Elektrotechnik und Physik
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Kosmische Hintergrundstrahlung
Bevor sich die nach außen elektrisch neutralen Atome bildeten, war das Universum im thermischen Gleichgewicht, bei einer Temperatur von ca. 3.000 K, da es von einem elektrisch geladenen heißen Gas (Plasma aus freien Elektronen und Protonen) und von Photonen erfüllt war, die sich in der GUT Ära bei der Annihilation von Materie und Antimaterie gebildet hatten. GUT steht für Grand Unified Theory, sie vereinigt die starke und die schwache Wechselwirkung mit der elektromagnetischen Wechselwirkung. Die GUT Ära liegt zeitlich nach der Planck-Ära und vor der Inflation des Universums.
In der Epoche der Rekombination, also ca. 380.000 Jahre nach dem Urknall fangen die ionisierten Atomkerne die freien Elektronen ein und bilden Atome. Dadurch werden Strahlung und Materie entkoppelt, und die Photonen der GUT-Ära fliegen nun ungehindert durch das „durchsichtig“ gewordene Universum.
Die Strahlung die damals bei 3000 K ins Universum ausgesendet wurde, hat sich durch die zwischenzeitliche Expansion des Universums auf eine Schwarzkörperstrahlung von 2,7 K abgekühlt und wurde rotverschoben.
\(T = 2,725\,\,K\)
Die damals entstandene „kosmische Hintergrundstrahlung“ kann seit dem Jahr 1964 als Mikrowellenstrahlung gemessen werden
Obwohl die Strahlung hochgradig gleichförmig aus allen Richtungen des Universums ist, gibt es dennoch kleinste Schwankungen im Bereich von 10-6 K , deren Ursache in der unterschiedlichen Dichte des Universums in der Epoche der Rekombination gesehen wird. In Regionen aus denen die Hintergrundstrahlung geringfügig stärker ist, findet sich auch eine höhere Massendichte (Galaxien,..) als in Regionen niederer Temperatur.
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Elektrische Leistung in Drehstromsystemen
Unabhängig davon, ob Verbraucher in Stern- oder in Dreieckschaltung an ein Drehstromsystem angeschlossen sind, errechnet sich ihre Leistungsaufnahme in beiden Fällen mit den selben Formeln. Die Höhe der aufgenommenen Leistung ist bei ein und dem selben Verbraucher aber in der Sternschaltung 2/3 niedriger als in der Dreieckschaltung. Deshalb bediente man sich bei Asynchronmotoren mit hohem Anlaufstrom (Kurzschlussläufer) einer Stern-Dreiecks-Anlaufschaltung. Der Motor läuft in Sternschaltung an und nimmt nur 1/3 seiner maximalen Leistung auf und wird für den eigentlichen Betrieb in Dreiecksschaltung umgeschaltet. Heute kommen Frequenzumrichter zum Einsatz.
Wirkleistung von Drehstromsystemen
Die Wirkleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung
\(P = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \cos \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \cos \varphi \)
Blindleistung von Drehstromsystemen
Die Blindleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung
\(Q = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \sin \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)
Scheinleistung von Drehstromsystemen
Die Scheinleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung und Strangstrom bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom
\(S = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{L}}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \)
Frequenz im Wechselstromkreis
Die in Herz gemessene Frequenz gibt an, wie viele Perioden eine Wechselgröße in einer Sekunde durchläuft. Eine Periode entspricht einer positiven plus einer negativen Halbwelle einer sinusförmigen Schwingung. Die Zeit, die zum Durchlaufen einer Periode benötigt wird, nennt man die Periodendauer. In Nordamerika (Kanada, USA, Mexiko) und in wenigen andern Ländern wie Brasilien beträgt die Netzfrequenz 60Hz. Im Großteil der Welt beträgt die Netzfrequenz 50Hz.
