Österreichische BHS Matura - 2022.09.20 - HAK

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parfumherstellung – Aufgabe B_556

In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.

Teil a

Die Gesamtkosten für die Produktion des Parfums Desert können durch die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K beschrieben werden. Für die zugehörige Grenzkostenfunktion K‘ gilt:

\(\eqalign{ & K'\left( x \right) = 0,15 \cdot {x^2} - 6 \cdot x + c{\text{ }} \cr & {\text{mit }}x \geqslant 0 \cr} \)

• x ... Produktionsmenge in ME
• K′(x) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in GE/ME
• c ... Parameter

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie, für welche Produktionsmengen ein progressiver Kostenverlauf vorliegt.

[0 / 1 P.]

Bei ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen gilt folgende Bedingung:

Die Grenzkostenfunktion muss im gesamten Definitionsbereich positiv sein.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Weisen Sie nach, dass diese Bedingung nur für c > 60 erfüllt ist.

[0 / 1 P.]

Die Fixkosten bei der Produktion dieses Parfums betragen 250 GE.

Es gilt: c = 80

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K auf.
[0 / 1 P.]

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Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
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Parfumherstellung – Aufgabe B_556

In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.

Teil b

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Gesamtkostenfunktion K für die Produktion des Parfums Sunrise dargestellt. Der Verkaufspreis dieses Parfums beträgt 75 GE/ME.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Erlösfunktion E ein.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Gewinnbereich ab.

[ ; ] (in ME)
[0 / 1 P.]

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Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
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Parfumherstellung – Aufgabe B_556

In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.

Teil c

Für die Gewinnfunktion G für die Produktion des Parfums Moonlight gilt:
\(G\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^3} + 2,4 \cdot {x^2} - 9 \cdot x - 180\)

• x ... Absatzmenge in ME
• G(x) ... Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
   

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn pro ME, der bei einem Absatz von 25 ME

erzielt wird.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den maximalen Gewinn.
[0 / 1 P.]

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Küchengerät – Aufgabe B_557

Ein neues Küchengerät wird auf den Markt gebracht.

Teil a

Die zeitliche Entwicklung der Verkaufszahlen dieses Küchengeräts soll durch die beschränkte Wachstumsfunktion N₁ beschrieben werden.

\({N_1}\left( t \right) = S \cdot \left( {1 - {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right)\)

• t ... Zeit ab Verkaufsbeginn in Wochen
• N₁(t) ... insgesamt verkaufte Menge bis zur Zeit t in Stück
• S ... Sättigungsmenge in Stück
• λ ... positiver Parameter

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Argumentieren Sie mathematisch anhand der Funktionsgleichung, dass gilt: N₁(0) = 0

[0 / 1 P.]

Die Sättigungsmenge beträgt 5 000 Stück. Eine Woche nach Verkaufsbeginn wurden bereits 350 Stuck verkauft.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie λ.

[0 / 1 P.]

Vereinfacht kann die zeitliche Entwicklung der Verkaufszahlen dieses Küchengeräts für einen eingeschränkten Zeitraum auch durch die Funktion N₂ beschrieben werden.

\({N_2}\left( t \right) = 350 \cdot t\)

• t ... Zeit ab Verkaufsbeginn in Wochen
• N₂(t) ... insgesamt verkaufte Menge bis zur Zeit t in Stück

Jemand hat die Gleichungen N₁(t) = N₂(t) und N₁‘(t) = N₂‘(t) nach t gelöst.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Gleichungen jeweils die zutreffende Aussage aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

• Gleichung 1: \({N_1}\left( t \right) = {N_2}\left( t \right)\)
• Gleichung 2: \({N_1}^\prime \left( t \right) = {N_2}^\prime \left( t \right)\)

• Aussage A: Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist {0; 1}.
• Aussage B: Die Lösung dieser Gleichung liegt im Intervall ]0; 1[.
• Aussage C: Die Lösung dieser Gleichung liegt im Intervall [1; ∞[.
• Aussage D: Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist {0}.

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Küchengerät – Aufgabe B_557

Ein neues Küchengerät wird auf den Markt gebracht.

Teil b

Die Lebensdauer des Küchengeräts wird als normalverteilt mit einem Erwartungswert von 10 Jahren angenommen. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion dieser Normalverteilung. Der Abstand zwischen zwei Markierungen auf der Achse entspricht 1 Jahr.

Abbildung fehlt

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Küchengerät dieses Typs eine Lebensdauer von maximal 7 Jahren hat, beträgt 12 %.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung diese Wahrscheinlichkeit.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung.
[0 / 1 P.]

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Küchengerät – Aufgabe B_557

Ein neues Küchengerät wird auf den Markt gebracht.

