Wachstum
Formel
Wachstum
Unter Wachstum versteht man den Anstieg einer Messgröße im Verlauf der Zeit.
- Positivwachstum: Zunahme
- Negativwachstum: Abnahme, Zerfall oder Schrumpfung
- Nullwachstum: über den Zeitverlauf hinweg bleibt die Messgröße konstant
Wir unterscheiden folgende Wachstumsmodelle
- Lineare Wachstumsmodelle
- Exponentielle Wachstumsmodelle
- Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle
- Logistische Wachstumsmodelle
Lineare Wachstumsmodelle
Bei linearen Wachstumsmodellen kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, nur in der 1. Potenz vor. In gleichen Zeitschritten, erfolgen gleiche absolute Änderungen. Die Wachstumsrate ist konstant. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
\(f\left( t \right) = kt + d\)
d | Anfangswert an der Stelle t=0 |
k | Wachstumswert |
Diskretes lineares Wachstumsmodell
Beim diskreten linearen Wachstumsmodell bleibt die absolute Änderung pro Schritt konstant.
\(\Delta {y_n} = {\text{k wobei: k}} \in {\Bbb R}\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\)
- Explizite Form: \({y_n} = {y_0} + n \cdot k\)
Kontinuierliches lineares Wachstumsmodell
Beim kontinuierlichen linearen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate konstant und unabhängig von jeweils aktuellen Wert.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k{\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} + k \cdot t \cr}\)
Exponentielle Wachstumsmodelle
Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentual) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t). Charakteristisch ist die am Anfang langsame, dann zunehmend schneller werdende Zunahme, die letztlich explosionsartig schnell wird (Kettenprozesse). Unbegrenzt exponentielles Wachstum kann es in der Natur nicht geben. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
- exponentielles Wachstum:
\(N(t) = {N_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t}} = {N_0} \cdot {b^t}{\text{ mit }}\lambda {\text{ = ln}}\left( b \right)\)
- exponentielle Abnahme:
\(N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)
mit
- N0 .. Startwert oder Anfangsbestand
- b ... Wachstumsfaktor
-
\(\lambda > 0\)
Diskretes exponentielles Wachstumsmodell
Beim diskreten exponentiellen Wachstumsmodell ist die relative Änderung pro Schritt konstant. Die Wachstumsrate ist proportional zum Bestand.
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = k{\text{ wobei: }}k \in {\Bbb R}\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = \left( {1 + k} \right) \cdot {y_n}\)
- Explizite Form: \({y_n} = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^n}\)
Kontinuierlich exponentielles Wachstumsmodell
Beim kontinuierlichen exponentiellen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate proportional zum jeweils aktuellen Wert.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k \cdot y\left( t \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^t} \cr}\)
Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle
Bei beschränkten Wachstumsmodellen gibt es einen das Wachstum beschränkenden Wert S, wodurch das Wachstum nach oben oder nach unten beschränkt wird. Es handelt sich um ein sogenanntes Sättigungsmodell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze. Charakteristisch ist die Anfangs explosionsartig, dann zunehmend langsamer werdende Zunahme, die letztlich völlig abklingt und einer endlichen Obergrenze zustrebt. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
- beschränktes exponentielles Wachstum:
\(N\left( t \right) = S - a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\) - beschränktes exponentielle Abnahme:
\(N\left( t \right) = S + a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)
mit:
- S ... Sättigungswert
- a=|S-N0|
Kontinuierlich beschränktes Wachstumsmodell
Beim kontinuierlich beschränkten Wachstumsmodell (z.B.: gemäß Logarithmusfunktionen) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes alle Zwischenwerte auftreten
\(f\left( x \right) = S - \left( {S - k} \right){e^{ - cx}}\)
Als Maß für die Steigung dient die 1. Ableitung
\(f'\left( x \right) = c \cdot \left( {S - f\left( x \right)} \right)\)
wobei: k=f(0)
Diskret beschränktes Wachstumsmodell
Beim diskreten beschränkten Wachstumsmodell (z.B. Verkaufte Stückzahl von einem Produkt) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes nur eine endliche Anzahl an diskreten Zwischenwerten auftreten.
mit S als Sättigungswert:
\(\Delta {y_n} = k \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\left( {S - {y_n}} \right)\)
- Explizite Form: \({y_n} = S - \left( {S - {y_0}} \right) \cdot {\left( {1 - k} \right)^n}\)
Logistische Wachstumsmodelle
Logistische Wachstumsmodelle sind eine Kombination aus exponentiellem und beschränktem Modell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional zum jeweiligen Wert N(t) und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze S.
Kontinuierlich logistisches Wachstumsmodell
Beim kontinuierlich logistischen Wachstumsmodell wächst der Bestand N(t) ausgehend von einem Startwert bzw. Anfangsbestand N0 zur Zeit t=0 zunächst exponentiell, wobei der s-förmige Graph dann einen Wendepunkt hat, ab dem sich das Wachstum abschwächst um sich einem Sättigungswert S anzunähern. Der Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion liegt immer beim halben Sättigungswert. Im Wendepunkt einer Funktion hat diese das größte Wachstum.
