Gängige Ableitungsfunktionen
Formel
Gängige Ableitungsfunktionen
Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x0 an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x0. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen gängiger Funktionen solle man auswendig können.
Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.
Konstante Funktion differenzieren (Faktorregel)
Die Ableitung f'(x) einer konstanten Funktion ist null, weil auch die Steigung der konstanten Funktion null ist . Der Graph jeder konstanten Funktion f(x) verläuft horizontal.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cr & f'\left( x \right) = 0 \cr}\)
Lineare Funktion differenzieren
Die Ableitung f'(x) einer linearen Funktion f(x) (das ist eine Gerade) entspricht deren Steigung. Die Steigung k einer Geraden ist über deren ganzen Verlauf konstant.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = kx + d \cr & f'\left( x \right) = k \cr}\)
Potenzfunktionen differenzieren
Potenzfunktionen werden differenziert, indem man den Exponenten n (mit samt seinem Vorzeichen) vor die Potenz setzt und indem man den Exponenten der Funktion f(x) um minus 1 reduziert.
Merksatz: "Exponent runter, Exponent minus 1, Innere Ableitung"
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)
Produkt aus einer Konstanten und einer Potenzfunktion
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot c \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)
siehe auch: Konstanten- oder Faktorregel beim Differenzieren
Potenzfunktion mit negativem Exponenten
\(\eqalign{ & f(x) = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} \cr} \)
Polynom differenzieren
Polynome werden unter Berücksichtigung der Faktor- und der Potenzregel differenziert. Bei Klammerausdrücken muss gemäß der Kettenregel auch noch die innere Ableitung als zusätzlicher Faktor angeschrieben werden.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {\left( {bx + c} \right)^n} + d \cr & f'\left( x \right) = a \cdot n \cdot b \cdot {\left( {bx + c} \right)^{n - 1}} \cr} \)
siehe auch: Kettenregel
Potenzfunktion steht im Nenner
Bei einfachen Brüchen bietet sich als Alternative zur Quotientenregel an, den Bruch in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^n}}} = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} = - n \cdot {x^{ - \left( {n + 1} \right)}} = - \dfrac{n}{{{x^{n + 1}}}} \cr} \)
Wurzelfunktionen differenzieren
Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.
Quadratwurzel
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr} \)
n-te Wurzel
\(\eqalign{ & f(x) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{n \cdot \root n \of {{x^{n - 1}}} }}{\text{ }} \cr} \)
Quadratwurzel im Nenner
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} = {x^{ - \,\,\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}{x^{ - \,\,\dfrac{3}{2}}} \cr} \)
Exponentialfunktionen differenzieren
Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mit Ihrer eigenen Ableitung f'(x) identisch ist.
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f' = {e^x} \end{array}\)
Exponentialfunktion, mit einem zusätzlichen konstanten Faktor im Exponenten
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)
Exponentialfunktionen zur beliebigen positiven Basis a
Bei der Exponetialfunktion zur beliebigen Basis a, kommt bei der Ableitung zur Funktion selbst noch der Faktor ln a dazu.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)
Logarithmusfunktionen differenzieren
Natürlicher Logarithmus
Die Ableitung der Logarithmusfunktionen ist "1 geteilt durch x".
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr}\)
Logarithmus von x zur Basis a
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln a}} = \dfrac{1}{x} \cdot {}^a\log e \cr} \)
Logarithmus mit Klammer im Numerus
Besteht der Numerus aus einer Klammer, dann ist zudem die Kettenregel anzuwenden.
\(\eqalign{ & f(x) = \ln (ax + b) \cr & f'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{\left( {ax + b} \right)}} \cr} \)
Winkelfunktionen differenzieren
Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (wie Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Im Rahmen von Kurvendiskussionen benötigt man die 1., 2. und 3. Ableitung der jeweiligen Funktion.
Sinus differenzieren
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)
Kosinus differenzieren
Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)
Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus:
Tangens differenzieren
Da tan x gleich ist mit (sin x dividiert durch cos x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (1 dividiert durch cos2x) errechnen.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \cr}\)
Kotangens differenzieren
Da cot x gleich ist mit (cos x dividiert durch sin x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (-1 dividiert durch sin2x) errechnen.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) \cr}\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Aktuelle Lerneinheit
Gängige Ableitungsfunktionen | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Gewöhnliche Differentialgleichungen | Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen der unbekannten Funktion y=y(x) bis zur n-ten Ordnung vorkommen. |
Grafisches Differenzieren | Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt |
Lineare Optimierung (Minimum-, Maximumaufgaben) | Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. |
Partielle Differentialgleichungen | Funktionen, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängen differenziert man, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.
|
Ableitungsregeln | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Spezielle Ableitungsfunktionen | Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4003
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fußballspielen im Park - Aufgabe A_250
Teil a
Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese, nimmt Anlauf und schießt. Die Flugbahn des Balls kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.
