Prüfungsvorbereitung Matura, Abitur und STEOP
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
AT Matura AHS Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Es werden Begriffe, Darstellungsformen und grundlegende Verfahren der beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der schließenden Statistik behandelt. Es sollen eigenständig statistische Tabellen, Kennzahlen und Grafiken zur Beschreibung von Situationen geringer Komplexität aufgestellt werden. Bei der Wahrscheinlichkeit beschränkt man sich auf grundlegende Wahrscheinlichkeitsinterpretationen, auf grundlegende Begriffe (Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz/Standardabweichung) und Konzepte (Binomialverteilung, Normalverteilung) sowie einfachste Wahrscheinlichkeitsberechnungen. Von den zwei grundlegenden Konzepten der schließenden Statistik, dem Testen von Hypothesen und der Hochrechnung (Konfidenzintervall), ist die Hochrechnung von besonderer Bedeutung.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
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AT Matura AHS Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Funktionale Abhängigkeiten
Wenn Expertinnen und Experten Mathematik verwenden, bedienen sie sich oftmals des Werkzeugs der Funktionen. Das meint die Aufmerksamkeit auf die Beziehung zwischen zwei (oder mehreren) Größen in unterschiedlichen Kontexten fokussieren zu können sowie die gängigen Darstellungsformen zu kennen und mit ihnen flexibel umgehen zu können. Im Zentrum des mathematischen Grundwissens steht dann das Kennen der für die Anwendungen wichtigsten Funktionstypen: Namen und Gleichungen kennen, typische Verläufe von Graphen (er)kennen, zwischen den Darstellungsformen wechseln, charakteristische Eigenschaften wissen und im Kontext deuten (können).
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AT Matura AHS Inhaltsbereich Analysis
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Analysis
Die Analysis stellt Konzepte zur formalen, kalkulatorischen Beschreibung von diskretem und stetigem Änderungsverhalten bereit. Die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient sind allgemeine mathematische Mittel, dieses Änderungsverhalten von Größen in unterschiedlichen Kontexten quantitativ zu beschreiben. Neben der Differentialrechnung wird auch die Integralrechnung behandelt.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AT Matura AHS Inhaltsbereich Algebra und Geometrie
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Algebra und Geometrie
Algebra ist die Sprache der Mathematik. Eingegangen wird auf Zahlenbereiche, Variablen, Terme, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen sowie Gleichungssysteme. Der Zahlenbegriff wird auf Zahlentupel (Vektoren) und deren Verknüpfung erweitert. Durch die Einführung von Koordinaten ist es möglich, Punkte in der Ebene oder im Raum so zu verorten, dass geometrische Objekte algebraisch durch Vektoren beschrieben werden können, und sich so von rein geometrisch-anschaulichen Betrachtungsweisen (mit Winkel, Länge oder Volumen) lösen und geometrische Probleme mithilfe der Algebra behandelt werden können. Dieser Zusammenhang zwischen Algebra und Geometrie ermöglicht es aber nicht nur, geometrische Sachverhalte mit algebraischen Mitteln darzustellen (z. B. Vektoren als algebraische Darstellung von Pfeilen oder Punkten) und zu bearbeiten, sondern auch umgekehrt algebraische Sachverhalte geometrisch zu deuten (z.B. Zahlentripel als Punkte oder Pfeile im Raum) und daraus neue Einsichten zu gewinnen.In der Trigonometrie interessieren vor allem Beziehungen im rechtwinkeligen Dreieck, allenfalls Erweiterungen auf allgemeine Dreiecke.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 1.1
Grundbegriffe der Algebra
AG 1.1: Wissen über die Zahlenmengen, -bereiche ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Standard-Zahlenmengen“ kennen.
Die einzelnen Mengen bauen aufeinander auf, wobei jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren Zahlenmenge vollkommen enthalten ist. Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard-Zahlenmengen an.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
Natürliche Zahlen
\(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,3,...} \right\}\)
Null, sowie alle positiven ganzen Zahlen (Äpfel im Korb). Beachte: \(0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in N\)
Ganze Zahlen
\(\mathbb{Z} = \left\{ {..., - 2, - 1,0,1,2,...} \right\}\)
Alle positiven und negativen ganzen Zahlen (Temperatur)
Rationale Zahlen
\(\mathbb{Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\,\,\left| {p \in \mathbb{Z},\,q \in {\mathbb{N}^{{\text{ ohne }}0}}} \right.} \right\}\)
Alle positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Umgekehrt können diese Brüche wiederum durch Division des Zählers durch den Nenner, als endliche oder als periodische Dezimalzahlen dargestellt werden.
