Anwendungen der Integralrechnung
Formel
Anwendungen der Integralrechnung
Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen.
- Figuren, die durch Gerade oder Kreise begrenzt werden
Für geometrische Figuren wie Dreiecke, Vielecke oder Kreise gibt es feste Formeln für die Berechnung von Umfang oder Fläche. Auch für die Oberfläche oder das Volumen von geometrischen Körpern wie Quader, Zylinder, Pyramide oder Kugel gibt es feste Formeln. - Figuren, die durch eine Funktion begrenzt werden
Bei Flächen, die von krummlinigen Kurven, also durch Funktionen f(x) begrenzt werden, kann man die Fläche leider nicht so einfach wie beim Rechteck, mit „Länge mal Breite“ berechnen. Durch die Integralrechnung wird die Berechnung von Bogenlängen, Flächen oder Volumina von Figuren und Körpern ermöglicht, deren Begrenzungslinien allgemeine Funktionen f(x) sind.
Illustration: links die Fläche unter der Funktion f(x)=x² rechts daneben die zusammengesetzte geometrische Figur bestehend aus einem Rechteck und einem Dreieck
Produktsumme zur näherungsweisen Berechnung von Flächen
Man zerlegt geometrisch die von den Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen. Summiert man die einzelnen Flächen als das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt.
Praktisch kann man die Streifen nach verschiedenen Kriterien auswählen: Als „Obersumme“ , als „Untersumme“, als „Mittelsumme“, als "Linkssumme“ oder als „Rechtssumme“ oder als "Trapezsumme".
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Untersumme“ und „Obersumme“
Teilt man das Intervall \(\left[ {a;b} \right]\) in n Teile der gleichen Breite \(\Delta x = {{b - a} \over n}\), so erhält man die Untersumme als die Summe aller Rechteckstreifen unterhalb der Kurve und die Obersumme als die Summe aller Rechteckstreifen oberhalb der Kurve. Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) genau zwischen Ober- und Untersumme.
\({U_n} = \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \left[ {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cdot \Delta x\)
für \(n \to \infty\)
\({U_n} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x} }\)
Obersumme
Bei der Obersumme wählt man den größten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Untersumme
Bei der Untersumme wählt man den niedersten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Wenn der Grenzwert der Untersummen gleich groß ist wie der Grenzwert der Obersummen aller Rechteckstreifen, dann ist dieser Grenzwert zugleich der Wert des bestimmten Integrals.
\({U_n} = {O_n} = \int\limits_a^b {f\left( {x\,\,dx} \right)} = A\)
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Linkssumme“, Mittelsumme" und „Rechtssumme“
Bei Funktionen deren Monotonie sich ändert (steigend, fallend) verwendet man statt der Ober- und Untersummen die Links- und die Rechtssummen.
Linkssumme
Bei der Linkssumme liegt für jedes Teilintervall der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Mittelsumme
Bei der Mittelsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der Halbierungspunkt der oberen Seite des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Rechtssumme
Bei der Rechtssumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte ober Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Annäherung der exakten Fläche durch "Trapezsumme"
Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts. Bei der Trapezsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte und der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion. Da die Punkte, (außer im Bereich eines konstanten Verlaufs) unterschiedlich hoch liegen, wird die Fläche unter der Funktion durch ein Trapez sehr genau angenähert.
Trapezsumme mit 6 Trapezen
Trapezsumme mit 12 Trapezen
Riemann Summe
Zerlegt man die von einer Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen und summiert man das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt. Macht man die Rechteckstreifen immer schmäler - also tendenziell unendlich schmal - so nähert sich die Summe der Flächeninhalte beliebig genau dem tatsächlichen Flächeninhalt an. Man nennt dies die Riemann Summe.
