Österreichische AHS Matura - 2022.05.03 - 24 Typ I Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Werte von Termen

Nachstehend sind fünf Terme mit a ∈ ℝ und a < 0 gegeben:

• Aussage 1: \(\dfrac{{a - 1}}{a}\)
• Aussage 2: \(\dfrac{{1 - 2 \cdot a}}{a}\)
• Aussage 3: \(\dfrac{a}{{1 - a}}\)
• Aussage 4: \({a^2} - 1\)
• Aussage 5: \( - a\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten

Kreuzen Sie die beiden Terme an, deren Wert auf jeden Fall positiv ist.
[2 aus 5]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quadratische Gleichung

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Variablen x:

\(3 \cdot {x^2} + a = 2 \cdot {x^2} + 6 \cdot x - 4{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten

Ermitteln Sie alle Werte von a, für die die gegebene Gleichung zwei verschiedene Lösungen in \({\Bbb R}\) hat.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Punkt einer Geraden

Gegeben sind die Gerade

\({\text{g in }}{\mathbb{R}^3}{\text{ mit: }}X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \\ { - 5} \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3} \\ 7 \\ 2 \end{array}} \right),\,\,s \in \mathbb{R}\)

und der Punkt

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ { - 19} \\ a \end{array}} \right),\,\,a \in \mathbb{R}\)

Der Punkt A liegt auf der Geraden g.

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie a.

a =

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
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Normalvektoren

Gegeben ist der Vektor

\(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ { - 3 \cdot a} \end{array}} \right){\text{ mit }}a > 1\)
 

• Aussage 1: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 \cdot a} \\ 7 \end{array}} \right)\)
• Aussage 2: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,5 \cdot a} \\ {3,5} \end{array}} \right)\)
• Aussage 3: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6 \cdot {a^2}} \\ { - 14 \cdot a} \end{array}} \right)\)
• Aussage 4: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,5} \\ {3,5 \cdot a} \end{array}} \right)\)
• Aussage 5: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {9 \cdot {a^2}} \\ { - 21 \cdot a} \end{array}} \right)\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die beiden Vektoren an, die normal auf \(\overrightarrow v \) stehen.
[2 aus 5]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Berechnungen am Dreieck

Die nachstehende Abbildung zeigt ein Dreieck, das durch die Höhe h in zwei rechtwinkelige Dreiecke unterteilt wird.

Bild

• Ausdruck A: \(b \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
• Ausdruck B: \(\dfrac{p}{{\cos \left( \beta \right)}}\)
• Ausdruck C: \(\dfrac{h}{{\tan \left( \beta \right)}}\)
• Ausdruck D: \(q \cdot \tan \left( \alpha \right)\)
• Ausdruck E: \(q + \dfrac{h}{{\tan \left( \beta \right)}}\)
• Ausdruck F: \(\dfrac{q}{{\cos \left( \alpha \right)}}\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den vier Längen a, b, c und h jeweils den zutreffenden Ausdruck zur Berechnung aus A bis F zu.

• Länge a
• Länge b
• Länge c
• Länge h

[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Intervalle

Gegeben sind sechs verschiedene Intervalle. Für alle Winkel α aus einem dieser Intervalle gilt: sin(α) ≥ 0 und sin(α) ≠ 1.

• Intervall 1: [270°; 360°)
• Intervall 2: [90°; 180°]
• Intervall 3: (0°; 180°)
• Intervall 4: [0°; 90°)
• Intervall 5: (90°; 270°]
• Intervall 6: [180°; 270°]

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie das zutreffende Intervall an.

[1 aus 6]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Eigenschaften reeller Funktionen

Nachstehend sind Eigenschaften einer reellen Funktion f angegeben.

• Eigenschaft 1: Für alle x ∈ ℝ gilt: f(x) = f(–x).
• Eigenschaft 2: Für ein bestimmtes m ∈ ℝ⁺ gilt: f(x + m) = f(x) für alle x ∈ ℝ.
• Eigenschaft 3: Für alle x₁, x₂ ∈ ℝ mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂).
• Eigenschaft 4: Für alle x ∈ ℝ gilt: f(x) ≠ 0.

