Österreichische AHS Matura - 2023.01.11 - 4 Typ II Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sonnenblumen – 2121. Aufgabe 2_121

Teil a

Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die zwei quadratischen Funktionen f und g beschreiben. Die Graphen dieser beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. (Siehe unten stehende Abbildung.)

Bild

\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \frac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 21 \cr & g\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c{\text{ mit 21}} \leqslant {\text{t}} \leqslant {\text{42}} \cr} \)

• t ∈ [0; 42] ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
• f(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
• g(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie in der obigen Abbildung den fehlenden Wert der Achsenbeschriftung in das dafür vorgesehene Kästchen ein.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c der Funktion g.
[0 / ½ / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie den nachstehenden Term im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zugehörigen Einheit.

\(\dfrac{{g\left( {{t_2}} \right) - f\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)

Es gilt: t₁ = 2 Tage, t₂ = 42 Tage

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sonnenblumen – 2121. Aufgabe 2_121

Teil b

Die Höhe einer anderen Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t in einem bestimmten Zeitintervall näherungsweise durch die Funktion h beschreiben.

\(h\left( t \right) = 6,2 \cdot {a^t}\)

• t ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
• h(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm

Zum Zeitpunkt t = 17 beträgt die Höhe dieser Sonnenblume 38,6 cm.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie a.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best of Wertung
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Schwimmkurs – 2122. Aufgabe 2_122

Teil a

Eine Schwimmlehrerin notiert bei einem ihrer Kinder-Schwimmkurse die Distanzen, die jedes Kind beim ersten freien Schwimmen zurücklegt. Sie ermittelt daraus die folgenden Werte:

• Minimum: 1,5 m
• Median: 3 m
• 3. Quartil: 4 m
• Spannweite: 5,5 m
• Interquartilsabstand (Differenz von 3. und 1. Quartil): 2 m

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erstellen Sie in der nachstehenden Abbildung den dadurch festgelegten Boxplot.

Abbildung fehlt

[0 / 1 P.]

Bei einem anderen Kinder-Schwimmkurs wurden die geschwommenen Distanzen für 17 Kinder notiert. Der Median dieser geschwommenen Distanzen beträgt 12 m. Jemand behauptet, dass 10 Kinder eine Distanz von weniger als 12 m geschwommen sind.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie, warum diese Behauptung nicht richtig ist.

[0 / 1 P.]

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Schwimmkurs – 2122. Aufgabe 2_122

Teil b

Man kann die Kinder einer bestimmten Schwimmgruppe hinsichtlich ihres Verhaltens beim ersten Versuch eines Sprunges vom Beckenrand ins Wasser in 3 Kategorien einteilen:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie in der obigen Tabelle die 3 fehlenden Werte.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best of Wertung
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Schwimmkurs – 2122. Aufgabe 2_122

Teil c

In einer Kiste befinden sich 12 rote, 10 gelbe und 8 blaue Schwimmscheiben. Ein Schwimmlehrer zieht zufällig und ohne Zurücklegen nacheinander 3 Schwimmscheiben aus dieser Kiste. (Bei jeder Ziehung hat jede Schwimmscheibe, die sich noch in der Kiste befindet, die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden.)

Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass der Schwimmlehrer dabei Schwimmscheiben in 3 unterschiedlichen Farben zieht.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der gleich der Wahrscheinlichkeit ist, die berechnet werden soll.

[1 aus 6] [0 / 1 P.]

• Wahrscheinlichkeit 1: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{30}} \cdot \dfrac{8}{{30}}\)
• Wahrscheinlichkeit 2: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{30}} \cdot \dfrac{8}{{30}} \cdot 3\)
• Wahrscheinlichkeit 3: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}}\)
• Wahrscheinlichkeit 4: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}} \cdot 3\)
• Wahrscheinlichkeit 5: \(\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}} \cdot 6\)
• Wahrscheinlichkeit 6: \({\left( {\dfrac{{12}}{{30}} \cdot \dfrac{{10}}{{29}} \cdot \dfrac{8}{{28}}} \right)^3}\)

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Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades  – 2123. Aufgabe 2_123

Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit

\(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c{\text{ mit }}a,b,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Teil a

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie unter Verwendung von a und b eine Gleichung zur Berechnung der Wendestellen von f auf.
[0 / 1 P.]