Zusammenhang zwischen der Riemann-Summe und dem bestimmten Integral
Ist f(x) eine stetige Funktion im Intervall \(\left[ {a;b} \right]\), dann ist das bestimmte Integral \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\) gleich dem Grenzwert („Limes“) der Riemann-Summe für
- unendlich viele (\(n \to \infty \)) und gleichbedeutend mit
- unendlich schmalen xi Rechteckstreifen.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx = \mathop {\lim }\limits_{\Delta {x_i} \to 0} } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i}\)
Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral
Die Integrationsgrenzen geben an, für welches Intervall einer stetigen Funktion die Fläche berechnet werden soll. Die linke und die rechte Grenze vom Intervall, also die Werte „a“ und „b“ nennt man die Integrationsgrenzen, weil „…von „a“ nach „b“ integriert wird…“
Vertauscht man die Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral, so wechselt das Vorzeichen
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Unterschied bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beim bestimmten Integral sind die Integrationsgrenzen angegeben beim unbestimmten Integral hingegen nicht.
- Beim bestimmten Integral erhält man als Resultat einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalischer Einheit), der der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „a“ und der oberen Grenze „b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
- Beim unbestimmten Integral erhält man als Resultat die, bis auf die additive „Integrationskonstante c“ eindeutige Stammfunktion F(x). Es gibt also zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, deren Graph durch die Wahl von „c“ lediglich entlang der y-Achse (nach oben oder unten) parallel verschoben wird.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\)
Zusammenhang Stammfunktion und bestimmtes Integral
Setzt man in die Stammfunktion für die obere und die untere Grenze konkrete Werte ein, dann erhält man als Resultat das bestimmte Integral. Es ist als Differenz „obere minus untere Grenze“ ein konkreten Zahlenwert, der wiederum der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „x=a“ und der oberen Grenze „x=b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Erklärung für das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral ist ein dimensionsloser Zahlenwert, der der Fläche entspricht, die
- oben oder unten vom Graphen f(x)
- unten oder oben von der x-Achse
- links von der „unteren“ Grenze, gemäß der Geraden x=a
- rechts von der „oberen Grenze, gemäß der Geraden x=b
begrenzt wird.
Unterschied zwischen Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion
Flächeninhaltsfunktion
Die Flächeninhaltsfunktion F(b) ist das bestimmte Integral mit fester unterer Grenze "a" aber variabler oberer Grenze "b". Die Fläche A=F(b) ist also eine Funktion der oberen Grenze „b“.
\(F\left( b \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Stammfunktion
Die Stammfunktion F(x) ist jene Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ergibt.
\(F'(x) = f(x)\)
Orientierte Fläche
Das bestimmte Integral liefert eine „orientierte Fläche“. D.h.: Bei der Ermittlung der Fläche gehen jene Teilflächen die unter der x-Achse liegen mit einem negativen Vorzeichen in den Flächeninhalt ein und jene Teilflächen die oberhalb der x-Achse liegen gehen mit positiven Vorzeichen ein.
- Das bestimmte Integral ist nur für Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen und über der x-Achse. Bedenke: Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, haben keine Nullstellen, allenfalls haben sie die x-Achse als Tangente an einen Wendepunkt für den y=0 gilt.
- Bei Funktionen die negativ werden, gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Summe ein. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in die Summe ein. Man spricht hier von negativ orientierten Flächen.
Bedeutung vom Differential dx
Das sogenannte „Differential“ z.B.: „dx“ gibt an, über welche Variable - bei „dx“ nach der „x“-Variablen - integriert werden soll. Würde das Differential "dt" lauten, so würde nach der "t"-Variablen abgeleitet werden. Kommen noch andere Variablen vor, so werden diese so behandelt, als wären sie keine Variablen sondern Konstante!