Teil c

Eine Marktforschungsanalyse zu diesem Küchengerät hat ergeben, dass folgende Mengen bei den jeweiligen Preisen abgesetzt werden können:

Die Kosten für die Produktion von 1 430 Stuck betragen 28.000 Euro. Diese Menge wird zu einem Preis von 20 Euro/Stück abgesetzt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Überprüfen Sie nachweislich, ob der Break-Even-Point bei weniger als 1 430 Stück erreicht wird.

[0 / 1 P.]

Mit den Daten aus der obigen Tabelle soll mithilfe von exponentieller Regression eine Preis- Absatz-Funktion p erstellt werden.

\(p\left( x \right) = a \cdot {e^{ - \lambda \cdot x}}\)

• x ... abgesetzte Menge in Stück
• p(x) ... Preis bei der abgesetzten Menge x in Euro/Stück

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der Funktion p auf.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie, warum es gemäß diesem Modell keine Sättigungsmenge gibt.
[0 / 1 P.]

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Esszimmereinrichtung – Aufgabe B_558

Petra möchte eine neue Esszimmereinrichtung kaufen, die € 4.000 kostet.

Teil a

Petra hat vor 3 Jahren € 2.000 und vor 1 Jahr den Betrag X auf ein Konto eingezahlt, sodass sie nun als Sparziel den Betrag € 4.000 auf diesem Konto hat.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Veranschaulichen Sie diesen Zahlungsstrom (Einzahlungen und Sparziel) auf der nachstehenden Zeitachse.

[0 / 1 P.]

Abbildung fehlt

Die eingezahlten Beträge werden mit dem Jahreszinssatz i verzinst.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe des Betrags X auf. Verwenden Sie dabei die Beträge € 4.000 und € 2.000 sowie den Jahreszinssatz i.

X =

[0 / 1 P.]

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Esszimmereinrichtung – Aufgabe B_558

Petra möchte eine neue Esszimmereinrichtung kaufen, die € 4.000 kostet.

Teil b

Petra kann die Esszimmereinrichtung auch bei einem Versandhaus über Ratenzahlung finanzieren. Aufgrund der anfallenden Zinsen betragen die Kosten dabei monatlich € 1,65 pro € 100 offener Restschuld. Petra berechnet für diese Ratenzahlung einen Jahreszinssatz von rund 21,7 %.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Überprüfen Sie nachweislich, ob Petras Berechnung stimmt.
[0 / 1 P.]

Beim Kauf der Esszimmereinrichtung um € 4.000 über Ratenzahlung müssen 12 nachschüssige Monatsraten in Höhe von jeweils € 370 und ein Restbetrag, der zeitgleich mit der letzten Monatsrate fällig ist, bezahlt werden. Der Jahreszinssatz beträgt 21,7 %.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Höhe des Restbetrags.

[0 / 1 P.]

Beim Kauf eines Möbelstücks mit dem Verkaufspreis W über Ratenzahlung müssen 3 nachschüssige Monatsraten der Höhe R bezahlt werden. Der zugehörige monatliche Aufzinsungsfaktor wird mit q₁₂ bezeichnet.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Gleichung 1: \(W = R + \dfrac{R}{{{q_{12}}}} + \dfrac{R}{{{q_{12}}^2}}\)
• Gleichung 2: \(W \cdot {q_{12}}^3 = R + \dfrac{R}{{{q_{12}}}} + \dfrac{R}{{{q_{12}}^2}}\)
• Gleichung 3: \(W = \dfrac{R}{{{q_{12}}}} + \dfrac{R}{{{q_{12}}^2}} + \dfrac{R}{{{q_{12}}^3}}\)
• Gleichung 4: \(W \cdot {q_{12}}^3 = \dfrac{R}{{{q_{12}}}} + \dfrac{R}{{{q_{12}}^2}} + \dfrac{R}{{{q_{12}}^3}}\)
• Gleichung 5: \(W \cdot {q_{12}}^3 = R \cdot {q_{12}}^3 + R \cdot {q_{12}}^2 + R \cdot {q_{12}}\)

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Esszimmereinrichtung – Aufgabe B_558

Petra möchte eine neue Esszimmereinrichtung kaufen, die € 4.000 kostet.

Teil c

Petra kann die Esszimmereinrichtung auch über einen Kredit mit einer Laufzeit von 5 Jahren finanzieren. Dazu wird eine gleichbleibende Annuität berechnet und ein Tilgungsplan erstellt. Allerdings ist nach 5 Jahren die Schuld noch nicht vollständig getilgt, weil während der Laufzeit eine einmalige Änderung des Zinssatzes stattgefunden hat.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erklären Sie, woran man erkennen kann, dass während der Laufzeit eine Änderung des Zinssatzes stattgefunden hat.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Zinssatz im Jahr 5.
[0 / 1 P.]

Der Kredit soll am Ende des Jahres 5 vollständig getilgt werden. Dadurch verändert sich die letzte Zeile des obigen Tilgungsplans.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie in der nachstehenden Tabelle die beiden fehlenden Zahlen ein.
[0 / 1 P.]