Tangensfunktion
Der Tangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Winkelbeziehungen im rechtwinkeligen Dreieck
Winkelfunktion ist ein Oberbegriff für Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans. Das sind Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck. Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten. Betrachtet man einen der beiden nicht rechten Winkel und nennt man ihn α so heißt jene Kathete die am Winkel α angrenzt die Ankathete und jene Kathete die dem Winkel α gegenüber liegt die Gegenkathete.
- Beachte: Die Bezeichnung Ankathete bzw. Gegenkathete hängt ausschließlich vom Winkel ab, auf den sich die Aussage bezieht. Ein und dieselbe kurze Seite vom Dreieck ist für den einen Winkel die Ankathete und für den anderen Winkel die Gegenkathete.
- Wichtig: Lerne daher bitte nie die Winkelfunktionen auf Basis der Bezeichnungen a,b oder c von den Dreieckseiten sondern immer mit den Bezeichnungen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse!
Sinus
Der Sinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Sinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\sin \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)
Kosinus
Der Kosinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kosinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\cos \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)
Tangens
Der Tangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Tangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\tan \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Kotangens
Der Kotangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Gegenkathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kotangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\cot \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\tan \alpha }}\)
Sekans
Der Sekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete und somit der Kehrwert der Kosinusfunktion.
\(\eqalign{ & \sec \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{1}{{\cos \left( \alpha \right)}} \cr & {\sec ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\tan ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)
Kosekans
Der Kosekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete und somit der Kehrwert der Sinusfunktion.
\(\eqalign{ & \csc \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\sin \left( \alpha \right)}} \cr & {\csc ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\cot ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)
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Zusammenhang der Funktionswerte einer Winkelfunktion zu den anderen 5 Winkelfunktionen bei gleichem Winkel
Mit Hilfe dieser Beziehungen lässt sich eine Winkelfunktion in eine der fünf anderen Winkelfunktionen umrechnen
Sinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \sin \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} = \dfrac{{\tan \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)
Kosinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \cos \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\cot \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{1}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)
Tangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \tan \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }}{{\cos \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\cot \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( {x - 1} \right)} }} \cr} \)
Kotangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \cot \left( x \right) = \cr & = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{{\cos \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\tan \left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} = \sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} \cr}\)
Sekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \sec \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\cos \left( x \right)}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} = \cr
& = \dfrac{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }}{{\cot \left( x \right)}} = \dfrac{{\csc \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)
Kosekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \csc \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }}{{\tan \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} = \dfrac{{\sec \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)
Reduktionsformeln für beliebige Winkel
Mit Hilfe der Reduktionsformeln kann die Berechnung jedes beliebigen Winkelfunktionswerts auf die Berechnung des Winkelfunktionswerts zwischen 0 ° und 90 ° zurückführen.
Reduktionsformeln für \( - \varphi ,\,\,\,\left( {\varphi \pm 90^\circ } \right),\,\,\,\left( {\varphi \pm 180^\circ } \right)\)
\(\eqalign{ & \sin \left( { - \varphi } \right) = - \sin \left( \varphi \right) \cr & sin\left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = \pm \cos \left( \varphi \right) \cr & \sin \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = - \sin \left( \varphi \right) \cr & \cr & \cos \left( { - \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & \cos \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = \mp \sin \left( \varphi \right) \cr & \cos \left( {\varphi \pm 180} \right) = - \cos \left( \varphi \right) \cr & \cr & \tan \left( { - \varphi } \right) = - \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = - \cot \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \cr & \cot \left( { - \varphi } \right) = - \cot \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = - \tan \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
Reduktionformeln für \(90^\circ \pm \varphi \)
\(\eqalign{ & \cos \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = - \cos \left( {90^\circ + \varphi } \right) = sin\left( \varphi \right) \cr & \sin \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = \sin \left( {90^\circ + \varphi } \right) = cos\left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {90^\circ - \varphi } \right) = - \cot \left( {90^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = - \tan \left( {90^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
Reduktionformeln für \(180° \pm \varphi \)
\(\eqalign{ & \sin \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = - \sin \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \sin \left( \varphi \right) \cr & - \cos \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = - \cos \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & - \tan \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = \tan \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & - \cot \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = \cot \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
Reduktionformeln für \(270° \pm \varphi \)
\(\eqalign{ & - \cos \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = \cos \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \sin \left( \varphi \right) \cr & - \sin \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \sin \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \cot \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \tan \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
Aufgaben
Aufgabe 1714
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Drehkegel
Gegeben ist ein Drehkegel mit einer Hohe von 6 cm. Der Winkel zwischen der Kegelachse und der Erzeugenden (Mantellinie) betragt 32°.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Radius r der Grundfläche des Drehkegels.
r ≈ cm
[0 / 1 Punkt]
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Aufgabe 1763
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bahntrasse
Die Steigung einer geradlinigen Bahntrasse wird in Promille (‰) angegeben. Beispielsweise ist bei einem Höhenunterschied von 1 m pro 1 000 m zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung die Steigung 1 ‰.
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Gleichung an, mit der für eine geradlinige Bahntrasse mit der Steigung 30 ‰ der Steigungswinkel α exakt berechnet werden kann (α > 0).
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 4308
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Am Fluss - Aufgabe A_229
Teil b
Ein von einem Punkt A senkrecht aufsteigender Ballon wird von einem Punkt B am Flussufer unter dem Höhenwinkel α = 30° gesehen. Etwas später erscheint der Ballon unter dem Höhenwinkel β = 40° (siehe nachstehende Skizze).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Streckenlänge CD.
[1 Punkt]
Aufgabe 4325
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stadtturm - Aufgabe A_161
Teil a
Von einer neuen Parkanlage sieht man die Spitze des 51 m hohen Stadtturms unter dem Höhenwinkel α = 38,2°.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie, um wie viel Meter man sich dem Stadtturm entlang der Strecke PF nähern muss, damit dieser unter dem doppelten Höhenwinkel zu sehen ist (siehe oben stehende Skizze).
[2 Punkte]
Aufgabe 4326
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stadtturm - Aufgabe A_161
Teil b
Der Stadtturm mit einer Höhe h wirft zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Schatten der Länge b.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Höhenwinkels, unter dem die Sonne zu diesem Zeitpunkt in dieser Stadt erscheint, auf.
[1 Punkt]
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