Irrationale Zahlen
\(\mathbb{I} = \dfrac{\mathbb{R}}{\mathbb{Q}}\)
Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können, wie \(\sqrt 2 ,\,\pi \).
(Anmerkung: Als allgemeinen Bruch kann man sie schon darstellen: \(\pi = \dfrac{\pi }{1}\)
Reelle Zahlen
\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)
Die Summe aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bilden den Realteil der komplexen Zahlen. (Technik)
Imaginäre Zahlen
\(ib\)
Eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, zugleich eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nicht positive reelle Zahl ist. Die imaginären Zahlen bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.
Komplexe Zahlen
\(\mathbb{C} = \left\{ {z = a + ib\,\,\left| {a,b \in \mathbb{R},\,{i^2} = - 1} \right.} \right\}\)
Zahlenpaare, die sich aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammensetzen und die nicht mehr nur am gaußschen Zahlenstrahl, sondern in der gaußschen Ebene liegen.
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1349 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1373 |
AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1397 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1469 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1493 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1517 |
AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1565 |
AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1566 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1638 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1662 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1686 |
AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1710 |
AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 1758 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 1782 |
AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 1854 |
AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 1878 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
17 |
Aufgabe 11220 |
AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
18 |
Aufgabe 11244 |
AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
19 |
Aufgabe 11268 |
AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
20 |
Aufgabe 11292 |
AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 1.2
Grundbegriffe der Algebra
AG 1.2: Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-) Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „algebraische Begriffe“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Definitionsbereich der Logarithmusfunktion: \({D_f} = {{\Bbb R}^ + }\)
- Definitionsbereich der Wurzelfunktion: Die Wurzel kann im Bereich der reellen Zahlen nur von Werten größer gleich Null gezogen werden. \(\root n \of a = b \to a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Bei einem Bruch darf der Nenner nicht Null werden.
- Bei Gleichungen höheren Grades (x2, xn, …) darf man bei den Umformungen zur Lösungsfindung nicht durch die Variable x dividieren. Bei der Division durch x würde eine Lösung der Gleichung verloren gehen, daher ist eine Division durch x keine Äquivalenzumformung.
- Bei Ungleichungen muss man zwischen Äquivalenzumformungen ohne bzw. mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens unterscheiden. Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1372 |
AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1445 |
AHS Matura vom 21. September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1492 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1614 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1734 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1807 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1830 |
AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 11316 |
AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.1
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.1: Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Terme und Formeln aufstellen und umformen“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Koeffizienten, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen (=, <, >,…) bestehen. z.B.: \({\sin ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( \alpha \right)\)
- Formeln sind allgemeingültige wissenschaftliche mathematische Formulierungen, meistens in Form einer Gleichung. \(E = m \cdot {c^2}\). Alle Formen setzen sich aus Termen zusammen.
- Ein Term „umformen“ macht nur dann Sinn, wenn der Term dadurch „vereinfacht“ oder „zusammengefasst“ wird. \(x + x + 2x \to 4x{\text{ oder }}x \cdot x \cdot 2x \to 2{x^3}\)
- Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable allein auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
- Die Division einer Gleichung höheren Grades durch die Variable x ist keine (!) Äquivalenzumformung, weil man dabei eine der Lösungen verliert! Die Anzahl der Lösungen entspricht dabei immer dem höchsten Grad der Gleichung.
- Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt.
- Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
- Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
- Doppelbruch auflösen: \(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\) Sprich: Außenglied mal Außenglied durch Innenglied mal Innenglied.
- Arithmetisches Mittel bzw. Durchschnitt: \(\bar x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {x_i}\) Sprich: Summe aller Einzelwerte durch die Anzahl der Einzelwerte.
- Achtung bei gemischten Brüchen: \(A\dfrac{b}{c} = A + \dfrac{b}{c}{\text{ aber }}A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\). Beispiel: \(2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{2} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{2}} \right) = 2 + \dfrac{1}{2} + 3 + \dfrac{1}{2} = 6\)
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1348 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1396 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1421 |
AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1491 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1541 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1564 |
AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1590 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1615 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1663 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1735 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1783 |
AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1831 |
AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 11179 |
AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 11221 |
AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 11245 |
AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 11269 |
AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
17 |
Aufgabe 11293 |
AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
18 |
Aufgabe 11317 |
AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.2
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.2: Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Gleichungen“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- "Linearer Zusammenhang" assoziieren wir mit "Gleichung einer Geraden"
- \(y = k \cdot x + d\)
- d ist immer der y-Wert an der Stelle x=0 (der sogenannte Ordinatenabschnitt)
- k ist immer der Wert, um den der y-Wert zunimmt (k positiv) oder abnimmt (k negativ), wenn sich der x-Wert um 1 vergrößert.
