Aufgabe 4218
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Psi-Tests - Aufgabe A_291
Teil a
Seit vielen Jahren hat die GWUP (Gesellschaft zur wissenschaftlichen Untersuchung von Parawissenschaften e. V.) ein Preisgeld für den Nachweis einer paranormalen (übersinnlichen) Fähigkeit ausgeschrieben. Die behaupteten Fähigkeiten einer Versuchsperson werden dabei mit verschiedenen Tests überprüft.
Eine Versuchsperson muss auf Basis ihrer paranormalen Fähigkeiten angeben, unter welcher von 10 Schachteln ein Glas Wasser versteckt ist. Der Versuch wird 13-mal durchgeführt, wobei das Glas Wasser jedes Mal neu versteckt wird. Um die Testphase zu bestehen, müssen bei 13 Durchführungen des Versuchs 7 oder mehr Treffer erzielt werden.
Es wird angenommen, dass die Versuchsperson keine paranormalen Fähigkeiten besitzt und daher bei jeder Durchführung des Versuchs mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % einen Treffer erzielt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Treffer.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass es wahrscheinlicher ist, dass diese Versuchsperson mindestens 1 Treffer erzielt, als dass sie gar keinen Treffer erzielt.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Versuchsperson die Testphase besteht.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Es handelt sich um eine Binomialverteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Richtige Schachtel gefunden, nicht die richtige Schachtel gefunden. Die Wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon, ob im vorherigen Versuch die richtige Schachtel identifiziert wurde oder ob nicht. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an
- p=0,1 das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, die einzige von 10 Schachtel zu identifizieren, nämlich jene unter der das Wasserglas steht
- n=13, weil der Versuch 13 mal durchgeführt wird.
Erwartungswert einer Binomialverteilung
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p = 13 \cdot 0,1 = 1,3\)
Dh bei einer nicht paranormal veranlagten Versuchsperson darf man erwarten, dass diese bei 13 Versuchen im Schnitt 1,3 mal die richtige Schachtel erraten wird.
2. Teilaufgabe
Bei einer Binomialverteilung lautet die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)
Die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer ergibt sich, indem man in obige Gleichung einsetzt
n=13; p=0,1; k=0
\(P(X = 0) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {0,1^0} \cdot {0,9^{13}} = 1 \cdot 1 \cdot {0,9^{13}} \approx 0,2542 \buildrel \wedge \over = 25,42\% \)
oder mit Hilfe von Geogebra - CAS Ansicht: Binomial(13,0.1,0,false)=0.25419
Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 1 Treffer“ ergibt sich mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit zu
\(P\left( {x \ge 1} \right) = 1 - P\left( {X = 0} \right) \approx 1 - 0,2542 \approx 0,7458 \buildrel \wedge \over = 74,58\% \)
Die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer beträgt ca. 25,42%, die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer ist höher, sie beträgt ca. 74,58%. Weil \(0,7458 > 0,2542\) ist, ist es wahrscheinlicher mindestens einen Treffer zu erzielen als gar keinen Treffer zu erzielen.
Anmerkung: Das ist auch plausibel, denn der Erwartungswert liegt bei 1,3 Treffer. „Ein Treffer“ liegt näher beim Erwartungswert von 1,3 als „null Treffer“. Daher ist es wahrscheinlicher mindestens einen Treffer zu erzielen als gar keinen Treffer
3. Teilaufgabe:
Eine Versuchsperson "besteht diese Testphase" bedeutet, dass sie mindestens 7 und maximal alle 13 Schachteln richtig identifiziert:
\(n = 13\,\,\,\,\,p = 0,1\,\,\,\,\,k \ge 7\)
Die Berechnung erfolgt mittels Technologieeinsatz
Geogebra:
- Syntax: Binomial( <Anzahl der Versuche>, <Erfolgswahrscheinlichkeit>, <Anzahl der Erfolge>, <Wahrheitswert Verteilungsfunktion> )
- Sei X eine Binomial-Zuvallsvariable und sei v die Anzahl der Erfolge.
- Berechnet P( X ≤ v), wenn der Wahrheitswert true ist.
\(\begin{array}{l} P\left( {7 \le X \le 13} \right) = 1 - P\left( {X \le 6} \right)\\ {\rm{Binomial}}\left[ {13,{\rm{ }}0.1,{\rm{ 6}},{\rm{ }}true} \right] \approx 0,9999007145\\ 1 - P(X \le 6) \approx 0.0000992855 \buildrel \wedge \over = 0,0099\% \end{array}\)
→ Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 0,01 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
E(xX)=1,3
2. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer beträgt ca. 25,42%, die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer ist höher, sie beträgt ca. 74,58%
3. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 0,01 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B1: für das richtige Berechnen des Erwartungswerts
2. Teilaufgabe
1 × D: für das richtige Nachweisen
3. Teilaufgabe
1 × B2: für das richtige Ermitteln der Wahrscheinlichkeit