• Aussage A: f ist streng monoton steigend.
• Aussage B: Der Graph von f ist symmetrisch zur senkrechten Achse.
• Aussage C: Der Graph von f hat eine Asymptote.
• Aussage D: f ist streng monoton fallend.
• Aussage E: f ist periodisch.
• Aussage F: Der Graph von f hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den vier Eigenschaften 1 bis 4 jeweils die zutreffende Aussage aus A bis F zu.
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Lineare Funktion

Gegeben ist die lineare Funktion

\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = k \cdot x + d{\text{ und }}k,d \in \mathbb{R}\)

Für alle x ∈ ℝ gilt: ____1_____ =____ 2______ .
 

• Satzteil 1.1: f(x + 1)
• Satzteil 1.2: f(x + 2)
• Satzteil 1.3: f(x + 1) + f(x + 1)

• Satzteil 2.1: f(x) + 2 ∙ k
• Satzteil 2.2: f(x) + d
• Satzteil 2.3: 2 ∙ f(x) + 2

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im obenstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass auf jeden Fall eine richtige Aussage entsteht.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Indirekte Proportionalität

Gegeben sind sechs Zuordnungen mit x ∈ ℝ⁺.

• Zuordnung 1: \(x \mapsto 3 - x\)
• Zuordnung 2: \(x \mapsto - \dfrac{x}{3}\)
• Zuordnung 3: \(x \mapsto \dfrac{3}{{{x^2}}}\)
• Zuordnung 4: \(x \mapsto 3 \cdot {x^{ - 1}}\)
• Zuordnung 5: \(x \mapsto {3^{ - x}}\)
• Zuordnung 6: \(x \mapsto {x^{ - 3}}\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie diejenige Zuordnung an, die eine indirekte Proportionalität beschreibt.
[1 aus 6]
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ungerade Funktion

Für die Funktion
\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ wobei }}a \in \mathbb{R},\,\,a \ne 0\)

mit ungeradem n ∈ ℕ ist die nachstehende Wertetabelle gegeben.

Dabei sind v, w ∈ ℝ.

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den Zusammenhang zwischen v und w in Form einer Gleichung an.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit einer bestimmten radioaktiven Substanz beträgt T Jahre. Die nach t Jahren vorhandene Menge der radioaktiven Substanz wird mit m(t) bezeichnet. Es gilt: m(0) > 0.

• Gleichung 1: \(m\left( T \right) = \dfrac{1}{2} \cdot m\left( 0 \right)\)
• Gleichung 2: \(m\left( {2 \cdot T} \right) = 0\)
• Gleichung 3: \(m\left( {3 \cdot T} \right) = \dfrac{7}{8} \cdot m\left( 0 \right)\)
• Gleichung 4: \(m\left( {4 \cdot T} \right) = \dfrac{1}{4} \cdot m\left( T \right) \)
• Gleichung 5: \(m\left( {5 \cdot T} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot m\left( {4 \cdot T} \right)\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an.
[2 aus 5]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Töne

Die Funktionen f, g und h beschreiben jeweils in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) Schwingungen, die Tone erzeugen. Dabei gilt:

\(\begin{gathered} f\left( t \right) = \sin \left( {600 \cdot t} \right) \hfill \\ g\left( t \right) = \dfrac{5}{4} \cdot \sin \left( {800 \cdot t} \right) \hfill \\ h\left( t \right) = \dfrac{6}{5} \cdot \sin \left( {500 \cdot t} \right) \hfill \\ \end{gathered} \)

Die Lautstärke eines Tons ist umso höher, je größer die Amplitude (maximale Auslenkung) der zugehörigen Schwingung ist. Ein Ton ist umso höher, je höher die Frequenz (Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) der zugehörigen Schwingung ist.

• Satzteil 1.1: f
• Satzteil 1.2: g
• Satzteil 1.3: h

• Satzteil 2.1: f
• Satzteil 2.2: g
• Satzteil 2.3: h

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

[0 / ½ / 1 P.]

Die Schwingung, die den Ton mit der höchsten Lautstarke erzeugt, wird durch die Funktion ____1_____ beschrieben; die Schwingung, die den tiefsten Ton erzeugt, wird durch die Funktion ____2_____ beschrieben.