\(f = \dfrac{1}{T}\)
f | Frequenz in Hz |
T | Schwingungs- oder Periodendauer in Sekunden |
\(\omega\) | Kreisfrequenz in 1/s |
Praktische Bedeutung der Netzfrequenz von 50 Hz
Elektrische Energie wird vorwiegend mittels Synchrongeneratoren - alternativ auch mittels Wechselrichter aus Gleichstrom etwa von Photovoltaikanlagen - erzeugt. Die Netzfrequenz beträgt in den 3 europäischen Verbundnetzen UCTE, NORDEL und IPS/UPS einheitlich 50 Hz.
Elektrische Leistung muss immer im selben Augenblick wo sie verbraucht wird auch erzeugt werden. Ist das nicht der Fall, hat das Auswirkungen auf die Netzfrequenz, was sich in der Praxis sogar in der Genauigkeit der Uhrzeit bei netzsynchronen Uhren mit bis zu 6 Minuten Anzeigeungenauigkeit niederschlagen kann.
- Übersteigt der Verbrauch kurzzeitig die Erzeugung, so sinkt die Netzfrequenz. Die fehlende Energie stammt aus der rotierenden Masse aller beteiligten Synchrongeneratoren, die so Rotationsenergie verlieren und demzufolge langsamer drehen, was wiederum zu einem Absinken der Netzfrequenz führt. Eine lokale Abweichung in Form von einem Totband von +/- 20 mHz ist zulässig, ohne dass Regelleistung eingesetzt wird.
- Im normalen Netzbetrieb darf die Frequenz um +/- 200 mHz vom Sollwert 50 Hz abweichen. Derartige Abweichungen (49,8 bzw. 50,2 Hz) werden durch den Einsatz der Primär-, Sekundär- und Tertiärregelung ausgeregelt.
- Übersteigt die Abweichung +/- 800 mHz, entsprechend 49,2 bzw. 50,8 Hz auch nur kurzfristig, werden Verbraucher oder Erzeuger abgeworfen, d.h. von Netz getrennt.
- Die größte Gefahr für ein Übertragungsnetz geht aber durch den ungeplanten Ausfall von großen Kraftwerken aus, denn sinkt die Frequenz auf unter 47,7 Hz trennen sich die Kraftwerke automatisch von Netz ab. Die Folge davon ist der Zerfall des Verbundnetzes in Inselnetze bzw. der Netzzusammenbruch.
Kreisfrequenz im Wechselstromkreis
Die Kreisfrequenz ist das 2π -fache der Frequenz. Die Kreisfrequenz \(\omega\) entspricht dem in 1 Sekunde vom einem Zeiger der Länge 1 überstrichenem Winkel. Da die Kreisfrequenz das Produkt von \(2 \cdot \pi\) und der Frequenz f ist, wird bei einer Frequenz von 50 Hz der Kreis vom zugehörigen Zeiger 50 mal pro Sekunde umlaufen.
\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
Elektromagnetische Wechselwirkung
Quantenfeld | Elektromagnetisches Feld |
Austauschteilchen - Quant | masselose Photon (trägt selbst keine elektrische Ladung) |
Ladung | Elektrische Ladung e-, e+ |
Spin - Eigendrehimpuls des Quants | s=1 - Vektorboson |
Reichweite | Unendlich, aber leicht abschirmbar |
Masse | m=0 |
Relative Stärke (im Vergleich zur starken WW) | 10-2 |
wirkt auf | Quarks, geladene Leptonen (ohne Neutrinos) und W+, W- |
Kraft | Magnetismus, Reibung, zuständig für die Bindung von Atomen zu Molekülen |
Theorie | Elektroschwache Theorie Maxwell-Gleichungen, Quantenelektrodynamik, |
Physik der Atomhülle
Die Physik der Atomhülle beschreibt das Verhalten der Elektronen in der Atomhülle und die Bildung von Molekülen
Aufbau der Atomhülle
Die Atomhülle besteht aus den bereits „fundamentalen“ also unteilbaren Elektronen e. Im elektrisch neutralen Atom ist die Anzahl der Protonen gleich der Anzahl der Elektronen.