- Geschwindigkeits-Zeit-Funktion: \(v = \dfrac{s}{t}{\text{ bzw}}{\text{.: v}}\left( t \right) = s'\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}} = \int {a\left( t \right)} \,dt\)
- Beschleunigung mal einer Zeit ist eine Geschwindigkeit: \(a = \dfrac{v}{t} \to v = a \cdot t\)
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1420 |
AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1591 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1736 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1759 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1784 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1808 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1879 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 11222 |
AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.3
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.3: Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Quadratische Gleichungen“ kennen. Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient a vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied.
- Bevor man die „abc“ bzw. die „pq“ Formel anwenden kann, muss man gegebenen Falls durch Umformung dafür sorgen, dass rechts vom Gleichheitszeichen eine „0“ steht.
- Für die rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels „abc Formel“, die auch „große Lösungsformel“ oder „Mitternachtsformel“ genannt wird, gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr} \) - Für die rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels „pq Formel“, die auch „kleine Lösungsformel“ genannt wird, gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr} \) - Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle:
- D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
- D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\) mit \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
- D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\) , aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
- Der Wurzelsatz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Variablen p und q auf der einen Seite und den Nullstellen z1 und z2 auf der anderen Seite dar. D.h. er bietet sich immer dann an, wenn die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung bekannt sind und man die Koeffizienten p und q bestimmen soll.
\(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr} \) -
Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung
-
Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x1, x2 der zugrunde liegenden Funktion an geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
\(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\) - Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
\(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\) - Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
- Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.
-
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1347 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1371 |
AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1395 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1468 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1490 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1540 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1567 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1592 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1616 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1639 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1687 |
AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1737 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 1809 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 1855 |
AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 1880 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 11180 |
AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.4
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.4: Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Ungleichungen“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens:
Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt.
- Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
- Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
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Aufgabe 1640 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
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Aufgabe 1688 |
AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
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Aufgabe 1760 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.5
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.5: Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Gleichungssysteme (LGS)“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Jede lineare Gleichung lässt sich als Gerade vom Typ \(y = k \cdot x + d\) darstellen. Da die Gleichungen linear sind, kommen nur Potenzen 1. Grades vor, also keine Quadrate oder höhere Potenzen.
- Lineare Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen bedeutet, dass zwei lineare Gleichungen vorliegen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen, wobei wir zwischen expliziter und impliziter Darstellung unterscheiden können
\(\eqalign{
& {\text{Gl}}{\text{.1: }}y = {k_1} \cdot x + {d_1} \buildrel \wedge \over =
\to{=} {a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \cr
& {\text{Gl}}{\text{.2: }}y = {k_2} \cdot x + {d_2} \buildrel \wedge \over =
\to{=} {a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \cr
& {k_{i = 1,2}} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,{d_{i = 1,2}} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}} \cr} \)-
- Gibt es für ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen nur 1 Gleichung, ist das Gleichungssystem unterbestimmt, gibt es mehr als 2 Gleichungen, so ist das Gleichungssystem überbestimmt.
- Ein sinnvoll lösbares LGS in zwei Variablen wird immer aus 2 Gleichungen bestehen, für die es folgende 3 Lösungsmöglichkeiten gibt: unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Nachfolgend eine geometrische Interpretation dafür:
- Lagebeziehung zweier Geraden, die in einer Ebene liegen
- Zwei Geraden sind identisch, wenn sie dieselbe Steigung k und denselben Ordinatenabschnitt d aufweisen. In diesem Fall sind die beiden Geraden deckungsgleich und es muss folgender Zusammenhang für einen konstanten Faktor Lambda für die beiden implizite Geradengleichungen gelten
\(\eqalign{
& {a_1} \cdot \lambda = {a_2} \cr
& {b_1} \cdot \lambda = {b_2} \cr
& {c_1} \cdot \lambda = {c_2} \cr} \) -
- Zwei Gerade haben einen Schnittpunkt, wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen
- Zwei Gerade sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen Da man für parallele Gerade keinen Schnittpunkt angeben kann, ist ihre Lösungsmenge die leere Menge.
