Österreichische BHS Matura - 2022.09.20 - HTL 2

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil a 

Zur Bestimmung der Masse von Distelsamen wird eine Zufallsstichprobe von 8 Distelsamen untersucht. Die nachstehende Tabelle zeigt die Messergebnisse.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenstandardabweichung s_n-1 dieser Messergebnisse.

[0 / 1 P.]

Die Masse von Distelsamen wird als annähernd normalverteilt angenommen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie das zweiseitige 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ dieser Normalverteilung.

[0 / 1 P.]

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Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil b

Ein Distelsamen wird aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen. Für eine bestimmte Phase der Bewegung kann der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Die Schülerinnen messen für diese Phase folgende Werte:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der zugehörigen linearen Funktion auf.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
[0 / 1 P.]

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Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil c

Ein Samen einer anderen Distelart fällt aus einer bestimmten Höhe senkrecht herab. Die Geschwindigkeit dieses Distelsamens kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion v modelliert werden. Die Funktion v ist streng monoton steigend und nähert sich asymptotisch dem Wert 5 cm/s. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen dieser Funktion v.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Aussage 1: Die Beschleunigung des Distelsamens nähert sich dem Wert 0 cm/s².
• Aussage 2: Die Beschleunigung des Distelsamens zur Zeit t = 0,5 s ist größer als zur Zeit t = 1 s.
• Aussage 3: Der Distelsamen legt im Zeitintervall [0 s; 0,5 s] rund 0,75 cm zurück.
• Aussage 4: Die zugehörige Beschleunigung-Zeit-Funktion ist streng monoton steigend.
• Aussage 5: Die mittlere Beschleunigung des Distelsamens im Zeitintervall [0 s; 0,5 s] betragt rund 6 cm/s².

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Distelsamen – Aufgabe B_552

Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.

Teil d

Beim Herabfallen wirken auf einen Distelsamen zu einem bestimmten Zeitpunkt die drei Kräfte

\(\overrightarrow {{F_G}} ,\,\,\overrightarrow {{F_W}} {\text{ und }}\overrightarrow {{F_L}} \)

Die nachstehende Abbildung veranschaulicht diese drei Kräfte in einem Koordinatensystem.

Abbildung fehlt

[0 / 1 P.]

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie die Koordinaten von F_L an.

Für die resultierende Kraft F_R gilt:

\(\overrightarrow {{F_R}} = \overrightarrow {{F_G}} + \,\overrightarrow {{F_W}} + \overrightarrow {{F_L}} \)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die resultierende Kraft F_R ausgehend vom Koordinatenursprung ein.
[0 / 1 P.]

Abbildung fehlt

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft F_R .

[0 / 1 P.]

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Ballonfahren – Aufgabe B_553

Teil a

Die nachstehende Abbildung zeigt die Seehöhe (Höhe über dem Meeresspiegel), in der sich ein Heißluftballon während einer bestimmten Fahrt befindet. Diese Seehöhe wird durch die Graphen der Funktionen h₁ und h₂ beschrieben.

Abbildung fehlt

Der Heißluftballon startet zur Zeit t = 0 in 240 m Seehöhe. Für die 1. Ableitung von h₁ gilt:

\({h_1}^\prime \left( t \right) = 0,09 \cdot {t^2} - 7,2 \cdot t + 108\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion h₁ auf.
[0 / 1 P.]

Nach 20 min befindet sich der Heißluftballon in 1 200 m Seehöhe und beginnt mit dem Sinkflug. Die Höhe während des Sinkflugs wird durch den Graphen der quadratischen Funktion h₂ mit

\( {h_2}\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c\)

beschrieben. Nach 30 min landet der Heißluftballon mit einer Sinkgeschwindigkeit von 10 m/min auf 240 m Seehöhe.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.

[0 / 1 / 2 P. ]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
[0 / 1 P.]

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Ballonfahren – Aufgabe B_553

Teil b

Die Form eines bestimmten Heißluftballons entsteht durch Rotation der Graphen der Funktionen f₁ und f₂ um die x-Achse (siehe nachstehende Abbildung).

Abbildung fehlt

Für die Funktion f₂ gilt:

\({f_2}\left( x \right) = \dfrac{5}{4} \cdot \sqrt { - {x^2} + 20,8 \cdot x - 50,4} \)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den maximalen Durchmesser D des Heißluftballons.
[0 / 1 P.]

Der Graph der Funktion f₁ ist die Tangente an den Graphen der Funktion f₂ im Punkt P.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f₁ auf.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie das Volumen des Heißluftballons.
[0 / 1 P.]

