Österreichische AHS Matura - 2021.09.17 - 4 Typ II Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Maturaball

Teil a

Für einen Maturaball werden Karten im Vorverkauf und an der Abendkassa angeboten. Im Vorverkauf kostet jede Karte € 20. An der Abendkassa kostet jede Karte um 10 % mehr. Insgesamt wurden 640 Karten um einen Gesamtpreis von € 13.240 verkauft.

Es werden folgende Bezeichnungen gewählt:

• x ... Anzahl der im Vorverkauf verkauften Karten
• y ... Anzahl der an der Abendkassa verkauften Karten

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von x und y.
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
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Maturaball

Teil b

Zur Unterhaltung wird das Spiel Glücksrad angeboten. Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, beträgt bei jedem Spiel konstant und unabhängig voneinander 25 %. Katja spielt dieses Spiel 3-mal.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Katja dabei genau 2-mal gewinnt.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
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Maturaball

Teil c

Weiters wird das Spiel Entenspiel angeboten. Von insgesamt 50 Badeenten sind 5 an ihrer Unterseite markiert. Bei diesem Spiel wählt eine teilnehmende Person 2 der 50 Badeenten zufällig und ohne Zurücklegen aus. Jede markierte Badeente, die dabei ausgewählt wird, führt zu einem Gewinn.

Die Zufallsvariable X gibt dabei an, wie viele der beiden ausgewählten Badeenten markiert sind. Die Wahrscheinlichkeit für ein in diesem Sachzusammenhang mögliches Ereignis wird mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet.
\(P\left( {X = ???} \right) = \dfrac{5}{{50}} \cdot \dfrac{{45}}{{49}} + \dfrac{{45}}{{50}} \cdot \dfrac{5}{{49}}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie die fehlende Zahl im dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[0 / 1 P.]

Martin behauptet: „Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt.“

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie, warum Martins Behauptung falsch ist.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
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Temperaturveränderungen

Der Vorgang des Abkühlens bzw. Erwärmens eines Getränks kann durch Funktionen modelliert werden. Dabei wird der Zeit t in Minuten die Temperatur des Getränks in °C zugeordnet.

Teil a

Das Abkühlen von Tee in einer Teekanne kann durch die Funktion g mit
\(g\left( t \right) = 70 \cdot {e^{ - 0,045 \cdot t}} + 18\)

beschrieben werden. Zum Zeitpunkt t* ist die Temperatur des Tees auf 37 °C abgekühlt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie t*.
t* =     min
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von g im Intervall [10 min; 12 min]. Interpretieren Sie das Ergebnis unter Angabe der zugehörigen Einheit im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
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Temperaturveränderungen

Der Vorgang des Abkühlens bzw. Erwärmens eines Getränks kann durch Funktionen modelliert werden. Dabei wird der Zeit t in Minuten die Temperatur des Getränks in °C zugeordnet.

Teil b

Ein bestimmter gekühlter Wein in einem Weinglas hat eine Anfangstemperatur von T₀ = 5 °C. Die Umgebungstemperatur beträgt konstant U = 25 °C. Die Temperatur des Weines wird in regelmäßigen Abständen gemessen. Zum Zeitpunkt t hat sie den Wert T_t. Pro Minute nimmt die Temperatur des Weines um 8 % der Differenz zwischen der Umgebungstemperatur U und der zum Zeitpunkt t gemessenen Temperatur des Weines T_t zu. Die Temperatur des Weines steigt dabei auf den Wert T_t+1.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ergänzen Sie die nachstehende Differenzengleichung für diesen Erwärmungsvorgang.
\({T_{t + 1}} = {T_t} + \,\,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,\,\,{\text{mit }}{T_0} = 5\)
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Temperatur des Weines zum Zeitpunkt t = 3 min.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
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Satelliten und ihre Umlaufbahnen

Ein Satellit bewegt sich auf einer annähernd kreisförmigen Umlaufbahn mit dem Radius r um die Erde. Die Erde wird als kugelförmig mit dem Radius R angenommen. Dieses Modell ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Illustration fehlt

Teil a
Ein bestimmter Satellit bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = 7 500 m/s auf seiner Umlaufbahn. Der Zusammenhang zwischen seiner Geschwindigkeit und dem Radius seiner Umlaufbahn wird durch die nachstehende Gleichung angegeben.