Im nachfolgendem Beispiel ist „x“ die Variable und „t“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(x), F(x) und dx
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 2x + 2t \cr & F\left( x \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dx} = \int {2x\,\,dx} + \int {2t\,\,dx} = 2{{{x^2}} \over 2} + 2t \cdot x + c = {x^2} + 2tx + c \cr}\)
Im nachfolgendem Beispiel ist „t“ die Variable und „x“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(t), F(t) und dt
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 2x + 2t \cr & F\left( t \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dt} = \int {2x\,\,dt} + \int {2t\,\,dt} = 2x \cdot t + 2{{{t^2}} \over 2} + c = 2xt + {t^2} + c \cr} \)
Mehrfach Integrale - wenn über mehr als eine Variable integriert wird
Beim einfachsten Mehrfach-Integral, dem „Doppelintegral“ etwa wird zuerst das „innere Integral“ gemäß dem „inneren Differential“ mit variablen Grenzen und dann das „äußere Integral“ gemäß dem „äußeren Differential“ mit konstanten Integrationsgrenzen berechnet. Als Resultat erhält man einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalische Einheit), der dem Rauminhalt eines zylindrischen Körpers entspricht, welcher über der Fläche A liegt und den zur z-Achse parallelen Mantellinien begrenzt wird.
\(\int\limits_A^{} {f\left( {x,y} \right)\,\,dA = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)\,\,dy} } \right)} } \,\,dx = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)} } \,\,dy\,\,dx\)
Am Beispiel eines unbestimmten Integrals:
1. Es wird zuerst nach "x" und dann nach "t" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dx + \int {2t\,\,dx} } } \right]} \,\,dt = \cr & = \int {\left[ {{x^2} + 2tx} \right]} \,\,dt = \int {{x^2}\,\,dt} + \int {2tx\,\,dt} = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
2. Es wird zuerst nach "t" und dann nach "x" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dt + \int {2t\,\,dt} } } \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \cr & = \int {\left[ {2xt + {t^2}} \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \int {2xt\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } + \int {{t^2}\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden | Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. |
Aktuelle Lerneinheit
Anwendungen der Integralrechnung | Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Bestimmtes Integral - Bogenlänge | Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist. |
Zusammenhang Stammfunktion - Funktion - Ableitungsfunktion | Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen und Ihre Ableitungsfunktionen sowie die Stammfunktionen angeführt sind, darüber hinaus gibt es noch Integrationsregeln |
Integration spezieller Funktionen | Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen. |
Integrationsregeln | Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können. |
Auffinden gängiger Stammfunktionen | Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird |
Bestimmtes Integral - Rotationskörper | Die Mantelfläche einer Funktion f(x) bei Rotation um die x bzw. y Achse kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden |
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt von Flächen | Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden. |
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt | Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar. |
Rechenregeln für bestimmte Integrale | Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen [a,b], entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1606
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmtes Integral
Der Graph einer Funktion f schneidet die x-Achse in einem gewissen Bereich an den Stellen a, b, c, d und e.
- Aussage 1: \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- Aussage 2: \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- Aussage 3: \(\int\limits_b^d {f\left( x \right)\,\,dx}\)
- Aussage 4: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- Aussage 5: \(\int\limits_d^e {f\left( x \right)\,\,dx} \)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehend angeführten bestimmten Integrale haben einen Wert, der größer als 0 ist? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden bestimmten Integrale an!
Aufgabe 1404
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral einer Funktion f
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Polynomfunktion f. Alle Nullstellen sind ganzzahlig. Die Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse begrenzt wird, ist schraffiert dargestellt. A bezeichnet die Summe der beiden schraffierten Flächeninhalte.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen korrekten Ausdruck für A mithilfe der Integralschreibweise an!
A =
Aufgabe 1060
AHS - 1_060 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmte Integrale
Gegeben ist die Funktion \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x\)
Die nachstehende Tabelle zeigt Integrale
A | \(2 \cdot \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx}\) |
B | \(\int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)} \,\,dx\) |
C | \(\int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx + \left| {\int\limits_2^3 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx} } \right|}\) |
D | \(\int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,\operatorname{dx} - \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx} } \) |
E | \(\left| {\int\limits_2^3 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx} } \right|\) |
F | \(\int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)\,\,dx}\) |
Die nachstehende Tabelle zeigt Graphen der Funktion mit unterschiedlich schraffierten Flächenstücken.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Aufgabenstellung:
Beurteilen Sie, ob die obenstehend angeführten Integrale (aus A bis F) den Flächeninhalt einer der markierten Flächen der Graphen (1 bis 4) ergeben, und ordnen Sie entsprechend zu!
