Algebra
Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
Enthalten die beiden Terme einer Ungleichung die beiden Variablen x und y und kommen diese lediglich zur 1. Potenz vor, so spricht man von einer linearen Ungleichung mit 2 Variablen. Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen besitzt unendlich viele Lösungspaare, die geometrisch interpretiert, die Punkte einer offenen oder geschlossenen Halbebene sind. Die Gerade kx+d<y bezeichnet man als Randgerade der Lösungsmenge und die Lösungsmenge selbst ist die dem Ungleichheitszeichen entsprechende Halbebene in der gaußschen Ebene.
\(kx + d < y\)
Ungleichung als Randgerade einer Halbebene
Soll eine Ungleichung grafisch als Randgerade einer Halbebene dargestellt werden, so muss man die Ungleichung so umformen, dass wir die zugehörige Randgerade in der Form \(y = k \cdot x + d\) erhalten.
Operator „ < “ oder „ > “: Randgerade ist strichliert: \(g \notin L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind nicht Teil der Lösung. Man spricht von einer offenen Halbebene
Operator „ \( \le\) “ oder „ \( \ge\) “ Randgerade ist durchgezogen: \(g \in L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind Teil der Lösung. Man spricht von einer abgeschlossenen Halbebene
Man wählt einen beliebigen Punkt nahe aber nicht auf der Randgerade und prüft ob er die Ungleichung erfüllt und daher in der entsprechenden Halbebene (farbig markiert) liegt.
Achtung: Bei Multiplikation oder Division von Ungleichungen mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden!
Beispiel:
\(3y - 2x < 6\)
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Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen
Von einem System linearer Ungleichungen mit 2 Variablen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehr Ungleichungen mit 2 Variablen finden soll. Zuerst ermittelt man die Randgeraden und die zugehörige Halbebene der jeweiligen Ungleichungen getrennt voneinander...
\(\eqalign{ & kx + d < y \cr & ex + f > y \cr}\)
... und bildet anschließend die Durchschnittsmenge.
\({L_{Ges}} = {L_1} \cap {L_2}\)
Beispiel:
Ein System mit 3 linearen Ungleichungen:
Quadratische Ungleichung mit einer Variablen
Enthält die Ungleichung die Variable x zur 2. Potenz, so spricht man von einer quadratischen Ungleichung.
\(a{x^2} + bx + c < 0\)
Man löst zunächst die zugehörige quadratische Gleichung
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
mit der abc Formel.
- Wenn die Gleichung keine Lösung hat, dann ist die Ungleichung entweder für kein oder für alle x erfüllt
- Wenn die Gleichung eine oder zwei Lösung hat, dann ist die Lösung der Ungleichung die Vereinigungsmenge der Lösungsintervalle
Anschließen faktorisiert man das Polynom wie folgt
\(a{x^2} + bx + c = (x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
somit wird aus \(a{x^2} + bx + c < 0\) nunmehr \((x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) < 0\)
Die beiden Faktoren (x-x1) bzw. (x-x2) ergeben nur dann gemäß Angabe ein negatives Ergebnis (<0), wenn sie entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es muss daher gelten:
\(\eqalign{ & \left( {x - {x_1}} \right) < 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) > 0 \cr & {\text{oder}} \cr & \left( {x - {x_1}} \right) > 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) < 0 \cr}\)
Nunmehr kann man die Lösung als offenes Intervall auf dem Zahlenstrahl darstellen.
Illustration der Lösung einer quadratischen Ungleichung am Zahlenstrahl
Aufgaben
Aufgabe 62
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = {\left( {\dfrac{{4{a^2}}}{{{b^3}}}} \right)^3}:{\left( {\dfrac{{4{a^3}}}{b}} \right)^4}\)
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Aufgabe 26
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {i^5} - {i^4} + {( - i)^3} - {i^2} + i - ( - i)\)
Aufgabe 63
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = \dfrac{{{2^4} \cdot {4^2} \cdot {b^{ - 1}}}}{{5{a^2} \cdot {b^{ - 3}}}}:\dfrac{{{2^5} \cdot {a^{ - 2}} \cdot b \cdot {5^{ - 1}}}}{{{{16}^{ - 1}} \cdot {b^{ - 1}}}}\)
Aufgabe 27
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( { - 2 + i} \right)^3}\)
Aufgabe 28
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + {\left( {2 + 3i} \right)^2} - \left( { - 3 - 23i} \right)\)
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Aufgabe 29
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + \left( {2 + 3i} \right) \cdot \left( { - 1 + 5i} \right) - \dfrac{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}{{1 - 2i}}\)
Aufgabe 32
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(- 33{x^2} = 333\)
Aufgabe 83
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Die Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von deren Koeffizienten ab.
Aufgabenstellung:
Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht.
Die quadratische Gleichung \( u{x^2} + vx + w = 0 \) hat genau dann für alle \(u \ne 0{\text{ und }}u,\,v,\,w\,\, \in {\Bbb R}\) ___1___, wenn gilt ___2___
1 | |
zwei reelle Lösungen | A |
zwei konjugiert komplexe Lösungen | B |
eine Doppellösung | C |
2 | |
\({v^2} - 4uw > 0\) | I |
\({u^2} - 4vw > 0\) | II |
\({w^2} - 4uv > 0\) | III |
Aufgabe 213
Rechnen mit Logarithmen
1. Teilaufgabe:
Berechne x
\({2^x} = \dfrac{1}{8}\)
2. Teilaufgabe:
\({2^x} = \sqrt[3]{4}\)
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Aufgabe 214
Rechnen mit Logarithmen
Berechne x mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen. Rechne zudem die Probe.
1. Teilaufgabe
\({4^x} = 10\)
2. Teilaufgabe
\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} = 25\,\)
3. Teilaufgabe
Vereinfache, bis sich für x ein einfacher Bruchterm des Typen \(\dfrac{{\lg \left( a \right)}}{{\lg \left( b \right)}}\) ergibt
\({5^{2x - 1}} = 15\)
Aufgabe 250
Vielfache
Ergänze die Tabelle um die jeweils ersten zehn Vielfachen der gegebenen Zahl
3 | ||||||||||
7 | ||||||||||
20 | ||||||||||
25 | ||||||||||
99 |
Aufgabe 251
Teiler bzw. Primzahl
Ergänze die Tabelle um jene Zahlen, die Teiler der gegebenen Zahl sind. Markiere, ob die Zahl eine Primzahl ist oder ob nicht.
Zahl | 1. Teiler | 2. Teiler | 3. Teiler | 4. Teiler | 5. Teiler | 6. Teiler | Primzahl ? |
1 | nein | ||||||
2 | ja | ||||||
3 | ja | ||||||
4 | nein | ||||||
5 | ja | ||||||
6 | nein | ||||||
7 | ja | ||||||
8 | nein | ||||||
9 | nein | ||||||
10 | nen | ||||||
11 | ja | ||||||
12 | nein | ||||||
13 | ja | ||||||
14 | nein | ||||||
15 | nein |