Österreichische AHS Matura - 2022.09.20 - 4 Typ II Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Firmenlogos

Teil a

In der nachstehenden Abbildung ist ein Firmenlogo grau markiert dargestellt:

Abbildung fehlt

Die untere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion f beschrieben:

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8} \cdot {x^2} - 2\)

Die obere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion g beschrieben:

\(g\left( x \right) = a \cdot \left( {{x^3} - 16 \cdot x} \right){\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)

An der Stelle x = 4 haben f und g die gleiche Steigung.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Parameter a.
[0 / 1 P.]

Der Punkt (0 | 0) ist ein Wendepunkt des Graphen von g.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie, warum der Graph der Funktion g keinen weiteren Wendepunkt haben kann.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Firmenlogos

Teil b

Das Logo eines Autoherstellers hat die Form eines regelmäßigen Fünfecks (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie für r = 3 cm den Umfang u dieses regelmäßigen Fünfecks.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Firmenlogos

Teil c

Im nachstehenden Koordinatensystem ist das Logo eines Fischrestaurants grau markiert dargestellt.

Abbildung fehlt

Das Logo ist symmetrisch bezüglich des Graphen der konstanten Funktion h mit h(x) = b mit b ∈ ℝ⁺. Die Begrenzungslinien des Logos sind Teile der Graphen der Funktionen f und g (siehe obige Abbildung).

Für die Funktion f gilt:
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}{\text{ mit }}a \in {\mathbb{R}^ + }\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie unter Verwendung von a und b eine Funktionsgleichung von g auf.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Pelletsheizung

In Österreichs Haushalten werden verschiedene Heizungsarten wie zum Beispiel die Ölheizung (mit Heizöl als Brennmaterial) oder die Pelletsheizung (mit Pellets – kleine gepresste Holzspäne – als Brennmaterial) eingesetzt. In der nachstehenden Tabelle sind die Jahresdurchschnittspreise für das Heizen mit Heizöl bzw. mit Pellets für die Jahre 2006 und 2019 in Cent pro Kilowattstunde (Cent/kWh) angegeben.

Datenquelle: https://www.propellets.at/haeufige-fragen-und-antworten-zu-pellets [13.10.2021].

Teil a

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Jahresdurchschnittspreise für Pellets (in Cent/kWh pro Jahr) für den Zeitraum von 2006 bis 2019.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Pelletsheizung

In Österreichs Haushalten werden verschiedene Heizungsarten wie zum Beispiel die Ölheizung (mit Heizöl als Brennmaterial) oder die Pelletsheizung (mit Pellets – kleine gepresste Holzspäne – als Brennmaterial) eingesetzt.

Teil b

Familie Buchner lebt in einem Einfamilienhaus und heizt mit Heizöl. Die Familie überlegt, auf eine Pelletsheizung umzusteigen. Für die geschätzten Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl oder mit Pellets ab dem Jahr 2019 trifft Familie Buchner folgende Annahmen:

• Familie Buchner verbraucht pro Jahr rund 15 000 kWh Energie für das Beheizen ihres Hauses.
• Der Jahresdurchschnittspreis für das Heizen mit Heizöl (0,0795 €/kWh) und jener für das Heizen mit Pellets (0,0484 €/kWh) bleiben ab dem Jahr 2019 gleich.
• Der Umstieg von der Ölheizung zu einer Pelletsheizung kostet einmalig 10.000 €.

• t ... Zeit seit Beginn des Jahres 2019 in Jahren
• K_Öl(t) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl bis zur Zeit t in €
• K_Pellets(t) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Pellets bis zur Zeit t in €

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie auf Basis dieser Annahmen jeweils eine Funktionsgleichung von K_Öl bzw. von K_Pellets auf.
[0 / ½ / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den Zeitpunkt t₁ , zu dem die geschätzten Gesamtkosten für Familie Buchner für das Heizen mit Pellets gleich groß sind, wie die geschätzten Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Pelletsheizung

In Österreichs Haushalten werden verschiedene Heizungsarten wie zum Beispiel die Ölheizung (mit Heizöl als Brennmaterial) oder die Pelletsheizung (mit Pellets – kleine gepresste Holzspäne – als Brennmaterial) eingesetzt.

Teil c

Die Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich kann für den Zeitraum von 1997 bis 2019 modellhaft durch die nachstehende Gleichung beschrieben werden.

\(A\left( t \right) = \dfrac{{147130}}{{1 + 31 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}}}\)

• t ... Zeit seit Beginn des Jahres 1997 in Jahren
• A(t) ... Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich zur Zeit t in 1 000 Stück

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie für den Zeitraum von 1997 bis 2019 dasjenige Jahr, in dem gemäß diesem Modell die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pelletsheizungen in Osterreich am größten war.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Beschleunigungstest

Bei einem Beschleunigungstest wird ein Fahrzeug aus dem Stillstand (Anfangsgeschwindigkeit = 0 km/h) beschleunigt. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v für einen Beschleunigungstest mit einem Sportwagen dargestellt. Dabei bewegt sich der Sportwagen t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs mit der Geschwindigkeit v(t) in km/h.

