Gewinnfunktion
Formel
Gewinnfunktion
Der Gewinn ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten. Der Gewinn ist bei kleinen Stückzahlen zunächst negativ, wird beim Erreichen der Gewinnschwelle positiv und wird bei einer großen Stückzahl ab der Gewinngrenze wieder negativ.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Grenzgewinn
Der Grenzgewinn ist jener Gewinn, der für eine zusätzliche, marginal kleine (dx), abgesetzte Produktmenge erzielt werden kann.
\(G'\left( x \right) = \dfrac{{dG\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)
Break-Even-Point, Gewinnschwelle
Als Break-Even-Point, auch Gewinnschwelle genannt, bezeichnet man jenen Punkt an dem Kosten und Erträge gleich hoch sind. Erzielt ein Unternehmen einen höheren Ertrag liegt es in der Gewinnzone, bei einem niedrigeren Ertrag macht es Verluste.
\(\eqalign{ & G\left( x \right) = 0 \cr & E\left( x \right) = K\left( x \right) \cr} \)
Den Break-Even-Point ermittelt man, in dem man:
- die 1. Nullstelle der Gewinnfunktion ermittelt.
- als den 1. Schnittpunkt aus Erlös- und Kostenfunktion
Zur Ermittlung vom Break-Even-Point muss man
- die Fixkosten, die variablen Kosten und den Deckungsbeitrag kennen. Dividiert man die Fixkosten durch den Deckungsbeitrag erhält man die Mindestumsatzmenge.
\(\eqalign{ & x \cdot p = x \cdot {K_v} + {K_f} \cr & x = \dfrac{{{K_f}}}{{p - {K_v}}} = \dfrac{{{K_f}}}{{DB}} \cr} \)
Gewinnzone
Die Gewinnzone erhält man, wenn man G(x)=0 setzt.
- 1. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinnschwelle bzw. Break-Even-Point: Erstmals wird ein positiver Gewinn wird erzielt, sobald der Erlös die Gesamtkosten übersteigt. Die Gewinnschwelle liegt im 1. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion
- Hochpunkt der Gewinnfunktion: Gewinnmaximum Gmax: Das Gewinnmaximum wird bei jener Produktionsmenge erreicht, bei der der Hochpunkt der Gewinnfunktion liegt. Mathematisch ist das jene Stelle an der die 1. Ableitung der Gewinnfunktion ihre Nullstelle hat.
- 2. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinngrenze : Bei großen Produktionsmengen steigen die Kosten überproportional an und übertreffen die Erlöse, wodurch aus dem Gewinn ein Verlust wird. Dies ist bedingt durch den s-förmigen Verlauf der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Die Gewinngrenze liegt im 2. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.
Illustration der Gewinnzone
Cournot’scher Punkt
Der Cournot’sche Punkt ist jener Punkt auf der Gewinn-Funktion bei dem sich das Gewinnmaximum befindet. Die Gewinnfunktion ergibt sich als die Differenz von der Erlös- und der Kostenfunktion
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Man bestimmt daher die Nullstelle der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.
- x-Koordinate: Jene Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt
- y-Koordinate: Preis bei gewinnmaximaler Produktionsmenge
Anmerkung: Ein Unternehmen im Wettbewerb hat auf den Preis keinen Einfluss, es muss den Gleichgewichtspreis (Angebot und Nachfrage) als gegeben akzeptieren. Für einen Monopolisten ist der Cournot'sche Punkt jene Preis-Mengen Kombination für die der Gewinn maximal ist.
Gewinnmaximum eines Monopolisten
Der Gewinn eines Monopolisten hat bei einer linearen Preis-Absatzfunktion dann sein Maximum, wenn er die halbe Sättigungsmenge zum halben Prohibitivpreis anbietet.
\(C\left( {\dfrac{{{x_C}}}{{p\left( {{x_C}} \right)}}} \right){\text{ sodass }}G\left( x \right) = \max \)
Im Cournot’schen Punkt sind Grenzkosten und Grenzerlöse gleich.
\(K'\left( x \right) = E'\left( x \right)\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Kosten- und Preistheorie | In der Kosten- und Preistheorie versucht man Kosten, Preise sowie Erlöse und Gewinne durch einfache mathematische Funktionen zu modellieren.
|
Aktuelle Lerneinheit
Gewinnfunktion | Der Gewinn ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Erlösfunktion | Die Erlösfunktion, gibt den Erlös E (oft auch R für revenue) in Abhängigkeit von der abgesetzen Menge x bei fixiertem Verkaufspreis p an. |
Preisfunktionen von Angebot und Nachfrage | Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der nachgefragten Menge an. Die Preisfunktion des Angebots gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der angebotenen Menge an. Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotene und die nachgefragte Menge überein. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1764
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kostenfunktion
Die Gesamtkosten, die bei der Herstellung eines Produkts anfallen, können mithilfe einer differenzierbaren Kostenfunktion K modelliert werden. Dabei ordnet K der Produktionsmenge x die Kosten K(x) zu (x in Mengeneinheiten (ME), K(x) in Geldeinheiten (GE)).
