Verknüpfungen zwischen Mengen
Formel
Verknüpfungen zwischen Mengen
Zwei Mengen A und B können durch Mengenoperationen mit einenander verknüpft werden.
- Vereinigungsmenge: Die Menge all jener Elemente die zur einen oder zur anderen oder zu beiden Mengen gehören
- Schnittmenge: Die Menge aller Elemente, die zu beiden Mengen gehören
- Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die zwar zur einen, nicht aber zur anderen Menge gehören
- Symmetrische Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind
- Komplementärmenge: Die Elemente die zwar der Obermenge, nicht aber der darin enthaltenen Teilmenge angehören
- Produktmenge bzw. Kartesisches Produkt: Die Menge der geordneten Paare, wobei die 1. Komponente aus der Menge A und die 2. Komponente aus der Menge B stammt.
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge umfasst jene Elemente, die zur Menge A oder zur Menge B gehören. Die Vereinigung der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A oder x ist Element von B .
\(A \cup B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \vee x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: " Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x entweder ein Element der Menge A ist oder ein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cup B = \left\{ {1,2,3,4} \right\} \cr} \)
Schnittmenge
Die Schnittmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A und zur Menge B gehören. Der Durchschnitt der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A und x ist auch Element von B.
\(A \cap B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A und ein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cap B = \left\{ {2,3} \right\} \cr} \)
Differenzmenge
Die Differenzmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A aber nicht zur Menge B gehören. Der Differenz der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge für die gilt: x ist Element von A und x ist kein Element von B.
\(A\backslash B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \notin B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Differenzmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A, aber kein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A{\text{\ }}B = \left\{ 1 \right\} \cr} \)
Symmetrische Differenzmenge
Die symmetriesche Differenzmenge umfasst jene Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.
\(A\Delta B = \left\{ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right\}: = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right)\)
Sprich: "Die symmetrische Differenzmenge A Delta B enthält alle Elemente x, die Element der Menge A nicht aber der Menge B sind, sowie alle Elemente x die Element der Menge B nicht aber Element der Menge A sind". Oder anders formuliert: Die symmetrische Differenzmenge enthält die Menge aller Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A\Delta B = \left\{ {1,4} \right\} \cr} \)
Komplementäre Menge
Die komplementäre Menge A Querstrich enthält all jene Elemente von der Grundmenge G, die nicht in der Menge A enthalten sind. Die komplementäre Menge von A ist die Grundmenge, ohne den Elementen der Menge A.
\(\mathop A\limits^ - : = \left\{ {x \in B\left| {x \notin A} \right.} \right\} = B\backslash A\)
Sprich: "Die komplementäre Menge von A ist die Menge aller Elemente x, die Element von der Menge B sind, für die gilt, dass x kein Element von der Menge A ist"
Beispiel:
Die Grundmenge sei \({{\Bbb N}_0}\)
\(\eqalign{ & {{\Bbb N}_0} \cr & A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist gerade}}} \right.} \right\} \cr & \overline A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist ungerade}}} \right.} \right\} \cr} \)
Produktmenge
Die Produktmenge bzw. das kartesische Produkt "A kreuz B" ist die Menge der geordneten Paare, wobei die erste Komponente aus der Menge A und die zweite Komponente aus der Menge B stammt.
\(A \times B = \left\{ {\left( {a,b} \right)\left| {a \in A \wedge b \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "A Kreuz B ist die Menge aller geordneten Paare für die gilt dass a Element von der Menge A und b Element von der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {s,t} \right\} \cr & A \times B = \left\{ {\left( {1,s} \right),\left( {1,t} \right),\left( {2,s} \right),\left( {2,t} \right),\left( {3,s} \right),\left( {3,t} \right)} \right\} \cr} \)
Ereignisse in Mengenschreibweise
- \(E \in \left( {A \cap B} \right)\): Schnittmenge von A und B
- Das Ereignis E muss der Menge A und B angehören
- \(E \in \left( {A \cup B} \right)\): Vereinigungsmenge von A und B
- Das Ereignis E muss der Menge A oder der Menge B oder beiden Mengen angehören
- \(E \in \overline A \): nicht A
- Das Ereignis E gehört nicht der Menge A an
- \(E \in \left( {A\backslash B} \right)\): A ohne B
- Das Ereignis E muss der Menge A angehören, darf aber nicht auch der Menge B angehören
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Mengen | Eine Menge M ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten aus der Grundmenge G. Für jedes Objekt muss man eindeutig entscheiden können, ob es zur Menge M gehört, dann nennt man es Element der Menge. |
Aktuelle Lerneinheit
Verknüpfungen zwischen Mengen | Zwei Mengen können durch Mengenoperationen zur Vereinigungs-, Schnitt-, Differenz- oder Komplementärmenge mit einander verknüpft werden. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Mengenalgebra | Die Mengenalgebra beschäftigt sich mit den Rechenregeln, die für die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge zweier gegebener Mengen A und B gelten.
