Gewöhnliche Differentialgleichungen
Formel
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von gewöhnlichen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von einer Variablen abhängt, die in der Funktionsgleichung der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommt. Die Funktion y=y(x) ist dann eine Lösung der Differentialgleichung, wenn y=y(x) und ihre Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfüllen.
\(F\left( {x,y,y'} \right) = 0\) | Gewöhnliche Differentialgleichung 1-ter Ordnung |
\(F\left( {x;\,\,\,y;\,\,\,y';\,\,\,...\,\,\,;{y^{\left( n \right)}}} \right)=0\) | Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung |
Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung
- Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n voneinander unabhängige Parameter, deren Ursprung Integrationskonstanten sind
- Die partikuläre oder spezielle Lösung wird aus der allgemeinen Lösung durch die Anwendung zusätzlicher Bedingungen (Anfangsbedingung, Randwertbedingung) gewonnen , wobei man den n Parametern feste Werte zuweist.
Allgemeine Differentialgleichung 1. Ordnung
In einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung kommen y und y‘ vor, sowie die beiden beliebigen Funktionen a(x) und b(x)
\(y' + a\left( x \right) \cdot y = b\left( x \right)\)
- Beispiel einer expliziten DGL 1. Ordnung
- \(y' = \sin \left( x \right)\)
- Beispiel einer impliziten DGL 1. Ordnung:
- \(x - yy' = 0\)
- \(\mathop { s }\limits^{ \cdot \cdot } =-g\)
Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der a(x)=x, also ein konstanter Koeffizient ist.
\(\eqalign{ & y' + a \cdot y = s\left( x \right){\text{ mit }}a \in {\Bbb R},{\text{ }}y = y\left( x \right) \cr & y = {y_h} + {y_p} \cr} \)
y | allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung |
yh | allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung, für s(x)=0 |
yp | partikuläre (=spezielle) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung |
s(x) | Störfunktion |
Differentialgleichung 1. Ordnung mit trennbaren Variablen
Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der man die Variablen "y" auf der einen Seite und die Variablen „x“ auf der anderen Seite einer Differentialgleichung anschreiben kann. Man spricht auch von einer separablen Differentialgleichung.
\(\eqalign{ & y' = \dfrac{{dy}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \cr & \dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx \cr & \int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C \cr} \)
Vorgehen zur Lösung von Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ \(y' = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right)\)
- 1. Lösungsschritt: Trennen der beiden Variablen: \(\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx\)
- 2. Lösungsschritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung: \(\int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C\)
- 3. Lösungsschritt: Man versucht - was nicht immer möglich ist - die Auflösung der nunmehr vorliegenden impliziten Gleichung vom Typ \(G\left( y \right) = F\left( x \right)\) nach der Variablen „y“.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Aktuelle Lerneinheit
Gewöhnliche Differentialgleichungen | Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen der unbekannten Funktion y=y(x) bis zur n-ten Ordnung vorkommen. |
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Gängige Ableitungsfunktionen | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Grafisches Differenzieren | Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt |
Lineare Optimierung (Minimum-, Maximumaufgaben) | Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. |
Partielle Differentialgleichungen | Funktionen, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängen differenziert man, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.
|
Ableitungsregeln | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Spezielle Ableitungsfunktionen | Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4033
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
Teil d
Das Absinken der Sauerstoffaufnahme nach Beendigung einer körperlichen Belastung beim Sport kann mit der folgenden Differenzialgleichung beschrieben werden:
\(\dfrac{{dy}}{{dt}} = - 1,386 \cdot \left( {y - 0,3} \right)\)
mit
t | Zeit nach Beendigung der körperlichen Belastung in Minuten (min) |
y(t) | Sauerstoffaufnahme zur Zeit t in Litern pro Minute (L/min) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lösen Sie diese Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[1 Punkt]
Aufgabe 4099
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074
Teil a
Die Bewegung eines Bootes wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
\(m \cdot \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot v\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch anhand der Differenzialgleichung, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Zeit t abnimmt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
[1 Punkt]
Aufgabe 4341
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wein - Aufgabe B_447
Teil c
Bei der Lagerung in einem Keller hat ein bestimmter Wein eine Temperatur von 10 °C. Der Wein wird in einen Raum mit der Umgebungstemperatur TU = 20 °C gebracht. Nach 20 min hat der Wein eine Temperatur von 12 °C. Die momentane Änderungsrate der Temperatur des Weines ist direkt proportional zur Differenz zwischen der Umgebungstemperatur TU und der aktuellen Temperatur T des Weines.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie diejenige Differenzialgleichung auf, die die Temperatur T des Weines während des Erwärmungsprozesses beschreibt. Bezeichnen Sie dabei den Proportionalitätsfaktor mit k.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung für den gegebenen Erwärmungsprozess.
[2 Punkte]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis der Wein ausgehend von 10 °C eine Temperatur von 15 °C erreicht.
[1 Punkt]
Aufgabe 4441
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Meerwasser und mehr Wasser - Aufgabe B_509
Teil a
Die Funktion V beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf des Wasservolumens eines bestimmten Sees. Dabei wird das Wasservolumen in Kubikmetern und die Zeit t in Tagen angegeben. V erfüllt die folgende Differenzialgleichung:
\(\dfrac{{dV}}{{dt}} = 0,001 \cdot \left( {350 - V} \right){\text{ mit }}V > 0\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie anhand der Differenzialgleichung, für welche Werte von V das Wasservolumen dieses Sees gemäß diesem Modell zunimmt.
[0 / 1 P.]
2 Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[0 / 1 P.]
Zur Zeit t = 0 betragt das Wasservolumen 150 m3.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.
[0 / 1 P.]
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