- Beim Additionsverfahren (Methode gleicher Koeffizienten) werden im 1. Schritt durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden im 2. Schritt die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat. Was bleibt ist eine Gleichung in einer Variablen, die man dadurch löst, dass man die verbliebene Variable explizit macht.
- Beim Substitutionsverfahren (Einsetzungsmethode) wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.
- Beim Eliminationsverfahren (Gleichsetzungsmethode) werden beide Gleichungen nach derselben Variablen (x) aufgelöst. Danach werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt, wodurch die Variable (x) nach der explizit gemacht wurde, verschwindet und nur mehr eine Gleichung in der verbleibenden Variablen (y) überbleibt.
- Koeffizientenvergleich zur Lösung von LGS: Einem linearen Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen entsprechen zwei lineare Gleichungen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen. Hat man die zusätzliche Information, dass die beiden Geraden 1) ident oder 2) parallel sind, so kann man durch Koeffizientenvergleich 1) die k und d Werte, bzw. 2) den k Wert aus der einen Gleichung für die andere Gleichung herleiten.
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Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
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Aufgabe 1394 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
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Aufgabe 1444 |
AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
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Aufgabe 1467 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1516 |
AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1563 |
AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1568 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1664 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1711 |
AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1832 |
AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1881 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 11270 |
AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 11294 |
AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 11318 |
AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 3.1
Vektoren
AG 3.1: Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Vektoren als Zahlentupel“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Vektor: \(\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\) Der Vektor \(\overrightarrow a \) ist n-dimensional, denn er besteht aus n Komponenten. \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\). Die Schreibweise als Spalten- oder Zeilenvektor orientiert sich nur daran, welche Darstellung übersichtlicher ist.
- Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge, in der die Komponenten angeschrieben werden, spielt eine wesentliche Rolle.
- In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann es zweckmäßig sein, einen Vektor nach rechts bzw. nach links zu kippen, d.h. um \( \pm 90^\circ \) zu drehen. Der so gekippte Vektor steht dann senkrecht auf dem ursprünglichen Vektor, d.h. er wird zum Normalvektor, auch Orthogonalvektor genannt.
- Bei der Linkskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der oberen Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
- Bei der Rechtskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der unteren Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
- Subtraktion zweier Vektoren: Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung subtrahiert.
\(\vec d = \vec a - \vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} - {b_x}}\\ {{a_y} - {b_y}}\\ {{a_z} - {b_z}} \end{array}} \right)\)
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
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Aufgabe 1419 |
AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1569 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1641 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1761 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1856 |
AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 11246 |
AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
Aufgaben
Aufgabe 6045
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt:
{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.
Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
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Aufgabe 6046
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.
- A: „Anna und Tobias gehören dem Team an.“
- B: „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen.“
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:
\(\dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}\\
4
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
4
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}\\
4
\end{array}} \right)}}\)
Aufgabe 6047
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFGH. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten:
1. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese.
2. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an.
Der Punkt P liegt auf der Kante [FB] des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand 3.
3. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts P.
Aufgabe 6048
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben sind die Punkte \(A\left( { - 2\left| {1\left| 4 \right.} \right.} \right){\text{ und }}B\left( { - 4\left| {0\left| 6 \right.} \right.} \right)\)
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: \(\overrightarrow {CA} = 2 \cdot \overrightarrow {AB} \)
Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:
- I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.
- II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.
Aufgabe 6049
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben sind die Ebene \(E:2 \cdot {x_1} + {x_2} + 2 \cdot {x_3} = 6\) sowie die Punkte \(P\left( {1\left| 0 \right.\left| 2 \right.} \right){\text{ und }}Q\left( {5\left| {2\left| 6 \right.} \right.} \right)\)
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E verläuft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:20
Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F.
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Aufgabe 6050
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die in IR definierte Funktion \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) . Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse und begründen Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für \(x \to - \infty {\text{ und }}x \to + \infty \)
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f‘‘ von f die Beziehung \(f''\left( x \right) = \frac{1}{4} \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\) gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist.
Zur Kontrolle: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {{e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}} \right)\)
4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf .
5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt \(P\left( {2\left| {f\left( 2 \right)} \right.} \right)\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right),\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 9} \right)\)
6. Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) in das Koordinatensystem aus der 5. Teilaufgabe e) ein.