|
Standard Zahlenmengen | Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard Zahlenmengen an: Menge der natürlichen, - der ganzen Zahlen, - der rationalen Zahlen, - der irrationalen Zahlen und der komplexen Zahlen |
Beziehungen zwischen Mengen | Zwei Mengen können in unterschiedlichen Relationen, als gleiche -, gleichmächtige -, Teil- oder disjukte Mengen, zu einander stehen. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 257
Aufgaben zur Mengenlehre
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Elemente an, die in den jeweiligen Mengen enthalten sind.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in {N^ + }|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {x \in N|7 < x \leqslant 9} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < 2} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x} \right\} \cr & {M_5} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < - 2} \right\} \cr & {M_6} = \left\{ {x \in N|8 \leqslant x \leqslant 9} \right\} \cr} \)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Setze das gegebene Element in Beziehung zur Menge unter Verwendung von \( \in ,\,\, \notin ,\,\, \subset ,\,\, \subseteq \)
\(\eqalign{ & 2\_?\_{M_1} \cr & 7\_?\_{M_1} \cr & 2\_?\_{M_5} \cr & {M_3}\_?\_{M_4} \cr & {M_2}\_?\_{M_6} \cr} \)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Durchschnittsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cap {M_2} \cr & {M_1} \cap {M_3} \cr & {M_1} \cap {M_4} \cr & {M_3} \cap {M_4} \cr & {M_4} \cap {M_6} \cr} \)
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Vereinigungsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cup {M_2} \cr & {M_2} \cup {M_3} \cr & {M_5} \cup {M_6} \cr & {M_4} \cup {M_6} \cr & {M_1} \cup {M_4} \cr} \)
5. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Differenzmenge an
\(\eqalign{ & {M_1}\backslash {M_2} \cr & {M_1}\backslash {M_3} \cr & {M_3}\backslash {M_1} \cr & {M_2}\backslash {M_5} \cr & {M_4}\backslash {M_3} \cr} \)
Aufgabe 4062
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lego - Aufgabe B_409
Teil d
Legosteine unterscheiden sich in der Farbe und in der Anzahl der Noppen. Es gelten folgende Bezeichnungen:
- N … Menge aller Legosteine mit genau 6 Noppen
- R … Menge aller Legosteine, die rot sind
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie die Bedeutung der Menge N ∩ R im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie die Bedeutung der Menge R \ N im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Aufgabe 4346
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Studienabschlüsse - Aufgabe B_450
Teil a
Mehrere Personen wurden befragt, warum sie ihr Studium nicht abgeschlossen haben. Zur Auswahl standen folgende 3 Grunde: „Zeitprobleme“, „private Gründe“ und „fachliche Defizite“.
Mehrfachnennungen waren möglich. Die Ergebnisse der Befragung von 76 Personen sind im nachstehenden Venn-Diagramm dargestellt.
- Z ... Menge aller Personen, die Zeitprobleme angegeben haben
- P ... Menge aller Personen, die private Grunde angegeben haben
- F ... Menge aller Personen, die fachliche Defizite angegeben haben
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie die Menge (F ∩ Z) \ P im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, wie viele Personen genau 1 der 3 Gründe angegeben haben.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kennzeichnen Sie im nachstehenden Venn-Diagramm die Menge derjenigen Personen, die sowohl Zeitprobleme als auch private Grunde als auch fachliche Defizite angegeben haben.
[1 Punkt]
Aufgabe 257
Aufgaben zur Mengenlehre
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Elemente an, die in den jeweiligen Mengen enthalten sind.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in {N^ + }|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {x \in N|7 < x \leqslant 9} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < 2} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x} \right\} \cr & {M_5} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < - 2} \right\} \cr & {M_6} = \left\{ {x \in N|8 \leqslant x \leqslant 9} \right\} \cr} \)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Setze das gegebene Element in Beziehung zur Menge unter Verwendung von \( \in ,\,\, \notin ,\,\, \subset ,\,\, \subseteq \)
\(\eqalign{ & 2\_?\_{M_1} \cr & 7\_?\_{M_1} \cr & 2\_?\_{M_5} \cr & {M_3}\_?\_{M_4} \cr & {M_2}\_?\_{M_6} \cr} \)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Durchschnittsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cap {M_2} \cr & {M_1} \cap {M_3} \cr & {M_1} \cap {M_4} \cr & {M_3} \cap {M_4} \cr & {M_4} \cap {M_6} \cr} \)
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Vereinigungsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cup {M_2} \cr & {M_2} \cup {M_3} \cr & {M_5} \cup {M_6} \cr & {M_4} \cup {M_6} \cr & {M_1} \cup {M_4} \cr} \)
5. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Differenzmenge an
\(\eqalign{ & {M_1}\backslash {M_2} \cr & {M_1}\backslash {M_3} \cr & {M_3}\backslash {M_1} \cr & {M_2}\backslash {M_5} \cr & {M_4}\backslash {M_3} \cr} \)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.