Abbildung fehlt

Teil a

Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeit v₁ des Sportwagens im Zeitintervall [0; 2] direkt proportional zur Zeit t ist (t in s, v₁(t) in km/h).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Funktionsgleichung von v₁ auf.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Beschleunigungstest

Bei einem Beschleunigungstest wird ein Fahrzeug aus dem Stillstand (Anfangsgeschwindigkeit = 0 km/h) beschleunigt.

Teil b

Bei einer anderen Modellierung kann die Geschwindigkeit des Sportwagens im Zeitintervall [0; 20] in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion v₂ beschrieben werden.

\({v_2}\left( t \right) = - 0,001 \cdot {t^4} + 0,078 \cdot {t^3} - 2,23 \cdot {t^2} + 32 \cdot t\)

• t ... Zeit in s
• v₂(t) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in km/h

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie mithilfe von v₂ den Zeitpunkt t₂ ∈ [0; 20], zu dem die Geschwindigkeit des Sportwagens 130 km/h beträgt.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
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Beschleunigungstest

Bei einem Beschleunigungstest wird ein Fahrzeug aus dem Stillstand (Anfangsgeschwindigkeit = 0 km/h) beschleunigt. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v für einen Beschleunigungstest mit einem Sportwagen dargestellt. Dabei bewegt sich der Sportwagen t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs mit der Geschwindigkeit v(t) in km/h.

Illustration fehlt

Teil c

Die Geschwindigkeit-Beschleunigung-Funktion a ordnet jeder Geschwindigkeit v ∈ [80; 160] des Sportwagens näherungsweise die entsprechende Beschleunigung a(v) zu.

\(a\left( v \right) = 0,0003 \cdot {v^2} + b \cdot v + c{\text{ mit }}b,c \in {\Bbb R}\)

• v ... Geschwindigkeit in km/h
• a(v) ... Beschleunigung bei der Geschwindigkeit v in m/s²

In der nachstehenden Tabelle sind zwei Beschleunigungswerte angeführt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie b und c.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der Funktion a und der Abbildung im Einleitungstext den Zeitpunkt t³, zu dem die Beschleunigung 3,7 m/s2 beträgt.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Würfelspiel

Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Nachstehend sind drei mögliche Ereignisse beschrieben.

• Grande: Eine beliebige Augenzahl tritt fünfmal auf, z. B. 4, 4, 4, 4, 4.
• Full House: Eine beliebige Augenzahl tritt genau dreimal auf. Eine andere beliebige Augenzahl tritt genau zweimal auf, z. B. 1, 1, 1, 4, 4.
• Straße:  Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 2, 3, 4, 5, 6 treten jeweils genau einmal auf.

Teil a

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für ein Grande, wenn die fünf Würfel einmal geworfen werden.
[0 / 1 P.]

Es wurden die Augenzahlen 2, 2, 2, 4 und 5 geworfen. Bei einem zweiten Wurf werden nur die beiden Würfel mit den Augenzahlen 4 und 5 erneut geworfen, die anderen drei Würfel bleiben liegen.

• Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Grande zu erhalten, betragt p₁ .
• Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Full House zu erhalten, betragt p₂ .

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die zwei Wahrscheinlichkeiten p₁ und p₂ .
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Würfelspiel

Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig.

Teil b

Für die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E bei einem Wurf mit fünf Würfeln gilt:

\(P\left( E \right) = 6 \cdot \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 4 \end{array}} \right) \cdot {{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^4} \cdot \frac{5}{6}} \right]\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Würfelspiel

Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Nachstehend sind drei mögliche Ereignisse beschrieben.

• Grande: Eine beliebige Augenzahl tritt fünfmal auf, z. B. 4, 4, 4, 4, 4.
• Full House: Eine beliebige Augenzahl tritt genau dreimal auf. Eine andere beliebige Augenzahl tritt genau zweimal auf, z. B. 1, 1, 1, 4, 4.
• Straße:  Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 2, 3, 4, 5, 6 treten jeweils genau einmal auf.

Teil c

• Die Wahrscheinlichkeit für eine Straße liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei rund 3,09 %.
• Die Wahrscheinlichkeit für ein Full House liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei rund 3,86 %.

Franz würfelt einmal mit allen fünf Würfeln. Anna gibt Franz 40 Euro, wenn er eine Straße oder ein Full House erhalt. In allen anderen Fällen bekommt Anna von Franz x Euro.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie x so, dass die zu erwartenden Beträge, die Anna und Franz einander auszahlen, annähernd gleich sind.
[0 / 1 P.]