Aufgabe 4276
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Darts - Aufgabe A_302
Darts ist ein Spiel, bei dem Pfeile auf eine kreisförmige Dartscheibe geworfen werden
Teil d
Ein Spieler wirft 5-mal hintereinander auf eine Dartscheibe. Die Wahrscheinlichkeit, das sogenannte Bull’s Eye in der Mitte der Dartscheibe zu treffen, beträgt bei jedem Wurf p.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils eine Fortsetzung aus A bis D zu, sodass zutreffende Aussagen entstehen.
[0 / 1 P.]
- Satzanfang 1: Mit dem Ausdruck \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right) + {p^5}\) wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass der Spieler bei 5 Würfen …
- Satzanfang 2: Mit dem Ausdruck \(1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right) + {p^5}\) wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass der Spieler bei 5 Würfen …
- Fortsetzung A: ... höchstens 3-mal das Bull‘s Eye trifft.
- Fortsetzung B: ... mindestens 3-mal das Bull‘s Eye trifft.
- Fortsetzung C: ... höchstens 4-mal das Bull‘s Eye trifft.
- Fortsetzung D: ... mindestens 4-mal das Bull‘s Eye trifft.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für genau k Treffer lautet:
\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
Beim 1. Satzanfang bedeutet der 1. Summand, dass der Spieler genau 4 mal trifft und der 2. Summand bedeutet, dass der Spieler genau 5 mal trifft. Das bedeutet, dass der Spieler mindestens 4-mal das Bull’s Eye trifft → Fortsetzung D
Beim 2. Satzanfang ist die Gegenwahrscheinlichkeit vom 1. Satzanfang gegeben. Das bedeutet, dass der Spieler höchstens 3 mal das Bull’s Eye trifft. → Fortsetzung A
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Satzanfang 1: Mit dem Ausdruck \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right) + {p^5}\) wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass der Spieler bei 5 Würfen mindestens 4-mal das Bull‘s Eye trifft.
- Satzanfang 2: Mit dem Ausdruck \(1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right) + {p^5}\) wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass der Spieler bei 5 Würfen höchstens 3-mal das Bull‘s Eye trifft.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zuordnen.