\(N\left( t \right) = \dfrac{{{N_0} \cdot S}}{{{N_0} + \left( {S - {N_0}} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + \left( {\dfrac{S}{{{N_0}}} - 1} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + c \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}}}\)
- N(t) ... Bestand zur Zeit t
- N0 ... Anfangsbestand, Bestand zur Zeit t=0, Startwert N(0)
- k ... Wachstumskonstante
- S ... Sättigungswert, -schranke, -grenze
Abbildung zur Veranschaulichung der Zusammenhänge bei logistischem Wachstum
Beispiel Grippe: Einige Touristen N0 bringen Grippeviren ins Land. Schnell infizieren sich immer mehr Menschen. Auf Grund von Immunisierung und dem Umstand dass die Wahrscheinlichkeit dass ein kranker Mensch einem noch gesunden Menschen begegnet mit Zunehmender Ausbreitung immer kleiner wird, bremst sich der Zuwachs zunehmend ein, sodass am Ende der Epidemie eine bestimmte Anzahl der Bevölkerung S angesteckt ist. Die maximale Anzahl an Grippekranken ist natürlich mit 100% der Bevölkerung nach oben begrenzt.
Diskretes logistisches Wachstumsmodell
Beim diskreten logistischen Wachstumsmodell ist die absolute Änderung je Schritt proportional zum jeweiligen Wert und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze.
\(\Delta {y_n} = k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
Rekursive Form:
\({y_{n + 1}} = {y_n} + k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
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Wissenspfad
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Mathematisches Modell | Ein mathematisches Modell beschreibt das Zusammenspiel von einzelnen Komponenten eines komplexen Systems (aus der Natur), mit den Mitteln der Mathematik. |
Aktuelle Lerneinheit
Wachstum | Unter Wachstum versteht man den Anstieg einer Messgröße im Verlauf der Zeit. |
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Zuordnungen | Von einer Zuordnung spricht man, wenn ein Wert eindeutig einem anderen Wert zugeordnet wird. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1820
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum einer Sonnenblume
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume wurde über einige Wochen jeweils zu Wochenbeginn gemessen. Zum Messbeginn t = 0 hatte die Sonnenblume die Höhe H0 = 5 cm.
Für jeden Zeitpunkt t (mit 0 ≤ t ≤ 5) gibt Ht die Höhe der Sonnenblume an. Die nachstehende Tabelle zeigt die (gerundeten) Messergebnisse für die Höhe der Sonnenblume für die ersten 5 Wochen.
Zeit t (in Wochen nach Messbeginn) |
Höhe der Sonnenblume Ht (in cm) |
1 | 36 |
2 | 68 |
3 | 98 |
4 | 128 |
5 | 159 |
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die absolute wöchentliche Zunahme der Höhe der Sonnenblume ist _____1_____ ; die Hohe der Sonnenblume Ht kann daher näherungsweise durch eine Differenzengleichung der Form _____2_____ beschrieben werden.
- Aussage 1: immer geringer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 2: immer größer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 3: annähernd konstant
- Gleichung 1: \({H_{t + 1}} = {H_t} \cdot \left( {1 + k} \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 2: \({H_{t + 1}} = {H_t}{\text{ + k mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 3: \({H_{t + 1}} = {H_t} + r \cdot \left( {k - {H_t}} \right){\text{ mit }}k,r \in {\Bbb R}{\text{ und }}0 < r < 1\)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Aufgabe 4247
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pflanzenwachstum - Aufgabe A_292
Teil c
Die Höhe einer bestimmten Pflanze wird täglich zu Mittag gemessen. Zu Beobachtungsbeginn hat die Pflanze die Höhe H0. Sie wachst um 0,5 % pro Tag bezogen auf die Höhe des jeweils vorangegangenen Tages.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von H0 eine Formel zur Berechnung der Höhe H dieser Pflanze 10 Tage nach Beobachtungsbeginn.
H =
[1 Punkt]
Aufgabe 4415
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sozialausgaben - Aufgabe B_481 & B_482
Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.
Teil b
Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).
Jahr | Sozialausgaben in Milliarden € |
1990 | 35,5 |
1995 | 51,0 |
2000 | 59,8 |
2005 | 71,2 |
2010 | 87,8 |
2015 | 102,5 |
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
(nur HAK)
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:
\(\root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} - 1 \approx 0,043\)
Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen. Dieses Modell soll durch eine Funktion S2 beschrieben werden.
t | Zeit ab 2015 in Jahren |
S2(t) | Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S2.
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015.
[1 Punkt]
Aufgabe 4403
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Limnologie - Aufgabe B_478
Die Limnologie erforscht wichtige Kenngrößen von stehenden Gewässern wie etwa Temperatur oder Dichte.
Teil a
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft die Wassertemperatur eines Sees in Abhängigkeit von der Tiefe x im Frühling (TF) und im Winter (TW). Die Wassertemperatur nähert sich in beiden Fällen asymptotisch dem Wert 4 °C.
Die Wassertemperatur des Sees im Frühling kann in Abhängigkeit von der Tiefe x näherungsweise durch eine Exponentialfunktion
\({T_F}{\text{ mit }}{T_F}\left( x \right) = a + b \cdot {e^{c \cdot x}}\)
beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Parameter a, b und c der Funktion TF.
[2 Punkte]
Für ein bestimmtes x1 gilt:
\({T_F}\left( {{x_1}} \right) - {T_W}\left( {{x_1}} \right) = 5\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie x1 mithilfe der obigen Abbildung.
[1 Punkt]
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