Für eine Kostenfunktion \(K:\left[ {0;{x_2}} \right] \to {\Bbb R}{\text{ und }}{x_1}{\text{ mit 0 < }}{{\text{x}}_1} < {x_2}\) gelten nachstehende Bedingungen:
- K ist im Intervall [0; x2] streng monoton steigend.
- Die Fixkosten betragen 10 GE.
- Die Kostenfunktion hat im Intervall [0; x1) einen degressiven Verlauf, d. h., die Kosten steigen bei zunehmender Produktionsmenge immer schwacher.
- Bei der Produktionsmenge x1 liegt die Kostenkehre. Die Kostenkehre von K ist diejenige Stelle, ab der die Kosten immer starker steigen.
Aufgabenstellung
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Verlauf des Graphen einer solchen Kostenfunktion K.
Aufgabe 4178
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Pauliberg - Aufgabe A_067
Der Pauliberg ist Österreichs jüngster erloschener Vulkan und ein beliebtes Ausflugsziel im Burgenland.
Teil c
Unweit des Paulibergs liegt die Burgruine Landsee. Diese kann für private Veranstaltungen gemietet werden. Die Raummiete für eine Veranstaltung beträgt € 450. Zusätzlich sind pro teilnehmender Person € 1,50 zu bezahlen.
Die Gesamtkosten (in €) sollen in Abhängigkeit von der Anzahl der teilnehmenden Personen x durch eine lineare Kostenfunktion K beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Funktionsgleichung von K.
[1 Punkt]
Der Vermieter schlägt eine neue Preisgestaltung vor. Zur Veranschaulichung wurde das folgende Diagramm erstellt:
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, ab welcher Anzahl an teilnehmenden Personen die Gesamtkosten mit der neuen Preisgestaltung höher als bisher sind.
[1 Punkt]
Aufgabe 4106
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohrproduktion - Aufgabe B_089
Teil b
Die Grenzkostenfunktion K′ für die Herstellung von Kunststoffrohren ist gegeben durch:
\(K'\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{32}} \cdot {x^2} - \dfrac{{35}}{4} \cdot x + 60\)
x | produzierte Menge in ME |
K'(x) |
Grenzkosten bei der produzierten Menge x in GE/ME |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K mit K(16) = 600.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Kostenkehre.
[1 Punkt
Aufgabe 4453
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Möbel - Aufgabe B_513
Teil b
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Kostenfunktion K1 eines Betriebs bei der Produktion von Kleiderschränken dargestellt.
x |
Produktionsmenge in Stück |
K1(x) |
Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie das größtmögliche Produktionsintervall ab, in dem der Verlauf der Kostenfunktion K1 degressiv ist.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Stückkosten bei einer Produktion von 200 Stück.
[0 / 1 P.]
Die Fixkosten können um 10 % reduziert werden.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Begründen Sie, warum sich die Grenzkostenfunktion dadurch nicht ändert.
[0 / 1 P.]
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Aufgabe 4454
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Möbel - Aufgabe B_513
Teil c
Die Kostenfunktion K2 eines Betriebs bei der Produktion von Kommoden ist gegeben durch:
\({K_2}\left( x \right) = 0,001 \cdot {x^3} - 0,9 \cdot {x^2} + a \cdot x + 3000\)
x |
Produktionsmenge in Stück |
K2(x) | Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE |
Bei einer Produktion von 100 Kommoden hat der Betrieb Gesamtkosten von 35 000 GE.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Koeffizienten a der Kostenfunktion K2.
[0 / 1 P.]
2 Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie das Betriebsoptimum.
[0 / 1 P.]
Der Break-even-Point wird bei einem Verkauf von 60 Kommoden erreicht.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Preis pro Kommode bei dieser verkauften Menge.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4510
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Scheiben für PKWs - Aufgabe B_527
Ein Betrieb stellt Frontscheiben und Heckscheiben für PKWs her.
Teil b
Die variablen Kosten bei der Produktion von Heckscheiben eines bestimmten Typs können durch die Funktion Kv beschrieben werden.
\({K_v}\left( x \right) = 0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x\)
x | produzierte Menge in ME |
Kv(x) |
variable Kosten bei der produzierten Menge x in GE |
Die Fixkosten betragen 450 GE.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze.
[0 / 1 P.]