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Ballonfahren – Aufgabe B_553

Teil c

Bei einer bestimmten Ballonfahrt wird vom Punkt H aus der Punkt P unter dem Tiefenwinkel α und der Punkt Q unter dem Tiefenwinkel β gesehen.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Streckenlängen jeweils den zutreffenden Ausdruck zu deren Berechnung aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

• Streckenlänge b=
• Streckenlänge h=

• Berechnung A: \(a \cdot \sin \left( \beta \right)\)
• Berechnung B: \(c \cdot sin\left( \beta \right)\)
• Berechnung C: \(\dfrac{{a \cdot \sin \left( \beta \right)}}{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}\)
• Berechnung D: \(\sqrt {{a^2} + {c^2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \left( \beta \right)} \)

Gegeben sind die Winkel α = 65° und β = 23° sowie die Streckenlänge c = 2 800 m.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie h.

[0 / 1 P.]

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Sandfang einer Kläranlage – Aufgabe B_555

In einer Kläranlage strömt das Abwasser langsam durch den sogenannten Sandfang. Dabei sinken Sand und kleine Steine auf den Boden und können somit abgeschieden werden (siehe untenstehende Abbildung).

Illustration fehlt

Teil a

In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt eines Sandfangs dargestellt.

Illustration fehlt

Die Graphen der Funktionen f und g beschreiben einen Teil des oben dargestellten Querschnitts.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 0,25 \cdot {x^4} + 1 \cr & g\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - u} \right)^4} + v \cr} \)

• x, f(x), g(x) ... Koordinaten in m
• a, u, v ... Parameter

Die Graphen der Funktionen f und g sind zueinander symmetrisch bezüglich der Senkrechten bei x = 4.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie die Werte der Parameter a, u und v der Funktion g an.

• a =
• u =
• v =

[0 / 1 P.]

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Sandfang einer Kläranlage – Aufgabe B_555

In einer Kläranlage strömt das Abwasser langsam durch den sogenannten Sandfang. Dabei sinken Sand und kleine Steine auf den Boden und können somit abgeschieden werden (siehe untenstehende Abbildung).

Illustration fehlt

Teil b

Das Abwasser durchströmt den Sandfang. Dabei sinken die im Abwasser enthaltenen Sandkörner zu Boden. In der nachstehenden Abbildung ist ein stark vereinfachtes Modell dieses Vorgangs für ein bestimmtes Sandkorn dargestellt.

Illustration fehlt

Das Sandkorn bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit vom Punkt A zum Punkt Q. Die Position X des Sandkorns zur Zeit t (in Sekunden) wird beschrieben durch:

\(X = A + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,3}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe von v_y eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.

α =

[0 / 1 P.]

Es gilt: A = (0 | 4) und Q = (15 | 0)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie v_y.
[0 / 1 P.]

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Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
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Sandfang einer Kläranlage – Aufgabe B_555

In einer Kläranlage strömt das Abwasser langsam durch den sogenannten Sandfang. Dabei sinken Sand und kleine Steine auf den Boden und können somit abgeschieden werden (siehe untenstehende Abbildung).

Illustration fehlt

Teil c

Die Sinkgeschwindigkeit eines Steinchens in einer Flüssigkeit kann modellhaft durch die nachstehende Differenzialgleichung beschrieben werden.

\(\dfrac{{dv}}{{dt}} = g - k \cdot v\)

• v(t) ≥ 0 ... Sinkgeschwindigkeit
• g, k ... positive Konstanten

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.

[0 / 1 P.]

Die Sinkgeschwindigkeit des Steinchens nähert sich dabei dem Wert v_E.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie v_E an.

v_E =

[0 / 1 P.]

Die Eigenschaften der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v und der zugehörigen Beschleunigung-Zeit-Funktion a hängen unter anderem von der Anfangsbedingung ab.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Anfangsbedingungen jeweils die zutreffende Aussage aus A bis D

zu.

[0 / 1 P.]

• Anfangsbedingung 1: \(v\left( 0 \right) = 0\)
• Anfangsbedingung 2: \(v\left( 0 \right) = \dfrac{{2 \cdot g}}{k}\)

• Aussage A: v und a sind streng monoton steigend.
• Aussage B: v ist streng monoton steigend und a ist streng monoton fallend.
• Aussage C: v und a sind streng monoton fallend.
• Aussage D: v ist streng monoton fallend und a ist streng monoton steigend.