Österreichische AHS Matura - 2021.01.12 - 24 Typ I Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Dreieck verschieben

In der nachstehenden Abbildung sind ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C sowie der Punkt A₁ dargestellt. Die gekennzeichneten Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.

Bild

Das Dreieck soll so um den Vektor \(\overrightarrow {A{A_1}} \)  verschoben werden, dass die Punkte A, B und C in die Punkte A₁, B₁ und C₁ übergehen.

Aufgabenstellung [0 / 0,5 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C₁.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Lösung einer Gleichung

Nachstehend ist eine Gleichung in \(x \in {\Bbb R}\) gegeben.
\(\sqrt {2 \cdot x - 6} = a{\text{ mit }}a \in {{\Bbb R}_0}^ + \)

• Aussage 1: \(( - \infty ;\left. { - 3} \right]\)
• Aussage 2: \(\left[ 3 \right.;\left. \infty \right)\)
• Aussage 3: \(\left[ { - 3} \right.;\left. 0 \right)\)
• Aussage 4: \(\left[ 0 \right.;\left. 3 \right)\)
• Aussage 5: \(\left[ { - 6;\left. { - 3} \right)} \right.\)
• Aussage 6: \(\left[ 3 \right.;\left. 6 \right]\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie dasjenige Intervall an, das für alle Werte von \(a \in {{\Bbb R}_0}^+ \) die Lösung der gegebenen Gleichung enthält.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Radfahrer

Die Schule von Alexander und die Schule von Bernhard sind durch eine 13 km lange geradlinige Straße verbunden.

An einem bestimmten Tag fahren beide von ihrer jeweiligen Schule aus mit dem Fahrrad entlang dieser Straße einander entgegen. Sie starten zu unterschiedlichen Zeitpunkten und begegnen einander t Stunden nach der Abfahrt von Alexander.

Bis zu ihrer Begegnung gilt:

• Alexander fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 18 km/h.
• Bernhard fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 24 km/h.

Im gegebenen Kontext wird die nachstehende Gleichung aufgestellt und gelöst.
\(\eqalign{ & 18 \cdot t + 24 \cdot \left( {t - \dfrac{1}{3}} \right) = 13 \cr & t = \dfrac{1}{2} \cr} \)

• Aussage 1: Alexander fährt um 10 Minuten später ab als Bernhard.
• Aussage 2: Alexander ist bis zur Begegnung mit Bernhard 30 Minuten unterwegs.
• Aussage 3: Bernhard ist bis zur Begegnung mit Alexander 20 Minuten unterwegs.
• Aussage 4: Alexander legt bis zur Begegnung mit Bernhard 9 km zurück.
• Aussage 5: Bei ihrer Begegnung sind die beiden von Bernhards Schule weiter entfernt als von Alexanders Schule.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die im gegebenen Kontext unter Beachtung der obigen Gleichung und deren Lösung zutreffend sind.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quadratische Gleichung

Für \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ist die quadratische Gleichung \({\left( {a \cdot x + 7} \right)^2}{\text{ = 25 in }}x \in {\Bbb R}\) gegeben.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie alle \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) an, für die \(x = - 4\) eine Lösung der gegebenen quadratischen Gleichung ist.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parameterdarstellung

Gegeben ist eine Gerade g mit der Parameterdarstellung

\(g:X = A + t \cdot \overrightarrow {AB} {\text{ mit }}t \in {\Bbb R}\)

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie t so, dass X = B gilt.

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Leiter

Eine Leiter lehnt an einer senkrechten Mauer. Die Leiter liegt in 6 m Hohe an der Mauer an und schließt mit der Mauer einen Winkel von 20° ein. Dieser Sachverhalt wird durch die nebenstehende (nicht maßstabgetreue) Abbildung veranschaulicht.

Bild

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Länge der Leiter.

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Geografische Breite

Die Erde hat annähernd die Gestalt einer Kugel mit dem Radius 6 370 km. In der unten stehenden Abbildung ist auf der Nordhalbkugel ein Breitenkreis visualisiert. Auf der Nordhalbkugel wird die geografische Breite φ vom Äquator nach Norden gemessen, wobei 0° ≤ φ ≤ 90° gilt.

