Österreichische AHS Matura - 2019.01.15 - 24 Typ I Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zahlen und Zahlenmengen

Nachstehend sind Aussagen über Zahlen und Zahlenmengen angeführt.

• Aussage 1: Es gibt mindestens eine Zahl, die in \(\mathbb{N}\) enthalten ist, nicht aber in ℤ.
• Aussage 2: \( - \sqrt 9 \) ist eine irrationale Zahl.
• Aussage 3: Die Zahl 3 ist ein Element der Menge \(\mathbb{Q}\).
• Aussage 4: \(\sqrt { - 2} \) ist in \(\mathbb{C}\) enthalten, nicht aber in \(\mathbb{R}\).
• Aussage 5: Die periodische Zahl \(1,\mathop 5\limits^ \bullet \) ist in \(\mathbb{R}\) enthalten, nicht aber in \(\mathbb{Q}\).

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Darstellung von Zusammenhängen durch Gleichungen

Viele Zusammenhänge können in der Mathematik durch Gleichungen ausgedrückt werden.

• 1. Beschreibung: a ist halb so groß wie b
• 2. Beschreibung: b ist 2% von a
• 3. Beschreibung: a ist um 2% größer als b
• 4. Beschreibung: b ist um 2% kleiner als a

• Gleichung A: \(2 \cdot a = b\)
• Gleichung B: \(2 \cdot b = a\)
• Gleichung C: \(a = 1,02 \cdot b\)
• Gleichung D: \(b = 0,02 \cdot a\)
• Gleichung E: \(1,2 \cdot b = a\)
• Gleichung F: \(b = 0,98 \cdot a\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ordnen Sie den vier Beschreibungen eines möglichen Zusammenhangs zweier Zahlen a und b mit \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) jeweils die entsprechende Gleichung (aus A bis F) zu!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gleichungssystem

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y \in {\Bbb R}\).
\(\eqalign{ & Gl.1:a \cdot x + y = - 2{\text{ mit }}a \in {\Bbb R} \cr & Gl.2:3 \cdot x + b \cdot y = 6{\text{ mit }}b \in {\Bbb R} \cr} \)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parallele Geraden

Gegeben sind die Parameterdarstellungen zweier Geraden
\(\eqalign{
& g:X = P + t \cdot \overrightarrow u \cr
& h:X = Q + s \cdot \overrightarrow v \cr
& s,t \in {\Bbb R}{\text{ }} \cr} \)
\(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}} \right)\)

Aufgabenstellung:
Welche der nachstehend angeführten Aussagen sind unter der Voraussetzung, dass die beiden Geraden zueinander parallel, aber nicht identisch sind, stets zutreffend? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

• Aussage 1: \(P = Q\)
• Aussage 2: \(P \in h\)
• Aussage 3: \(Q \notin g\)
• Aussage 4: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0\)
• Aussage 5: \(\overrightarrow u = a \cdot \overrightarrow v \) für ein \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Beziehung zwischen Vektoren

Gegeben sind zwei Vektoren
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}\\ 5 \end{array}} \right){\rm{ }}\)und \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10 \cdot m}\\ n \end{array}} \right)\) mit \(m,n \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Aufgabenstellung:
Die Vektoren a und b sollen aufeinander normal stehen. Geben Sie für diesen Fall n in Abhängigkeit von m an!

n= ___

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Viereck

Gegeben ist das nachstehende Viereck ABCD mit den Seitenlangen a, b, c und d.

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Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung einen Winkel φ ein, für den

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
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Eigenschaften von Funktionsgraphen

Nachstehend sind Eigenschaften von Funktionen angeführt sowie charakteristische Ausschnitte von Funktionsgraphen abgebildet.

• Eigenschaft 1: Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich monoton steigend.
• Eigenschaft 2: Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich negativ gekrümmt (rechtsgekrümmt).
• Eigenschaft 3: Die Funktion ist auf dem Intervall (–∞; 0) positiv gekrümmt (linksgekrümmt).
• Eigenschaft 4: Die Funktion ist auf dem Intervall (–∞; 0) monoton fallend.

Funktionsgraph A: 
 

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Funktionsgraph B: 

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Funktionsgraph C: 

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Funktionsgraph D: 

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Funktionsgraph E: 

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Funktionsgraph F: 

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Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Eigenschaften jeweils den passenden Graphen (aus A bis F) zu!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kosten und Erlös

Für ein Produkt sind die Kostenfunktion K mit \(K\left( x \right) = 2 \cdot x + 4000\) und die Erlösfunktion E mit \(E\left( x \right) = 10 \cdot x\) bekannt, wobei x die Anzahl der produzierten Mengeneinheiten ist und alle produzierten Mengeneinheiten verkauft werden. Kosten und Erlös werden jeweils in Euro angegeben. Der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ist \(S = \left( {500\left| {5000} \right.} \right)\)

Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die Koordinaten 500 und 5 000 des Schnittpunkts S im gegebenen Kontext!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
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Deutung einer Gleichung

Ein mit Helium gefüllter Ballon steigt lotrecht auf. Die jeweilige Höhe des Ballons über einer ebenen Fläche kann durch eine lineare Funktion h in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert werden. Die Höhe h(t) wird in Metern, die Zeit t in Sekunden gemessen.

Aufgabenstellung:
Deuten Sie die Gleichung \(h\left( {t + 1} \right) - h\left( t \right) = 2\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Polynomfunktionen dritten Grades

Eine Polynomfunktion dritten Grades ändert an höchstens zwei Stellen ihr Monotonieverhalten.

Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades f, die an den Stellen x = –3 und x = 1 ihr Monotonieverhalten ändert!

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Dicke einer Bleiplatte

In der Medizintechnik werden Röntgenstrahlen eingesetzt. Durch den Einbau von Bleiplatten in Schutzwanden sollen Personen vor diesen Strahlen geschützt werden. Man geht davon aus, dass pro 1 mm Dicke der Bleiplatte die Strahlungsintensität um 5 % abnimmt.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die notwendige Dicke x (in mm) einer Bleiplatte, wenn die Strahlungsintensität auf 10 % der ursprünglichen Strahlungsintensität, mit der die Strahlen auf die Bleiplatte auftreffen, gesenkt werden soll!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Winkelfunktionen

In der unten stehenden Abbildung sind die Graphen der Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen
\(f\left( x \right) = \sin \left( x \right){\text{ und }}g\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) dargestellt.

Für die in der Abbildung eingezeichneten Stellen a und b gilt: cos(a) = sin(b).

Bild

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie \(k \in {\Bbb R}\) so, dass \(b - a = k \cdot \pi \)