Redaktion - Differentialrechnung - Extremwertaufgaben

Extremwertaufgabe

Ein Bauer hat 700m Gartenzaun. Er will ein Gemüsebeet mit der größtmöglichen rechteckigen Fläche einzäunen. Welche Länge l bzw. welche Breite b muss er wählen?

Extremwertaufgabe

Eine Brauerei will 330ml Bier in eine Dose abfüllen. Welche Abmessungen muss die zylinderförmige Dose haben, damit möglichst wenig Aluminium verbraucht wird?

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Extremwert 1: \(E{W_1}\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
• Extremwert 2: \(E{W_2}\left( {2\left| { - 4} \right.} \right)\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Hochpunkt: \(HP\left( {0\left| 6 \right.} \right)\)
• Punkt \(P\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
• Tangente in P hat den Anstieg: \({\rm{k = - 2}}{\rm{,5}}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Hochpunkt \(HP\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
• Wendepunkt \(WP\left( {0\left| 1 \right.} \right)\)

Gleichung der Tangente an den Graph eines Polynoms

Gesucht ist die Gleichung der Tangente gemäß \(y = kx + d\) an den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = - \dfrac{3}{8}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{8}\) an der Stelle \(x = - \dfrac{1}{3}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Extremstelle: \(EST(\dfrac{1}{3}\left| {ES{T_y}} \right.)\)
• Wendepunkt: \(WP\left( { - \dfrac{1}{3}\left| {W{P_y}} \right.} \right)\)
• Gleichung der Wendetangente: \(WT:\,y = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades:

• Wendepunkt: \({\rm{WP}}\left( { - 2\left| 0 \right.} \right)\)
• Punkt auf dem Graph: \({\rm{P}}\left( {0\left| 4 \right.} \right)\)
• Anstieg der Tangente in P: \({\rm{k = 10}}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Wendepunkt: \({\rm{WP}}\left( {4\left| y \right.} \right)\)
• Gleichung der Wendetangente: \(x + y = 8\)
• Der Graph von f(x) verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 4. Grades

• Die Funktion ist gerade, also symmetrisch zur x-Achse
• Sie hat ein lokales Maximum bei \({\rm{Max}}\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
• Sie hat einen Wendepunkt bei: \(W{P_1}(\sqrt {\dfrac{2}{3}} \left| { - \dfrac{2}{9})} \right.\)

Kurvendiskussion

Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)

• 1. Teilaufgabe: Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• 2. Teilaufgabe: Polstellen
• 3. Teilaufgabe: Lücken
• 4. Teilaufgabe: Verhalten im Unendlichen
• 5. Teilaufgabe: Gleichung der Asymptoten
• 6. Teilaufgabe: Symmetrien
• 7. Teilaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
• 8. Teilaufgabe: Berechne die 1. Ableitung
• 9. Teilaufgabe: Berechne die 2. Ableitung
• 10. Teilaufgabe: Berechne die 3. Ableitung
• 11. Teilaufgabe: Berechne die Nullstellen
• 12. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte
• 13. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte
• 14. Teilaufgabe: Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform
• 15. Teilaufgabe: Erstelle eine Wertetabelle
• 16. Teilaufgabe: Skizziere die Funktion