Bayern Mathematik Abitur 2016 - Prüfungsteil A+B - ohne CAS - Gruppe 1

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \sqrt {1 - \ln x} \) mit maximaler Definitionsmenge D.

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie D.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie den Wert \(x \in D{\text{ mit }}f\left( x \right) = 2\)

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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1. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie, dass der Graph der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion \(g:x \mapsto {x^2} \cdot \sin x\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

2. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie den Wert des Integrals \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^2} \cdot \sin x\,\,dx} \) an.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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1. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Skizzieren Sie im Bereich \( - 1 \leqslant x \leqslant 4\) den Graphen einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion f mit den folgenden Eigenschaften:

• f ist nur an der Stelle x=3 nicht differenzierbar.
• \(f(0) = 2\) und für die Ableitung f‘ von f gilt: \(f'\left( 0 \right) = - 1\)
• Der Graph von f ist im Bereich \( - 1 < x < 3\) linksgekrümmt.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Gegeben ist eine in \({\Bbb R}\) definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph G_f an der Stelle x=1 einen Hochpunkt und an der Stelle x=4 einen Tiefpunkt besitzt.

1. Teilaufgabe a1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion f‘ von f eine Parabel ist, welche die x-Achse in den Punkten \(\left( {1\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) schneidet und nach oben geöffnet ist.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass 2,5 die x-Koordinate des Wendepunkts von G_f ist.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Die Abbildung zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion f.

Bild

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)

Die Funktion F ist die in \({\Bbb R}\) definierte Stammfunktion von f mit \(F\left( 3 \right) = 0\)

2. Teilaufgabe b) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der Stelle x=2 an.

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie, dass \(F\left( b \right) = \int\limits_3^b {f\left( x \right)} \,\,dx{\text{ mit }}b \in {\Bbb R}\)

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen A und B.

1. Baumdiagramm

Bild

2. Baumdiagramm

Bild

1. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) und ergänzen Sie anschließend an allen Ästen des 2. Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt:
{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie den Erwartungswert von X.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFGH. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten:

Bild

1. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese.

2. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an.

Der Punkt P liegt auf der Kante [FB] des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand 3.

3. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts P.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben sind die Punkte \(A\left( { - 2\left| {1\left| 4 \right.} \right.} \right){\text{ und }}B\left( { - 4\left| {0\left| 6 \right.} \right.} \right)\)

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: \(\overrightarrow {CA} = 2 \cdot \overrightarrow {AB} \)

Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

• I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.
• II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die in IR definierte Funktion \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) .  Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G_f mit der y-Achse und begründen Sie, dass G_f oberhalb der x-Achse verläuft.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G_f sowie das Verhalten von f für \(x \to - \infty {\text{ und }}x \to + \infty \)

3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f‘‘ von f die Beziehung \(f''\left( x \right) = \frac{1}{4} \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\) gilt. Weisen Sie nach, dass G_f linksgekrümmt ist.

Zur Kontrolle: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {{e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}} \right)\)

4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G_f .

5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an G_f im Punkt \(P\left( {2\left| {f\left( 2 \right)} \right.} \right)\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right),\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 9} \right)\)

6. Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_f im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) in das Koordinatensystem aus der 5. Teilaufgabe e) ein.

7. Teilaufgabe g) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in {\Bbb R}\) die Beziehung \(\dfrac{1}{4} \cdot {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 1\) gilt.

 8. Teilaufgabe h) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Die als Kurvenlänge L_a;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b\)  lässt sich mithilfe der Formel \({L_{a;b}} = \int\limits_a^b {\sqrt {1 - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\) berechnen. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L_0;b des Graphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( 0 \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit b > 0}}\) 

Ergebnis: \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\)

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph G_f gemäß \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) aus Aufgabe 6050 beschreibt im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F₁ und F₂ der Masten durch die Punkte \(\left( { - 4\left| 0 \right.} \right){\text{ bzw}}{\text{. }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Bild

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.

2. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 6050 8. Teilaufgabe h) \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\) die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.

3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \({\Bbb R}\) definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \(\left( {0\left| 2 \right.} \right)\) hat und durch den Punkt \(P\left( {4\left| {f\left( 4 \right)} \right.} \right)\) verläuft. Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden.

4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Für jedes \(x \in \left] {0;4} \right[\) wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte \(\left( {x\left| {q\left( x \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich \(q\left( x \right) > f\left( x \right)\) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen G_f im Bereich \(\left( {0 < x < 4} \right)\) annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei 100 000 der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind 12 000 jeweils 5 € wert, der Rest ist jeweils 1 € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

• A: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
• B: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B).

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis A eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets P(a)=0,05 und P(B)=0,044 . Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet.

4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5% mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.

6. Teilaufgabe a) 7 BE - Bearbeitungszeit: 16:20

(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorleflaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als 0,05 ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05“ auf einem Signifikanzniveau von 1% durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.

Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur 3% der Saftschorle- Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.