\(e\) | \({{m_0} = 1{m_e} = 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}kg}\) | \({Q = - 1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}C}\) |
Ion
Atome haben in neutralen Zustand gleich viele Protonen im Kern wie Elektronen in der Hülle. Ionen sind elektrisch geladene Atome oder Moleküle, die ein oder mehrere Elektronen mehr oder weniger als im Neutralzustand haben.
- Anionen: Atome mit mehr Elektronen als Protonen (Elektronenüberschuss) sind elektrisch negativ geladen. Anionen bewegen sich zur Anode, dem Plus-Pol.
- Kationen: Atome mit weniger Elektronen als Protonen sind elektrisch positiv geladen. Kationen bewegen sich zur Kathode, dem Minus-Pol.
Van der Waals Kräfte
Die Van der Waals Kräfte sorgen für die Bindung zwischen Atomen und Molekülen. Es handelt sich dabei um eine Wechselwirkung zwischen nicht geladenen Teilchen, die auf der Induzierung von temporären Dipolen basiert, wodurch sich die Atome bzw. Moleküle gegenseitig (gering) anziehen.
Die van der Waals Kräfte sind sehr schwache elektrische Kräfte und nehmen mit der 6ten Potenz des Abstands ab. Sie sind also viel schwächer als andere Bindungen (Ionenbindung, kovalente Bindung). Sie treten etwa bei der Bindung zwischen Edelgasen wie He, Ne, Ar, Kr, Xe auf. Grund dafür sind die vielen Elektronen in der Hülle, die sich leichter asymmetrisch um den Kern anordnen können als bei wenigen Elektronen und die so einen temporären Dipol bilden.
- Kommen sich 2 Atome sehr nahe und dominiert die Abstoßung zwischen den beiden (negativ geladenen) Atomhüllen, dann können sich die Atomhüllen nicht durchdringen und es bleibt ein Mindestabstand zwischen den Atomen.
- Kommen sich 2 Atome sehr nahe und dominiert die Anziehung zwischen Kern1 und Hülle 2 bzw. zwischen Kern 2 und Hülle 1 so entsteht ein Molekül.
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Verschluss
Der Verschluss (Shutter) steuert die Belichtungszeit, also wie lange das Licht, welches von der Blende durch das Objektiv gelassen wurde, auf den Sensor fällt. Im Strahlengang durch die Kamera liegt der Verschluss hinter der Blende (im Objektiv) und vor dem Sensor im Kameragehäuse. Man unterscheidet zwischen mechanischem und elektronischem Verschluss.
- Beim mechanische Verschluss gibt ein erster Verschlussvorhang einen Spalt frei, durch den Licht auf den Sensor fällt. Ein zweiter Verschlussvorhang, bestimmt, wie schnell sich dieser Spalt wieder schließt und dadurch kein weiteres Licht auf den Sensor fällt, wodurch die Belichtung abgeschlossen wird.
Der zeitliche Abstand zwischen den beiden Verschlussvorhängen definiert die Belichtungszeit. Da sich beide Vorhänge in die selbe Richtung (von oben nach unten) bewegen, wird jede Pixelzeile am Sensor gleich lang belichtet. Bei der Canon EOS R3 beträgt die kürzeste mechanische Verschlusszeit 1/8000 s. - Ein elektronischer Verschluss steuert die Belichtungszeit ohne mechanische Elemente, also rein elektronisch. Unmittelbar vor der Belichtung werden die elektrischen Kreise des Sensors entladen und die Belichtungsdauer beginnt zu laufen. Nach Ablauf der Belichtungsdauer werden die elektronischen Ladungen zeilenweise einem AD-Wandler je Pixel zugeführt und anschließend in einen DRAM-Speicher umkopiert.
Der zeitliche Abstand zwischen der Entladung des Sensors und dem zeilenweisen Auslesen der Ladungen je Pixel mittels der AD-Wandler bestimmt die Belichtungszeit. Bei der Canon EOS R3 beträgt die kürzeste elektronische Verschlusszeit 1/64000 s.
