müssen.
[0 / 1 P