7. Teilaufgabe g) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in {\Bbb R}\) die Beziehung \(\dfrac{1}{4} \cdot {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 1\) gilt.
8. Teilaufgabe h) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die als Kurvenlänge La;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b\) lässt sich mithilfe der Formel \({L_{a;b}} = \int\limits_a^b {\sqrt {1 - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\) berechnen. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L0;b des Graphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( 0 \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit b > 0}}\)
Ergebnis: \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\)
Aufgabe 6051
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph Gf gemäß \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) aus Aufgabe 6050 beschreibt im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1 und F2 der Masten durch die Punkte \(\left( { - 4\left| 0 \right.} \right){\text{ bzw}}{\text{. }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.
2. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 6050 8. Teilaufgabe h) \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\) die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \({\Bbb R}\) definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \(\left( {0\left| 2 \right.} \right)\) hat und durch den Punkt \(P\left( {4\left| {f\left( 4 \right)} \right.} \right)\) verläuft. Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden.
4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Für jedes \(x \in \left] {0;4} \right[\) wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte \(\left( {x\left| {q\left( x \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich \(q\left( x \right) > f\left( x \right)\) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen Gf im Bereich \(\left( {0 < x < 4} \right)\) annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.
Aufgabe 6052
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:
- I Breite des Tunnelbodens: b=10 m
- II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h=5 m
- III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6m mindestens 4m hoch.
1. Teilaufgabe a) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion
\(p:x \mapsto - 0,2 \cdot {x^2} + 5{\text{ mit }}{{\text{D}}_p} = \left[ { - 5;5} \right]\).
Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d(x) der Graphenpunkte \({P_x}\left( {x\left| {p\left( x \right)} \right.} \right)\) vom Ursprung des Koordinatensystems. Zeigen Sie, dass
\(d\left( x \right) = \sqrt {0,04 \cdot {x^4} - {x^2} + 25} \) gilt.
3. Teilaufgabe c) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte Px , für die d(x) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.
4. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ
\(k:x \mapsto 5 \cdot \cos \left( {c \cdot x} \right){\text{ mit }}c \in {\Bbb R}{\text{ und }}{{\text{D}}_k} = \left[ { - 5;5} \right]\),
bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist. Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.
Zur Kontrolle: \(c = \dfrac{\pi }{{10}}\) und Inhalt der Querschnittsfläche: \(\dfrac{{100}}{\pi }{{\text{m}}^2}\)
5. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist.
6. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion
\(f:x \mapsto \sqrt {25 - {x^2}} {\text{ mit }}{D_f} = \left[ { - 5;5} \right]\)
Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: \(\left( { - 5 \leqslant x \leqslant 9} \right)\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 13} \right)\) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist.
7. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Betrachtet wird nun die Integralfunktion
\(F:x \mapsto \int\limits_0^x {f\left( t \right)} \,\,dt{\text{ mit }}{D_f} = \left[ { - 5;5} \right]\)
Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass \(F\left( 5 \right) = \dfrac{{25}}{4} \cdot \pi \) gilt.
Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.
8. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit f von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.
9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung
\(y = - \dfrac{4}{3} \cdot x + 12\) modelliert. Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen von f im Punkt \(R\left( {4\left( {f\left( 4 \right)} \right)} \right)\) parallel zu g verläuft. Zeichnen Sie g und t in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.
10. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Der Punkt R aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand e in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von e.
Aufgabe 6053
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei 100 000 der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind 12 000 jeweils 5 € wert, der Rest ist jeweils 1 € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
- A: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
- B: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B).
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis A eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets P(a)=0,05 und P(B)=0,044 . Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5% mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.
5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.
6. Teilaufgabe a) 7 BE - Bearbeitungszeit: 16:20
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorleflaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als 0,05 ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.
Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05“ auf einem Signifikanzniveau von 1% durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur 3% der Saftschorle- Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.
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Aufgabe 6054
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. 41 % aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens 10 % der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 6055
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Nach einer aktuellen Erhebung leiden 25 % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden n Personen zufällig ausgewählt.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, wie groß n mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.
Im Folgenden ist n=200 . Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden.
2. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße X höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht.
Aufgabe 6056
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,5% ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % ebenfalls positiv.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (Ergebnis: 9%)
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet.
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Aus der Bevölkerung Deutschlands wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet. Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang mit dem Term \(0,09 \cdot 0,15 + 0,91 \cdot 0,35\) berechnet wird.