Belichtungszeit vs. Auslesezeit des Sensors
Unabhängig von der für die korrekte Belichtung erforderlichen Belichtungszeit unterscheidet man
- Rolling Shutter: Ein Sensor mit 24 Megapixel beinhaltet 6.000 Pixel je Zeile, für die es je einen eigenen, also in Summe 6000, A/D Wandler gibt. D.h. alle 6.000 Spalten einer Zeile werden zeitgleich digitalisiert. Die 4.000 Zeilen, die sich untereinander befinden, werden hingegen zeitlich gestaffelt, also nacheinander digitalisiert, wodurch unabhängig von der Belichtungszeit eine Auslesezeit des Sensors entsteht. Konkret vergehen bis zu 0,05 Sekunden bzw. 1/20 Sekunde, ehe alle Pixel zwischen der ersten und der letzten Zeile des Sensors ausgelesen sind. Es vergeht zwischen dem Auslesen von tausenden Sensorzeilen also etwas Zeit, was bei schnell bewegten Motiven (Rotor eines Hubschraubers) zur Verzerrungen im Bild von eigentlich geraden Linien führt (gerades Rotorblatt erscheint gebogen). Bei einem mechanischem Verschluss kann auf Grund der Laufzeit der beiden Verschlussvorhänge ein Rolling Shutter Effekt grundsätzlich nicht vermieden werden.
- Global Shutter: Beim elektronischen Verschluss versucht man die Auslesezeit des Sensors zwischen der ersten und der letzten Pixelreihe zu minimieren. Der Idealfall wäre es, wenn die Bildinformation aller Pixelzeilen auf einmal (ohne zeilenweiser Zeitverzögerung) ausgelesen werden könnten, etwa weil der Sensor einen A/D Wandler für jedes Pixel, egal in welcher Zeile oder Spalte es sich am Sensor befindet, hat. Dieses Vorhaben multipliziert aber die Anzahl der Verdrahtungen der A/D Wandler x-tausendfach, nämlich 1:1 mit der Anzahl der Pixel-Zeilen. Beim Ausbleiben einer Auslesezeit spricht man vom Global oder Total Shutter, wodurch auch die oben beschriebenen Verzerrungen von schnell bewegten Motiven nicht auftreten.
Belichtungszeit bzw. Verschlusszeit
Die Belichtungszeit ist jene Zeitspanne, während der das Licht vom Motiv kommend durch das Objektiv auf den Sensor bzw. den Film im Kameragehäuse fällt. Diese Zeitspanne wird in Sekunden bzw. Sekundenbruchteilen gemessen und durch einen Verschluss gesteuert. Übliche Belichtungszeiten liegen zwischen 30 Sekunden und 1/64.000 Sekunde:
Die Belichtungszeitenreihe im Abstand von einem Lichtwert lautet: 30s, 15s, 8s, 4s, 2s, 1s, 1/2s,1/4s, 1/8s, 1/15s, 1/30s, 1/60s, 1/120s, 1/250s, 1/500s, 1/1000s, 1/2000s, 1/4000s, 1/8000s. Halbiert man die Belichtungszeit, so fällt auch nur mehr halb so viel Licht auf den Sensor.
Damit kein verwackeltes Bild entsteht muss die Verschlusszeit an die Brennweite des Objektivs und an die Geschwindigkeit der Bewegung des Motivs angepasst werden.
- Lange Brennweite → kurze Belichtungszeit; Faustformel: Belichtungszeit = 1 / Brennweite
- Schnelle Bewegung des Motivs → kurze Belichtungszeit
Rolling Shutter vs. Global Shutter
Unterscheidungsmerkmale elektrischer Maschinen
Vorab eine Mindmap zu den Inhalten dieser Mikro-Lerneinheit
Elektrischen Maschinen basieren auf der magnetischen Kopplung zweier getrennter mechanischer Hauptelemente (Rotor, Stator bzw. Trafoschenkel). Sie spielen eine entscheidende Rolle in verschiedenen Anwendungen, von Industriemaschinen bis hin zu Haushaltsgeräten.
Elektrische Maschinen lassen sich in folgende Gruppen einteilen:
Art der Bewegung
- rotierende Maschinen, das trifft auf die gängigen Generatoren und Motoren zu.