\(v = \sqrt {\dfrac{{G \cdot M}}{r}} \)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Radius r der Umlaufbahn dieses Satelliten.
r = m
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Zeit (in s), die dieser Satellit für einen Umlauf um die Erde benötigt.
t =____ s
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Satelliten und ihre Umlaufbahnen

Ein Satellit bewegt sich auf einer annähernd kreisförmigen Umlaufbahn mit dem Radius r um die Erde. Die Erde wird als kugelförmig mit dem Radius R angenommen. Die Satellitenschussel einer Forschungsstation wird auf einen bestimmten Satelliten ausgerichtet. In der nachstehenden nicht maßstabsgetreuen Abbildung ist diese Situation dargestellt.

Illustration fehlt

Teil b

Der Erdradius R wird mit R = 6,37 ∙ 10⁶ m angenommen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Radius r der Umlaufbahn dieses Satelliten.
r = _____ m
[0 / 1 P.]

Die Geschwindigkeit von Funksignalen wird mit 3 ∙ 10⁸ m/s angenommen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Zeit (in s), die ein Funksignal für seinen Weg von der Forschungsstation zu diesem Satelliten benötigt. Geben Sie das Ergebnis mit 3 Nachkommastellen an.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Speichermedien

In den letzten Jahrzehnten wurden verschiedene Speichermedien, wie zum Beispiel Speicherkarten, USB-Sticks oder DVDs, für die Sicherung von Daten verwendet.

Teil a
Die Speicherkapazität eines Speichermediums kann unter anderem in Kilobyte, Megabyte bzw. Gigabyte angegeben werden. Die Vorsilben Kilo-, Mega-, Giga- werden dabei wie folgt

verwendet:

• 1 Megabyte = 1 024 Kilobyte
• 1 Gigabyte = 1 024 Megabyte

Eine bestimmte Speicherkarte mit einer Speicherkapazität von 16 Gigabyte wird zum Speichern von Fotos verwendet. Modellhaft wird angenommen, dass alle gespeicherten Fotos den gleichen Bedarf an Speicherplatz haben. Die Funktion N: ℝ⁺ → ℝ⁺ ordnet dem Bedarf an Speicherplatz F für ein Foto die größtmögliche Anzahl N(F) der auf dieser Speicherkarte speicherbaren Fotos zu (F in Kilobyte).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von N auf.
N(F) =
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Speichermedien

In den letzten Jahrzehnten wurden verschiedene Speichermedien, wie zum Beispiel Speicherkarten, USB-Sticks oder DVDs, für die Sicherung von Daten verwendet.

Teil b

Michael hat 4 USB-Sticks mit den Bezeichnungen A, B, C und D.

• Auf USB-Stick A speichert er alle seine Fotos ab.
• Auf den 3 anderen USB-Sticks, B, C und D, speichert er zur Sicherung jeweils genau ein Drittel seiner Fotos so ab, dass jedes Foto zusätzlich auf genau 1 dieser 3 USB-Sticks gespeichert ist.

Für jeden der 4 USB-Sticks ist (jeweils unabhängig voneinander) die Wahrscheinlichkeit 75 %, dass er 5 Jahre lang funktionstüchtig bleibt. Es wird vereinfacht angenommen, dass ein USB-Stick entweder vollständig funktionstüchtig ist oder gar nicht funktioniert.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach 5 Jahren noch jedes von Michaels Fotos auf mindestens 1 USB-Stick verfügbar ist.
[0 / 1 P.]

Michael stellt nach 5 Jahren fest, dass USB-Stick A nicht mehr funktionstüchtig ist.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest 2 der 3 USB-Sticks B, C und D funktionstüchtig sind.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Speichermedien

In den letzten Jahrzehnten wurden verschiedene Speichermedien, wie zum Beispiel Speicherkarten, USB-Sticks oder DVDs, für die Sicherung von Daten verwendet.

Teil c

Ein beliebtes Speichermedium für Filme ist die DVD. Seit Anfang des 21. Jahrhunderts hat der durchschnittliche Preis für Film-DVDs abgenommen, wie das nachstehende Diagramm zeigt.

Illustration fehlt

Datenquelle: https://www.mkdiscpress.de/ratgeber/chronik-der-speichermedien/ [20.11.2019].

Der durchschnittliche Preis für eine Film-DVD wird durch die Funktion P in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert.

\(P\left( t \right) = a \cdot {b^t} + 11{\text{ mit }}a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie a und b so, dass P für die Jahre 2002 und 2011 den durchschnittlichen Preis für eine Film-DVD im jeweiligen Jahr laut obigem Diagramm ergibt.
a =
b =

[0 / ½ / 1 P.]