Österreichische BHS Matura - 2022.09.20 - HTL 1

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil a 

Zur Bestimmung der Masse von Distelsamen wird eine Zufallsstichprobe von 8 Distelsamen untersucht. Die nachstehende Tabelle zeigt die Messergebnisse.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenstandardabweichung s_n-1 dieser Messergebnisse.

[0 / 1 P.]

Die Masse von Distelsamen wird als annähernd normalverteilt angenommen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie das zweiseitige 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ dieser Normalverteilung.

[0 / 1 P.]

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Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil b

Ein Distelsamen wird aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen. Für eine bestimmte Phase der Bewegung kann der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Die Schülerinnen messen für diese Phase folgende Werte:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der zugehörigen linearen Funktion auf.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
[0 / 1 P.]

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Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
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Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil c

Ein Samen einer anderen Distelart fällt aus einer bestimmten Höhe senkrecht herab. Die Geschwindigkeit dieses Distelsamens kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion v modelliert werden. Die Funktion v ist streng monoton steigend und nähert sich asymptotisch dem Wert 5 cm/s. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen dieser Funktion v.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Aussage 1: Die Beschleunigung des Distelsamens nähert sich dem Wert 0 cm/s².
• Aussage 2: Die Beschleunigung des Distelsamens zur Zeit t = 0,5 s ist größer als zur Zeit t = 1 s.
• Aussage 3: Der Distelsamen legt im Zeitintervall [0 s; 0,5 s] rund 0,75 cm zurück.
• Aussage 4: Die zugehörige Beschleunigung-Zeit-Funktion ist streng monoton steigend.
• Aussage 5: Die mittlere Beschleunigung des Distelsamens im Zeitintervall [0 s; 0,5 s] betragt rund 6 cm/s².

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Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
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Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil d

Beim Herabfallen wirken auf einen Distelsamen zu einem bestimmten Zeitpunkt die drei Kräfte

\(\overrightarrow {{F_G}} ,\,\,\overrightarrow {{F_W}} {\text{ und }}\overrightarrow {{F_L}} \)

Die nachstehende Abbildung veranschaulicht diese drei Kräfte in einem Koordinatensystem.

Abbildung fehlt

[0 / 1 P.]

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie die Koordinaten von F_L an.

Für die resultierende Kraft F_R gilt:

\(\overrightarrow {{F_R}} = \overrightarrow {{F_G}} + \,\overrightarrow {{F_W}} + \overrightarrow {{F_L}} \)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die resultierende Kraft F_R ausgehend vom Koordinatenursprung ein.
[0 / 1 P.]

Abbildung fehlt

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft F_R .

[0 / 1 P.]

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Ballonfahren – Aufgabe B_553

Teil a

Die nachstehende Abbildung zeigt die Seehöhe (Höhe über dem Meeresspiegel), in der sich ein Heißluftballon während einer bestimmten Fahrt befindet. Diese Seehöhe wird durch die Graphen der Funktionen h₁ und h₂ beschrieben.

Abbildung fehlt

Der Heißluftballon startet zur Zeit t = 0 in 240 m Seehöhe. Für die 1. Ableitung von h₁ gilt:

\({h_1}^\prime \left( t \right) = 0,09 \cdot {t^2} - 7,2 \cdot t + 108\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion h₁ auf.
[0 / 1 P.]

Nach 20 min befindet sich der Heißluftballon in 1 200 m Seehöhe und beginnt mit dem Sinkflug. Die Höhe während des Sinkflugs wird durch den Graphen der quadratischen Funktion h₂ mit

\( {h_2}\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c\)

beschrieben. Nach 30 min landet der Heißluftballon mit einer Sinkgeschwindigkeit von 10 m/min auf 240 m Seehöhe.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.

[0 / 1 / 2 P. ]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
[0 / 1 P.]

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Ballonfahren – Aufgabe B_553

Teil b

Die Form eines bestimmten Heißluftballons entsteht durch Rotation der Graphen der Funktionen f₁ und f₂ um die x-Achse (siehe nachstehende Abbildung).

Abbildung fehlt

Für die Funktion f₂ gilt:

\({f_2}\left( x \right) = \dfrac{5}{4} \cdot \sqrt { - {x^2} + 20,8 \cdot x - 50,4} \)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den maximalen Durchmesser D des Heißluftballons.
[0 / 1 P.]