In der nebenstehenden Abbildung sind
- der Graph der Durchschnittskostenfunktion K,
- der Graph der Grenzkostenfunktion K′ und
- der Graph der variablen Durchschnittskostenfunktion Kv
dargestellt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie diejenige Größe an, die nicht aus der obigen Abbildung abgelesen werden kann.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Größe 1: Kostenkehre
- Größe 2: Fixkosten
- Größe 3: Betriebsminimum
- Größe 4: Betriebsoptimum
- Größe 5kurzfristige Preisuntergrenze
Die Preisfunktion der Nachfrage pN für Heckscheiben dieses Typs ist gegeben durch:
\({p_N}\left( x \right) = - 0,16 \cdot x + 30\)
x | nachgefragte Menge in ME |
pN(x) |
Preis bei der nachgefragten Menge x in GE/ME |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den Höchstpreis an.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Cournot’schen Preis.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 1860
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Trikots
Ein Unternehmen produziert und verkauft Trikots. Die lineare Funktion K beschreibt die Kosten K(x) in Euro in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl x. Die lineare Funktion E beschreibt den Erlös E(x) in Euro in Abhängigkeit von der verkauften Stückzahl x.
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Funktion K und der Graph der Funktion E dargestellt.
Der Schnittpunkt von K und E hat die Koordinaten (200 | 12 000) und es gilt: K(0) = 6 000.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Der Verkaufspreis eines Trikots beträgt € 60.
- Aussage 2: Die Produktion eines Trikots kostet € 25.
- Aussage 3: Wenn das Unternehmen 400 Trikots produziert und verkauft, wird ein Gewinn von € 6.000 erzielt.
- Aussage 4: Bei der Produktion fallen keine Fixkosten an.
- Aussage 5: Wenn das Unternehmen weniger als 200 Trikots produziert und verkauft, wird ein Gewinn erzielt.
Aufgabe 4350
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Betonrohre - Aufgabe B_452
Teil b
Für Betonrohre des Modells B geht man von einer kubischen Gewinnfunktion G aus.
x | Absatzmenge in ME |
G(x) | Gewinn bei der Absatzmenge x in GE |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die zutreffende Gleichung aus A bis D zu.
[2 zu 4] [1 Punkt]
- Aussage 1: Der Break-even-Point liegt bei 200 ME.
- Aussage 2: Das Gewinnmaximum liegt bei 200 ME.
- Gleichung A: G(0)=200
- Gleichung B: G(200)=0
- Gleichung C: G'(200)=0
- Gleichung D: G''(200)=0
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Aufgabe 4421
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483
Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.
Teil d
Der Grenzgewinn für den Fruchtsaft Mangomix kann durch die Funktion G′ beschrieben werden:
\(G'\left( x \right) = - 0,12 \cdot {x^2} - 4 \cdot x + 220\)
x |
Absatzmenge in hl |
G'(x) | Grenzgewinn bei der Absatzmenge x in €/hl |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie diejenige Absatzmenge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird.
[1 Punkt]
Die Fixkosten betragen 1.215 €.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Gewinnfunktion G unter Berücksichtigung der Fixkosten.
[1 Punkt]
Es soll derjenige Bereich für die Absatzmenge ermittelt werden, in dem der Gewinn mindestens 1.000 € betragt.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie diesen Bereich.
[1 Punkt]
Aufgabe 4421
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483
Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.
Teil d
Der Grenzgewinn für den Fruchtsaft Mangomix kann durch die Funktion G′ beschrieben werden:
\(G'\left( x \right) = - 0,12 \cdot {x^2} - 4 \cdot x + 220\)
x |
Absatzmenge in hl |
G'(x) | Grenzgewinn bei der Absatzmenge x in €/hl |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie diejenige Absatzmenge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird.
[1 Punkt]
Die Fixkosten betragen 1.215 €.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Gewinnfunktion G unter Berücksichtigung der Fixkosten.
[1 Punkt]
Es soll derjenige Bereich für die Absatzmenge ermittelt werden, in dem der Gewinn mindestens 1.000 € betragt.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie diesen Bereich.
[1 Punkt]
Aufgabe 1535
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schnittpunkt
Die Funktion E gibt den Erlös E(x) und die Funktion K die Kosten K(x) jeweils in Euro bezogen auf die Produktionsmenge x an. Die Produktionsmenge x wird in Mengeneinheiten (ME) angegeben. Im folgenden Koordinatensystem sind die Graphen beider Funktionen dargestellt:
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die beiden Koordinaten des Schnittpunkts S der beiden Funktionsgraphen im gegebenen Zusammenhang!
Aufgabe 1669
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kosten und Erlös
Für ein Produkt sind die Kostenfunktion K mit \(K\left( x \right) = 2 \cdot x + 4000\) und die Erlösfunktion E mit \(E\left( x \right) = 10 \cdot x\) bekannt, wobei x die Anzahl der produzierten Mengeneinheiten ist und alle produzierten Mengeneinheiten verkauft werden. Kosten und Erlös werden jeweils in Euro angegeben. Der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ist \(S = \left( {500\left| {5000} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die Koordinaten 500 und 5 000 des Schnittpunkts S im gegebenen Kontext!
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