Deine Antwort | |
Graph 1 | |
Graph 2 | |
Graph 3 | |
Graph 4 |
Aufgabe 1751
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmte Integrale
Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion f mit den Nullstellen \({x_1} = - 1;\,\,\,\,\,{x_2} = 0;\,\,\,\,\,{x_3} = 2;\,\,\,\,\,{x_4} = 4\) dargestellt. Für die mit A1, A2 und A3 gekennzeichneten Flächeninhalte gilt: A1 = 0,4; A2 = 1,5 und A3 = 3,2.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die wahre Aussagen sind. [0 / 1 Punkt]
- Aussage 1: \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,9\)
- Aussage 2: \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,7\)
- Aussage 3: \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 5,1\)
- Aussage 4: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,5\)
- Aussage 5: \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 3,2\)
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Aufgabe 1113
AHS - 1_113 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen über bestimmte Integrale
Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei \({x_1} = 1;\,\,\,\,\,{x_2} = 3;\,\,\,\,\,{x_3} = 6;\)
- Aussage 1: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx < 2} \)
- Aussage 2: \(\int\limits_1^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
- Aussage 3: \(\left| {\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx} } \right| < 6\)
- Aussage 4: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx > 0} } \)
- Aussage 5: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,\,dx > 0\) und \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1525
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächeninhalt
Abgebildet ist ein Ausschnitt des Graphen der Polynomfunktion f mit \(f(x) = - \dfrac{{{x^3}}}{8} + 2 \cdot x.\) Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [–2; 2] ist grau markiert.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Inhalt der grau markierten Fläche!
Aufgabe 1380
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer punktsymmetrischen Funktion f (das bedeutet: f(–x) = –f(x) dargestellt. Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [0; 3] ist rot unterlegt. Ihre Maßzahl beträgt 6,75.
- Aussage 1: \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 6,75\)
- Aussage 2: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 13,5\)
- Aussage 3: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = - 13,5\)
- Aussage 4: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\)
- Aussage 5: \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)} \,\,dx = 6,75\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
Aufgabe 1703
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächeninhalte
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f : ℝ → ℝ und zwei markierte Flächenstücke.
- Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade g mit der Gleichung x = a schließen das Flächenstück I mit dem Inhalt A1 ein.
- Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade h mit der Gleichung x = b schließen das Flächenstück II mit dem Inhalt A2 ein.
Aufgabenstellung:
Geben Sie das bestimmte Integral \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\) mithilfe der Flächeninhalte A1 und A2 an!
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = .....\)
[0 / 1 Punkt]
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Aufgabe 1679
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wert eines bestimmten Integrals
Nachstehend ist der Graph einer Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) dargestellt. Zusätzlich sind zwei Flächen gekennzeichnet. Die Fläche A1 wird vom Graphen der Funktion f und von der x-Achse im Intervall [0; 4] begrenzt und hat einen Flächeninhalt von \(\dfrac{{16}}{3}\) Flächeneinheiten. Die Fläche A2 wird vom Graphen der Funktion f und von der x-Achse im Intervall [4; 6] begrenzt und hat einen Flächeninhalt von \(\dfrac{7}{3}\) Flächeneinheiten.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des bestimmten Integrals \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Aufgabe 1654
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmtes Integral
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer abschnittsweise linearen Funktion f dargestellt. Die Koordinaten der Punkte A, B und C des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Wert des bestimmten Integrals \(\int\limits_0^7 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Aufgabe 1871
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen über bestimmte Integrale
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f im Intervall [0; 6] dargestellt.
Unten stehend sind einige Aussagen über bestimmte Integrale der Funktion f gegeben.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_0^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 2: \(\int\limits_3^4 {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_4^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 4: \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\)
- Aussage 5: \(\int\limits_4^6 {f\left( x \right)} \,\,dx > 0\)