Der Graph der Funktion f₁ ist die Tangente an den Graphen der Funktion f₂ im Punkt P.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f₁ auf.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie das Volumen des Heißluftballons.
[0 / 1 P.]

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Ballonfahren – Aufgabe B_553

Teil c

Bei einer bestimmten Ballonfahrt wird vom Punkt H aus der Punkt P unter dem Tiefenwinkel α und der Punkt Q unter dem Tiefenwinkel β gesehen.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Streckenlängen jeweils den zutreffenden Ausdruck zu deren Berechnung aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

• Streckenlänge b=
• Streckenlänge h=

• Berechnung A: \(a \cdot \sin \left( \beta \right)\)
• Berechnung B: \(c \cdot sin\left( \beta \right)\)
• Berechnung C: \(\dfrac{{a \cdot \sin \left( \beta \right)}}{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}\)
• Berechnung D: \(\sqrt {{a^2} + {c^2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \left( \beta \right)} \)

Gegeben sind die Winkel α = 65° und β = 23° sowie die Streckenlänge c = 2 800 m.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie h.

[0 / 1 P.]

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Tischplatte – Aufgabe B_554

Eine Tischlerei erhält die nachstehend abgebildete Skizze einer Tischplatte und erstellt dazu drei Entwürfe.

Illustration fehlt

Teil a

Der erste Entwurf für die Tischplatte ist in der unten stehenden Abbildung dargestellt. Die Begrenzungslinie der Tischplatte setzt sich aus dem Kreisbogen b mit dem Mittelpunkt M und den Strecken s₁, s₂ und c zusammen.

Illustration fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe von r und α eine Formel zur Berechnung von h auf.

h =

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Markieren Sie in der obigen Abbildung eine Strecke x, deren Länge mit der nachstehenden Formel berechnet werden kann.

\(x = \dfrac{c}{2} - \sqrt {{r^2} - {h^2}} \)

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
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Tischplatte – Aufgabe B_554

Eine Tischlerei erhält die nachstehend abgebildete Skizze einer Tischplatte und erstellt dazu drei Entwürfe.

Illustration fehlt

Teil b

Im zweiten Entwurf wird die Begrenzungslinie der Tischplatte durch die Strecke c und den Graphen der quadratischen Funktion p modelliert (siehe nachstehende Abbildung).

Illustration fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Markieren Sie in der obigen Abbildung eine Fläche, deren Inhalt durch den nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.

\(\dfrac{c}{2} \cdot p \cdot \left( {\dfrac{c}{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{c}{2}} {p\left( x \right)} \,\,dx\)

[0 / 1 P.]

S = (35 | 30) ist der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion p.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Vervollständigen Sie die nachstehende Funktionsgleichung von p durch Eintragen der fehlenden Zahlen und Rechenzeichen in die dafür vorgesehenen Kästchen.

\(p\left( x \right) = - \frac{6}{{245}} \cdot {\left( {x\boxed{}\boxed{}} \right)^2}\boxed{}\boxed{}\)

[0 / 1 P.]

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Tischplatte – Aufgabe B_554

Eine Tischlerei erhält die nachstehend abgebildete Skizze einer Tischplatte und erstellt dazu drei Entwürfe.

Illustration fehlt

Teil c

Im dritten Entwurf wird die Tischplatte durch die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion q und der x-Achse modelliert (siehe nachstehende Abbildung).

Illustration fehlt

mit:

\(q\left( x \right) = \dfrac{7}{2} \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{7} \cdot x} \right){\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 7\)

•  x, q(x) ... Koordinaten in dm

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den Inhalt A der grau markierten Fläche.
[0 / 1 P.]

Jemand ermittelt die Ableitungsfunktion q‘ und löst anschließend die nachstehende Gleichung.

\(0 = \dfrac{\pi }{2} \cdot \cos \left( {\dfrac{\pi }{7} \cdot {x_P}} \right){\text{ mit }}0 \leqslant {x_P} \leqslant 7\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beschreiben Sie die Bedeutung des Punktes

\(P = \left( {{x_P}\left| {q\left( {{x_P}} \right)} \right.} \right)\)

[0 / 1 P.]