Bayern Mathematik Abitur 2016 - Prüfungsteil A+B - mit CAS - Gruppe 1
Aufgabe 6036
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \sqrt {1 - \ln x} \) mit maximaler Definitionsmenge D.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie D.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie den Wert \(x \in D{\text{ mit }}f\left( x \right) = 2\)
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Aufgabe 6037
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
1. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass der Graph der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion \(g:x \mapsto {x^2} \cdot \sin x\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
2. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie den Wert des Integrals \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^2} \cdot \sin x\,\,dx} \) an.
Aufgabe 6038
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
1. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Skizzieren Sie im Bereich \( - 1 \leqslant x \leqslant 4\) den Graphen einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion f mit den folgenden Eigenschaften:
- f ist nur an der Stelle x=3 nicht differenzierbar.
- \(f(0) = 2\) und für die Ableitung f‘ von f gilt: \(f'\left( 0 \right) = - 1\)
- Der Graph von f ist im Bereich \( - 1 < x < 3\) linksgekrümmt.
Aufgabe 6039
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist eine in \({\Bbb R}\) definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph Gf an der Stelle x=1 einen Hochpunkt und an der Stelle x=4 einen Tiefpunkt besitzt.
1. Teilaufgabe a1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion f‘ von f eine Parabel ist, welche die x-Achse in den Punkten \(\left( {1\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) schneidet und nach oben geöffnet ist.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass 2,5 die x-Koordinate des Wendepunkts von Gf ist.
Aufgabe 6040
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion f.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Die Funktion F ist die in \({\Bbb R}\) definierte Stammfunktion von f mit \(F\left( 3 \right) = 0\)
2. Teilaufgabe b) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der Stelle x=2 an.
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass \(F\left( b \right) = \int\limits_3^b {f\left( x \right)} \,\,dx{\text{ mit }}b \in {\Bbb R}\)
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Aufgabe 6044
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen A und B.
1. Baumdiagramm
2. Baumdiagramm
1. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) und ergänzen Sie anschließend an allen Ästen des 2. Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 6045
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt:
{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.
Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
Aufgabe 6048
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben sind die Punkte \(A\left( { - 2\left| {1\left| 4 \right.} \right.} \right){\text{ und }}B\left( { - 4\left| {0\left| 6 \right.} \right.} \right)\)
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: \(\overrightarrow {CA} = 2 \cdot \overrightarrow {AB} \)
Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:
- I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.
- II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.
Aufgabe 6049
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben sind die Ebene \(E:2 \cdot {x_1} + {x_2} + 2 \cdot {x_3} = 6\) sowie die Punkte \(P\left( {1\left| 0 \right.\left| 2 \right.} \right){\text{ und }}Q\left( {5\left| {2\left| 6 \right.} \right.} \right)\)
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E verläuft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:20
Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F.
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Aufgabe 6059
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt modellhaft die Profillinie einer Skisprunganlage, die aus der Sprungschanze und dem Aufsprunghang besteht. Das kartesische Koordinatensystem ist so gewählt, dass die x-Achse die Horizontale beschreibt und der Koordinatenursprung mit dem Ende der Anlaufspur, dem sogenannten Absprungpunkt, zusammenfällt; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei einem Meter in der Realität.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Der höchste Punkt der Anlaufspur wird durch den Punkt \(S\left( { - 94\left| {51} \right.} \right)\) dargestellt. Die Anlaufspur verläuft im Modell zwischen den Punkten S und P entlang einer Geraden, die gegenüber der x-Achse um -35° geneigt ist. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden durch S und P. Runden Sie im Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Punkte S und P liegen in der Realität 50 m voneinander entfernt. Berechnen Sie die Koordinaten von P auf eine Nachkommastelle genau.
3. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Der Aufsprunghang beginnt im Modell im Punkt D, der sich vertikal unterhalb des Absprungpunkts befindet. Die Profillinie des Aufsprunghangs lässt sich im Bereich \(\left[ {0;160} \right]\) durch die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion
\(h:x \mapsto 3,36 \cdot {10^{ - 5}} \cdot {x^3} - 0,00827 \cdot {x^2} - 0,0455 \cdot x - 3,38\)
beschreiben. Geben Sie die Höhe des Absprungpunkts über dem Beginn des Aufsprunghangs sowie die Steigung des Aufsprunghangs in seinem Beginn an.
4. Teilaufgabe b) 8 BE - Bearbeitungszeit: 18:40
Derjenige Punkt, in dem die Profillinie im unteren Bereich des Aufsprunghangs einen Neigungswinkel von -32° gegenüber der Horizontalen aufweist, wird als Hillsize-Punkt bezeichnet (vgl. Abbildung). Die Größe einer Skisprunganlage wird durch die Länge der Strecke zwischen dem Absprungpunkt und dem Hillsize-Punkt festgelegt und als Hillsize bezeichnet.
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die Hillsize auf Meter genau und berechnen Sie deren prozentuale Abweichung von der tatsächlichen Hillsize dieser Skisprunganlage, die 132 m beträgt.
5. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Zur Beschreibung der Flugkurve eines Skispringers wird die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion
\(s:x \mapsto - 4,2 \cdot {10^{ - 3}} \cdot {x^2} - 0,1 \cdot x\)
verwendet. Dabei ist die Sprungweite die Länge der Profillinie des Aufsprunghangs zwischen dem Punkt D und dem Punkt L, der den Landepunkt des Skispringers auf dem Aufsprunghang beschreibt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts L auf eine Nachkommastelle genau.
(Teilergebnis: x-Koordinate des Punkts L: 114,6)
Die als Kurvenlänge ; bezeichnete Länge des Graphen der Funktion h zwischen den Punkten (a | h(a)) und (b | h(b)) mit a < b kann mithilfe der Formel
\(l = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {h'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,dx\)
berechnet werden.
Hinweis: Führen Sie die Berechnungen in den Teilaufgaben 6 und 7 mit dem CAS jeweils näherungsweise durch!
6. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Sprungweite des Skispringers; berücksichtigen Sie dabei, dass beim Skispringen Sprungweiten nur auf halbe Meter genau angegeben werden.
(Ergebnis: 132,5m)
7. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der K-Punkt (kritischer Punkt) der hier betrachteten Skisprunganlage liegt so auf der Profillinie, dass die Kurvenlänge zwischen ihm und dem Beginn des Aufsprunghangs, die sogenannte K-Punkt-Weite, 120 m beträgt. Ermitteln Sie die Koordinaten des K-Punkts auf eine Nachkommastelle genau.
8. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Für einen Sprung auf den K-Punkt einer Skisprunganlage bekommt ein Springer 60 Weitenpunkte. Für jeden halben Meter, den er kürzer bzw. weiter springt, werden Weitenpunkte gemäß nachstehender Tabelle subtrahiert bzw. addiert.
K-Punkt-Weite der Sprunganlage in Metern | Weitenpunkte pro halben Meter |
70-79 | 1,1 |
80-99 | 1,0 |
100-169 | 0,9 |
ab 170 | 0,6 |
Bestimmen Sie die Gesamtzahl der Weitenpunkte für den betrachteten Sprung.
9. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Landung ist für den Springer umso schwieriger, je größer der Winkel zwischen Aufsprunghang und Flugkurve im Landepunkt ist. Berechnen Sie die Größe dieses Winkels für den betrachteten Sprung.
10. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Formulieren Sie im Sachzusammenhang eine Aufgabenstellung, die mit folgendem Lösungsweg gelöst werden kann.
\(\eqalign{ & d\left( x \right) = s\left( x \right) - h\left( x \right) \cr & d'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x_1} \approx 7,4;\,\,\,{x_2} \approx 73,4 \cr & d\left( {{x_1}} \right) \approx 3,2;\,\,\,\,\,d\left( {{x_2}} \right) \approx 8,0 \cr} \)
→ Der gesuchte Wert beträgt etwa 8,0m.
11. Teilaufgabe g) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zur Beschreibung der Flugkurve eines zweiten Skispringers wird die in IR definierte Funktion t verwendet. Dabei gilt:
\(\eqalign{ & t\left( 0 \right) = 0 \cr & t'\left( 0 \right) = - 0,087 \cr & t\left( {105} \right) = h\left( {105} \right) \cr} \)
Entscheiden Sie jeweils, welcher der beiden Skispringer unter einem betragsmäßig größeren Winkel gegenüber der Horizontalen abspringt und welcher die größere Sprungweite erzielt. Begründen Sie Ihre Entscheidungen.
Aufgabe 6053
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei 100 000 der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind 12 000 jeweils 5 € wert, der Rest ist jeweils 1 € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
- A: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
- B: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B).
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis A eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets P(a)=0,05 und P(B)=0,044 . Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5% mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.
5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.
6. Teilaufgabe a) 7 BE - Bearbeitungszeit: 16:20
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorleflaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als 0,05 ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.
Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05“ auf einem Signifikanzniveau von 1% durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur 3% der Saftschorle- Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.
Aufgabe 6057
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A\left( {6\left| {3\left| 3 \right.} \right.} \right),\,\,B\left( {3\left| {6\left| 3 \right.} \right.} \right){\text{ und C}}\left( {3\left| {3\left| 6 \right.} \right.} \right)\) das gleichseitige Dreieck ABC fest.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck ABC liegt, in Normalenform.
mögliches Ergebnis: \(E:{x_1} + {x_2} + {x_3} - 12 = 0\)
Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum \(Z\left( {3\left| {3\left| 3 \right.} \right.} \right)\) o erhält man die Punkte A‘ , B‘ bzw. C‘ .
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \(\left[ {CC'} \right]\) senkrecht auf dieser Ebene steht.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Begründen Sie, dass das Viereck ABA‘B‘ ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3 \cdot \sqrt 2 \) ist.
Der Körper ABA‘B’CC‘ ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat ABA’B‘ als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C bzw. C‘ .
4. Teilaufgabe d) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.
5. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen ABC und AC‘B.
6. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.