konkaves Eck beim Viereck
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Allgemeines Viereck
Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Eckpunkten, vier Seiten und zwei Diagonalen. Ein konvexes Viereck erfordert 5 Bestimmungsstücke, darunter muss mindestens eine Seite sein. 5 Bestimmungsstücke führen bei konkaven Ecken zu mehrdeutigen Lösungen
Beschriftung vom allgemeinen Viereck
- Die Beschriftung der vier Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben A, B, C, D, beginnend mit der linken unteren Ecke und erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
- Die Beschriftung der vier Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben, wobei: \(a = \overline {AB} ;\,\,\,\,\,b = \overline {BC} ;\,\,\,\,\,c = \overline {CD} ;\,\,\,\,\,d = \overline {DA} ;\)
- Die Beschriftung der vier Innenwinkel erfolgt mit griechischen Kleinbuchstaben, wobei den Scheitelpunkten A, B, C, D die Winkel \(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \) sprich Alpha, Beta, Gamma, Delta zugeordnet sind
- Die Beschriftung der beiden Diagonalen erfolgt mit Kleinbuchstaben \(e = {d_1} = \overline {AC} ;\,\,\,\,\,f = {d_2} = \overline {BD} ;\)
Spezielle Vierecke
- Das Viereck heißt konvex, wenn beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen.
- Liegt eine Diagonale außerhalb des Vierecks, so hat das Viereck eine konkave Ecke.
- Spezielle Vierecke sind das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das Deltoid, das Parallelogramm und das Trapez.
- Es gibt Vierecke mit Umkreis, sogenannte Sehnenvierecke und solche ohne Umkreis.
- Es gibt Vierecke mit Inkreis, sogenannte Tangentenvierecke und solche ohne Inkreis.
Umfang vom allgemeinen Viereck
Der Umfang vom allgemeinen Viereck entspricht der Summe der vier Seiten
\(U = a + b + c + d\)
Winkelsumme im allgemeinen Viereck
Die Summe der Innenwinkel eines allgemeinen Vierecks beträgt 360°. Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen. Vier Innenwinkel zählen nur als drei Bestimmungsstücke, da sich der 4. Winkel ergibt.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom allgemeinen Viereck
Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen berechnen
\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)
Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck
Die Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen
\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr} \)
Illustration eines allgemeinen Vierecks
Beispiel: Von einem allgemeinen konvexen Viereck, wie oben dargestellt, sind alle 4 Seiten und ein Winkel gegeben.
Berechne die beide Diagonalen und die drei fehlenden Innenwinkel!
Gegeben: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \)
Die Länge der 1. Diagonale e im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen:
\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \)
Mit Hilfe vom 1. Teil des Kosinussatzes ergibt sich die 1. Diagonale e wie folgt:
\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \)
Mit Hilfe vom 2. Teil des Kosinussatzes berechnen wir den Winkel \(\angle cd = \delta \) wie folgt:
\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {e^2} = {c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| { - {c^2} - {d^2}} \right.\\ {e^2} - {c^2} - {d^2} = - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)} \right.\\ \cos \left( \delta \right) = \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)}}\\ \delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \end{array}\)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \)
Entlang der Diagonale e zerfällt das allgemeine Viereck in zwei allgemeine Dreiecke, deren Flächen wir wie folgt berechnen können:
\(\begin{array}{l} {A_1} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right)\\ {A_2} = \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \end{array}\)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\)
Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen wie folgt berechnen:
\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)
Die einzige Unbekannte in dieser Flächenformel ist die 2. Diagonale f, die wir wie folgt berechnen können:
\(\begin{array}{l} A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {A^{^2}} = \dfrac{1}{{16}} \cdot \left( {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \right)\,\,\,\,\,\left| { \cdot 16} \right.\\ 16 \cdot {A^2} = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\,\,\,\,\,\left| { + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,} \right.\\ 16 \cdot {A^2} + {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\, = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2}\,\,\,\,\,\left| {:4{e^2}} \right.\\ {f^2} = \dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right.\\ f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \end{array}\)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d2=f
Mit Hilfe der bekannten Länge der 2. Diagonale f und zweier bekannter Seiten im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz die jeweils eingeschlossenen Winkel \(\alpha ,\,\gamma \) wie folgt berechnen:
\(\eqalign{ & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right. \cr & {f^2} = {a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\left| - \right.\left( {{a^2} + {d^2}} \right) \cr & {f^2} - {a^2} - {d^2} = - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot a \cdot d} \right)} \right. \cr & \cos \left( \alpha \right) = - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}} \cr & \alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \cr & \cr & {\text{analog anzuschreiben:}} \cr & \gamma = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2 \cdot b \cdot c}}} \right) \cr & {\text{oder}} \cr & \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \cr & \gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \cr} \)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d2=f, \(\angle da = \alpha \), \(\angle bc = \gamma \)
Anhand eines Zahlenbeispiels ergibt sich:
Die 4 Seiten und ein Winkel sind wie folgt gegeben:
\(\eqalign{ & a = 8{\text{ cm}} \cr & b = 5,1{\text{ cm}} \cr & c = 5,1{\text{ cm}} \cr & d = 4,47{\text{ cm}} \cr & \beta = 78,69^\circ \cr} \)
Wie setzen in obige Gleichungen ein, und erhalten
\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \approx \sqrt {{8^2} + {{5,1}^2} - 2 \cdot 8*5,1*\cos \left( {78,69^\circ } \right)} \approx 8,6\)
\(\delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{8,6}^2} - {{5,1}^2} - {{4,47}^2}}}{{2 \cdot 5,1 \cdot 4,47}}} \right) \approx 127,9^\circ \)
\(A = {A_1} + {A_2} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right) + \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \approx \dfrac{{8,6 \cdot 5,1}}{2}\sin \left( {78,69^\circ } \right) + \dfrac{{5,1 \cdot 4,47}}{2}\sin \left( {127,9^\circ } \right) \approx 30,5\)
\(f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \approx \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {{30,5}^2} + \left( {{{5,1}^2} + {{4,47}^2} + {8^2} - {{5,1}^2}} \right)}}{{4 \cdot {{8,6}^2}}}} \approx 7,11\)
\(\alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{7.11}^2} - {8^2} - {{4.47}^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 4.47}}} \right) \approx 62^\circ \)
\(\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \approx 360^\circ - 62^\circ - 78,69^\circ - 127,0^\circ \approx 92,31^\circ \)
→ Die Länge der 1. Diagonale e beträgt 8,6 cm, die Länge der 2. Diagonale f beträgt 7,11 cm.
→ Die fehlenden Winkel betragen \(\alpha \approx 62^\circ ,\,\,\,\gamma \approx 92,3^\circ ,\,\,\delta \approx 127,9\)
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