\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)
x | horizontale Entfernung des Balls von der Abschussstelle in Metern (m) |
h(x) | Höhe des Balls über dem Boden an der Stelle x in m |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen Definitionsbereich für die Funktion h. [1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn. [1 Punkt]
Aufgabe 128
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = x;\)
Bilde die Ableitungsfunktion gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
1. Teilaufgabe: f'(x)
2. Teilaufgabe: f''(x)
Aufgabe 4019
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
Teil d
Um die Unebenheit eines anderen Bodens zu ermitteln, soll der Punkt T bestimmt werden. Im Punkt T ist die Tangente an den Graphen von p parallel zur Geraden f (siehe nachstehende Skizze).
Es gilt:
\(\eqalign{ & p\left( x \right) = - 70,000 \cdot {x^4} + 150,000 \cdot {x^3} - 100,000 \cdot {x^2} + 17,000 \cdot x + 3,000 \cr & f\left( x \right) = - 4,046 \cdot x + 4,378 \cr} \)
mit:
x | horizontale Koordinate in Metern (m) |
p(x), f(x) | vertikale Koordinate in Millimetern (mm) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die x-Koordinate des Punktes T berechnet werden kann.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes T.
[1 Punkt]
Aufgabe 129
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {x^2};\)
Bilde die Ableitungsfunktion gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
1. Teilaufgabe: f'(x)
2. Teilaufgabe: f''(x)
3. Teilaufgabe: f'''(x)
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Aufgabe 130
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {x^3};\)
Bilde die Ableitungsfunktion gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
1. Teilaufgabe: f'(x)
2. Teilaufgabe: f''(x)
3. Teilaufgabe: f'''(x)
4. Teilaufgabe: f''''(x)
Aufgabe 163
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(s\left( t \right) = \sqrt {{t^2} - 16} + 12\)
s(t) ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit von der Reisezeit beschreibt, den ein Raumschiff von seinem Ausgangspunkt aus zurücklegt.
1. Teilaufgabe: Berechne durch Differenzieren die Funktion der Geschwindigkeit v(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
2. Teilaufgabe: Berechne durch Differenzieren die Funktion der Beschleunigung a(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
Aufgabe 152
Reziprokenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{1}{{2{x^4}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
1. Teilaufgabe: Wende die Reziprokenregel an
2. Teilaufgabe: Wende die Regeln zum Differenzieren von Potenzen an
Aufgabe 1163
AHS - 1_163 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsregel
Für welche der folgenden Funktionen gilt der Zusammenhang \(f'\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = k \cdot x\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = {x^{2 \cdot k}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = k \cdot \sin \left( x \right)\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = \dfrac{k}{x}\)
- Aussage 6: \(f\left( x \right) = k \cdot \sqrt x\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung an!
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Aufgabe 4495
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Carport - Aufgabe B_522
Ein Carport soll durch verschiedene Modelle beschrieben werden.
Teil a
Im Modell A wird ein Teil des Carports durch die Graphen der Funktionen f, g und h beschrieben.
(siehe nachstehende Abbildung).
Der Graph der Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x \) beschreibt zwischen den Punkten A = (0 | 0) und B den Verlauf einer Begrenzungslinie. Der Graph der Funktion h ergibt sich durch Verschiebung des Graphen der Funktion f um 1 m nach links und um 0,5 m nach unten.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie die fehlenden Zahlen und Rechenzeichen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
\(h\left( x \right) = a \cdot \sqrt {x\boxed{}\boxed{}} \boxed{\boxed{}}\boxed{}\)
[0 / 1 P.]
Der Graph der Funktion g mit \(g\left( x \right) = b \cdot \sqrt x \) beschreibt zwischen den Punkten A = (0 | 0) und E = (0,4 | –1,62) den Verlauf einer weiteren Begrenzungslinie.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Parameter b.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(h'\left( {0,1} \right) > f'\left( {0,1} \right)\)
- Aussage 2: \(f'\left( {0,1} \right) - g'\left( {0,1} \right) = 0\)
- Aussage 3: \(f'\left( 0 \right) = 1\)
- Aussage 4: \(f'\left( {0,1} \right) = h'\left( { - 0,9} \right)\)
- Aussage 5: \(g'\left( {0,4} \right) < g'\left( {0,1} \right)\)
Aufgabe 187
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {x^3} \cdot {e^{cx}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 189
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{{e^{cx}}}}{{{x^2} - 1}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Aufgabe 190
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {e^{\left( {ax} \right)}} \cdot {e^{\left( {bx} \right)}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
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