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Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades  – 2123. Aufgabe 2_123

Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit

\(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c{\text{ mit }}a,b,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Teil b

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Weisen Sie rechnerisch mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f nach, dass auf der senkrechten Achse ein Extrempunkt P des Graphen von f liegt.

[0 / 1 P.]

Genau einer der Koeffizienten a, b und c ist ausschlaggebend dafür, ob es sich beim ermittelten Extrempunkt P um einen Hochpunkt handelt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

[0 / 1 P.]

Damit dieser Extrempunkt P ein Hochpunkt ist, muss für den Koeffizienten___1___ gelten, dass dieser ___2____ ist.

• Satzteil 1_1: a
• Satzteil 1_2: b
• Satzteil 1_3: c

• Satzteil 2_1: kleiner als 0
• Satzteil 2_2: gleich 1
• Satzteil 2_3: größer als 0

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Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best of Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades  – 2123. Aufgabe 2_123

Teil c

Gegeben ist eine Polynomfunktion g mit

\(g\left( x \right) = d \cdot {\left( {x + e} \right)^2} \cdot {\left( {x - e} \right)^2}{\text{ mit }}d \ne 0{\text{ und }}e \in {\Bbb R}\)

Der Graph von g verlauft durch den Punkt N = (2 | 0).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie unter diesen Voraussetzungen alle möglichen Werte von e.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best of Wertung
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Bremsvorgänge  – 2124. Aufgabe 2_124

Durch das Einwirken einer Bremskraft und der damit verbundenen negativen Beschleunigung verringert sich die Geschwindigkeit eines fahrenden Fahrzeugs.

Teil a

Ein bestimmtes Fahrzeug wird durch eine Vollbremsung bis zum Stillstand abgebremst. Der Weg, den ein Fahrzeug während der Vollbremsung zurücklegt, wird als Bremsweg bezeichnet. In der nachstehenden Abbildung ist das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm für eine 5 s dauernde Vollbremsung dargestellt.

Abbildung fehlt

Für die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v gilt:

\(v\left( t \right) = - 4 \cdot t + 20{\text{ mit }}t \in \left[ {0;5} \right]\)

• t ... Zeit in s
• v(t) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie die Koeffizienten –4 und 20 aus der obigen Funktionsgleichung von v im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / ½ / 1 P.]

Die Länge des Bremswegs des Fahrzeugs bei dieser Vollbremsung wird mit s_B bezeichnet. Wird die Anfangsgeschwindigkeit halbiert, so beträgt bei gleichbleibender negativer Beschleunigung die Länge des Bremswegs

\(k \cdot {s_B}{\text{ mit }}k \in {\Bbb R}\)

\(v\left( t \right) = - 4 \cdot t + 20{\text{ mit }}t \in \left[ {0;5} \right]\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie k.

[0 / 1 P.]

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Bremsvorgänge  – 2124. Aufgabe 2_124

Durch das Einwirken einer Bremskraft und der damit verbundenen negativen Beschleunigung verringert sich die Geschwindigkeit eines fahrenden Fahrzeugs.

Teil b

Ein Fahrzeug fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 25 m/s. Zum Zeitpunkt t = 0 sieht der Fahrzeuglenker ein Hindernis auf der Straße.

Es gilt:

• Der Fahrzeuglenker benötigt eine bestimmte Zeit, um zu reagieren. Während dieser Zeit fährt das Fahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit von 25 m/s weiter.
• Der Bremsvorgang beginnt zum Zeitpunkt t₁ mit einer konstanten Bremsverzögerung (negative Beschleunigung).
• Zum Zeitpunkt t₂ kommt das Fahrzeug zum Stillstand.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeichnen Sie im nachstehenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm den Geschwindigkeitsverlauf für den beschriebenen Vorgang ein.

Abbildung fehlt

• t in s, v₁(t) in m/s).

[0 / 1 P.]

Der Weg, den das Fahrzeug im Zeitintervall [0; t₂] zurücklegt, wird Anhalteweg s_A genannt (s_A in m).

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie unter Verwendung von t₁ und t₂ eine Formel zur Berechnung von s_A auf.

s_A =

[0 / 1 P.]