Österreichische AHS Matura - 2023.01.11 - 24 Typ I Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Summe und Produkt zweier Zahlen

Für zwei Zahlen a und b mit \(a,b \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}a + b = a \cdot b\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten

Begründen Sie allgemein, warum es unter dieser Voraussetzung nicht möglich ist, dass sowohl a als auch b negativ sind.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
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Reines Wasser – 11245. Aufgabe 1_1245

Reines Wasser besteht ausschließlich aus Wassermolekülen. Modellhaft wird angenommen, dass ein Wassermolekül eine Masse von 3 ∙ 10^–23 g hat.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten

Berechnen Sie die Anzahl der Wassermoleküle in 3 kg reinem Wasser.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
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Vermietung

Alexander vermietet vier Wohnungen. In der nachstehenden Tabelle sind die Bruttomieten und die Betriebskosten für ein bestimmtes Jahr angegeben.

Die Spalten der Tabelle können als Vektoren angeschrieben werden. Dabei gibt der Vektor B die jeweiligen Bruttomieten und der Vektor K die jeweiligen Betriebskosten an. Die Bruttomieten sind die Summe aus Nettomieten und Betriebskosten. Der Gewinn (nach Abzug der Steuern) beträgt 60 % der Nettomieten.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten

Berechnen Sie den Vektor G, dessen Komponenten Alexanders Gewinne aus der Vermietung der vier Wohnungen sind.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
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Teilungspunkt einer Rechteckseite – 11247. Aufgabe 1_1247

Nachstehend ist ein Rechteck mit den Eckpunkten A, B, C und D dargestellt. Der Punkt T teilt die Strecke CD im Verhältnis 3 : 1 (siehe nachstehende Abbildung).

Abbildung fehlt

Für den Punkt T gilt:
\(T = A + r \cdot \overrightarrow {AB} + s \cdot \overrightarrow {DA} {\text{ mit }}r,s \in {\Bbb R}\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie r und s.

r =

s =

[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
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Zwei Gerade im Raum – 11248. Aufgabe 1_1248

Gegeben sind zwei Geraden g und h in ℝ³.

\(\eqalign{ & g:X = A + t \cdot \overrightarrow a {\text{ mit }}t \in {\Bbb R} \cr & h:X = B + s \cdot \overrightarrow b {\text{ mit }}s \in {\Bbb R} \cr} \)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

Falls _____Satzteil 1_____ gilt, sind die Geraden g und h auf jeden Fall _____Satzteil 2_____ .

Satzteil 1: 

•  Satzteil 1_1: \(A \notin h{\text{ und }}\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
•  Satzteil 1_2: \(B \in g{\text{ und }}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
•  Satzteil 1_3: \(\overrightarrow a = r \cdot \overrightarrow b {\text{ mit r}} \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}{\text{ und }}B \notin g\)

Satzteil 2:

• Satzteil 2_1: schneidend
• Satzteil 2_2: identisch
• Satzteil 2_3: windschief

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Viereck

In der nachstehenden Abbildung ist ein Viereck dargestellt.

Abbildung fehlt

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie unter Verwendung der dafür erforderlichen Seitenlangen eine Formel zur Berechnung von tan(β) auf.

tan(β) =

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
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Behälter

Es werden zylindrische Behälter, die alle das gleiche Volumen V₀ haben, produziert. Die Funktion h beschreibt die Höhe eines solchen Behälters in Abhängigkeit vom Inhalt G seiner Grundfläche (G in cm², h(G) in cm). Der Graph der Funktion h ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Abbildung fehlt

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie V₀.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
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Funktionseigenschaften

Gegeben sind reelle Funktionen sowie die Parameter \(a \in {{\Bbb R}^ + }{\text{ und }}b \in \left( {0;1} \right)\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den vier angegebenen Funktionsgleichungen jeweils die zutreffende Funktionseigenschaft aus A bis F zu.

• Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)

• Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\)

• Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)

• Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)

• Funktionseigenschaft A: Es gilt f(x) = f(–x) für alle x ∈ ℝ.
• Funktionseigenschaft B: Es gilt f(x) = –f(–x) für alle x ∈ ℝ.
• Funktionseigenschaft C: f ist streng monoton fallend in ℝ.
• Funktionseigenschaft D: f hat genau zwei Nullstellen.
• Funktionseigenschaft E: f ist für alle x ∈ ℝ rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt).
• Funktionseigenschaft F: f hat genau eine Nullstelle.

[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fallender Ball

Ein Ball fällt von einer Aussichtsplattform. Die Funktion h beschreibt modellhaft die Höhe des fallenden Balles über dem Boden in Abhängigkeit von der Zeit t. Dabei gilt:

\(\eqalign{
& h:{{\Bbb R}_0}^ + \to {\Bbb R}, \cr
& h\left( t \right) = 30 - 4,9 \cdot {t^2} \cr} \)

• t in s, h(t) in m

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem sich der Ball 4 m über dem Boden befindet.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kosten eines Betriebs

Die Funktion K mit

\(K\left( x \right) = 100 \cdot {x^3} - 1800 \cdot {x^2} + 11200 \cdot x + 20000\)

gibt die Gesamtkosten in Euro an, die für einen Betrieb bei der Erzeugung von x (in Tonnen) eines bestimmten Produkts entstehen.

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diejenige Produktionsmenge (in Tonnen), bei der die Gesamtkosten um € 48.000 höher als die Fixkosten sind.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Baumhöhe

Die Höhe eines bestimmten Baumes kann in den ersten 15 Jahren nach dem Einpflanzen durch eine Exponentialfunktion modelliert werden. Dieser Baum hat 10 Jahre nach dem Einpflanzen eine Höhe von 2,2 m und 15 Jahre nach dem Einpflanzen eine Höhe von 2,7 m.

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Höhe dieses Baumes zum Zeitpunkt des Einpflanzens.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graph einer Sinusfunktion

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Sinusfunktion f mit

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right){\text{ mit }}a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)

Abbildung fehlt

Der Graph von f verläuft durch die Punkte

\({P_1} = \left( {3 \cdot \pi \left| 3 \right.} \right){\text{ und }}{P_2} = \left( {4 \cdot \pi \left| 0 \right.} \right)\)

Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie a und b an.

a =

b =

[0 / ½ / 1 P.]