Bild

Für den Radius r (in km) eines Breitenkreises (zur geografischen Breite φ) gilt: \(r = 6370 \cdot \cos \left( \varphi \right)\)

Aufgabenstellung
Geben Sie das kleinstmögliche Intervall W an, das alle Werte von r enthalt.
W = [ ; ]

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Eigenschaften von Funktionen

Gegeben sind vier Funktionsgleichungen der reellen Funktionen f₁ bis f₄ mit \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }{\text{ und }}b < 1\) und sechs Listen mit Eigenschaften von Funktionen.

• Liste A:
  • kein Monotoniewechsel
  • konstante Steigung
  • kein Krümmungswechsel
• Liste B:
  • genau eine lokale Extremstelle x₀
  • symmetrisch zur Geraden x = x₀
  • maximal zwei Nullstellen
• Liste C:
  • unendlich viele lokale Extremstellen
  • unendlich viele Wendestellen
  • keine Asymptote
• Liste D:
  • nur für x ∈ [0; ∞) definierbar
  • überall rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt)
  • keine lokalen Extrem- oder Wendestellen
• Liste E:
  • keine lokale Extremstelle
  • genau eine Nullstelle
  • genau eine Wendestelle
• Liste F:
  • kein Monotoniewechsel
  • die x-Achse ist Asymptote
  • kein Krümmungswechsel

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils die zugehörige Liste (aus A bis F) zu.

• Funktionsgleichung 1: \({f_1}\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
• Funktionsgleichung 2: \({f_2}\left( x \right) = a \cdot x + b\)
• Funktionsgleichung 3: \({f_3}\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
• Funktionsgleichung 4: \({f_4}\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b\)

[0 / ½ / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Verlauf des Graphen einer linearen Funktion

Gegeben ist eine lineare Funktion f mit \(f\left( x \right) = k \cdot x + d{\text{ mit }}k,d \in {\Bbb R}{\text{ und }}d \ne 0\). Die Ebene wird von den beiden Koordinatenachsen in vier Quadranten unterteilt (siehe nachstehende Skizze).

Bild

Für den Graphen von f gilt:

• Er verläuft nicht durch den 1. Quadranten.
• Er verläuft durch den 2., 3. und 4. Quadranten.

Dafür müssen bestimmte Bedingungen für k und d gelten.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die Aussage mit den entsprechenden Bedingungen an.

• Aussage 1: \(k < 0{\text{ und }}d < 0\)
• Aussage 2: \(k < 0{\text{ und }}d > 0\)
• Aussage 3: \(k > 0{\text{ und }}d < 0\)
• Aussage 4: \(k > 0{\text{ und }}d > 0\)
• Aussage 5: \(k = 0{\text{ und }}d < 0\)
• Aussage 6: \(k = 0{\text{ und }}d > 0\)

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Polynomfunktion

Zwischen dem Grad einer Polynomfunktion und der Anzahl der reellen Nullstellen, der lokalen Extremstellen und der Wendestellen besteht ein Zusammenhang.

Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

Jede Polynomfunktion _____1_____ hat _____2_____ .

• Satzteil 1.1: 4. Grades
• Satzteil 1.2: 5. Grades
• Satzteil 1.3: 6. Grades

• Satzteil 2.1: mindestens zwei verschiedene lokale Extremstellen
• Satzteil 2.2: mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen
• Satzteil 2.3: mindestens eine Wendestelle

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Halbwertszeit

Das radioaktive Isotop ¹³⁷Cs (Cäsium) hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren. Die Funktion f gibt in Abhängigkeit von der Zeit t an, wie viel Prozent der Ausgangsmenge an ¹³⁷Cs noch vorhanden sind (t in Jahren, f(t) in % der Ausgangsmenge). Die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge an ¹³⁷Cs wird als Ausgangsmenge bezeichnet.

Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem im Zeitintervall [0; 60] den Graphen von f ein.

Bild

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Winkelfunktion

Gegeben ist die Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = 3 \cdot \cos \left( x \right)\) . Diese Funktion soll in der Form \(x \mapsto a \cdot \sin \left( {x + b} \right)\) dargestellt werden, mit \(\left( {a,b \in {\Bbb R}} \right)\).

Aufgabenstellung:
Geben Sie für a und b jeweils einen passenden Wert an.

• a=
• b=

[0 / ½ / 1 Punkt]