Aufgabe 4081

1. Teilaufgabe:
Wir berechnen den Hochpunkt H von p indem wir die 1. Ableitung der Funktionsgleichung bilden und diese dann Null setzen.
\(\begin{array}{l} p\left( t \right) = - 3,5 \cdot {10^{ - 6}} \cdot {t^3} + 6,3 \cdot {10^{ - 4}} \cdot {t^2} - 0,011 \cdot t + 7,661\\ p'\left( t \right) = - 3*3.5*{10^{ - 6}}*{t^2} + 2*6.3*{10^{ - 4}}*t - 0.011 = 0\\ {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ a = - 3 \cdot 3,5 \cdot {10^{ - 6}}\\ b = 2 \cdot 6,3 \cdot {10^{ - 4}}\\ c = - 0,011\\ \\ {t_1} = 110,521\\ {t_2} = 9,47891 \end{array}\)

Den so ermittelten Wert für t setzen wir in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein um so den Pegelstand während des Hochwassers zu erhalten.
\(\begin{array}{l} p\left( {t = 110,521} \right) = \\ = - 3,5 \cdot {10^{ - 6}} \cdot {110,521^3} + 6,3 \cdot {10^{ - 4}} \cdot {110,521^2} - 0,011 \cdot 110,521 + 7,661 = \\ = 9,416 \end{array}\)

Von diesem Hochwasser-Pegelstand ziehen wir den "üblichen" Pegelstand von 2,5m ab, um die gesuchte Abweichung zu erhalten.
\(9,41 - 2,5 = 6,916\)

→ Die Abweichung betrug rund 6,9 m.

2. Teilaufgabe

Wenn die 2. Ableitung p''(t) an der Stelle t₁ gleich Null ist, so hat die Funktion p(t) hier einen Wendepunkt. Im Wendepunkt hat eine Funktion immer ihre stärkste Steigung. (Die 1. Ableitung hat an dieser Stelle ein Minimum oder ein Maximum)
 

→ Zur Zeit t₁ ist der Pegelstand am stärksten gestiegen.