- Linearmaschinen, das sind asynchrone Motoren, deren Ständer nicht ringförmig, sondern schienenförmig aufgebaut ist. Sie werden speziell in der Fördertechnik eingesetzt.
- feststehende Maschinen, das trifft auf die Transformatoren zu.
Synchronität zur Netzfrequenz
Entkoppelt von der Netzfrequenz
- Gleichstrommaschine
deren Rotor sich im Erreger-Gleichfeld dreht. Durch die Drehung des Rotors entsteht in dessen Ankerspulen eine Wechselspannung, welche über einen Kommutator (Stromwender) gleichgerichtet wird. Gleichstrommaschinen werden aufgrund ihrer hohen Drehzahlregelung und ihres guten Anfahrverhaltens häufig im Motorbetrieb in Elektrofahrzeugen wie Straßenbahnen, U-Bahnen und Elektroautos eingesetzt. - Asynchronmaschine
deren Rotor sich im Erreger Drehfeld dreht, welches vom Stator ausgehend synchron mit dem Netz umläuft. Der Rotor dreht sich mit einer Drehzahl zwischen Null (Stillstand) und netzsynchron (Leerlauf). Belastet man den Rotor mechanisch im Motorbetrieb, so bleibt der Rotor mit zunehmender Last zunehmend hinter dem Drehfeld zurück. Die Differenz-Drehzahl wird als Schlupf bezeichnet. Die Nenndrehzahl des Drehstrommotors liegt bei etwa 1% .. 6% unterhalb der synchronen Drehzahl, also der des speisenden Netzes. Asynchronmaschinen werden überwiegend im Motorbetrieb aufgrund ihrer einfachen Konstruktion, Robustheit und Wartungsfreundlichkeit in der Industrie eingesetzt.
Synchron zur Netzfrequenz
- Synchronmaschine
es gibt keinen Schlupf. Sie läuft netzsynchron und wird daher vorwiegend als Drehstrom-Generator eingesetzt, der absolut exakt netzsynchron laufen muss. - Trafo
auf der Primär- und Sekundärseite herrscht die Netzfrequenz.
Art der Energieumwandlung
mechanisch auf elektrisch: Generatorbetrieb
wenn Wasser nach einem Gefälle oder Dampf nach einem Heizkessel über die Schaufeln eine Turbine strömt, wodurch sich die Turbine dreht. Über eine Kupplung, also mechanisch, überträgt die Turbine diese Drehbewegung auf den Rotor eines Synchrongenerators. Dessen gleichstromerregte Läuferspule induziert dann eine Spannung in den Stator, der seinerseits in ein Netz einspeist und dort zugeschaltete elektrische Lasten (Motoren) mit elektrischer Energie versorgt.
Die Leistungsobergrenze für Generatoren liegt hier bei 1000 MW, bei einer Generatorspannung von bis zu 27 kV und einer Drehzahl von 1500 min-1 oder 3000 min-1.
\({P_{mech}} = 2 \cdot \pi \cdot n \cdot M \approx {P_{el}} = m \cdot U \cdot I \cdot {g_1} \cdot \cos \left( \varphi \right)\)
\(\eta = \dfrac{{{P_2}}}{{{P_1}}}\)
- M mechanisches Drehmoment
- n Drehzahl der Welle
- m Strangzahl; m=1 Gleichstrommaschine
- g1 Grundschwingungsgehalt
- \(\varphi \) Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung
- \(\eta \) Wirkungsgrad
elektrisch auf mechanisch: Motorbetrieb
wenn Strom aus einem speisenden Netz durch eine Erregerwicklung fließt und sich der Rotor des Motors im Erregerfeld dreht. Der drehende Rotor kann dadurch mechanische Arbeit verrichten.
Gängige Leistungen für Asynchronmotoren gehen bis 1000 kW, die Leistungsobergrenze liegt bei 30 MW.
elektrisch auf elektrisch: Transformator
wenn eine Primär- auf eine Sekundärspannung gewandelt wird, wobei die Leistung auf beiden Seiten des Trafos – abgesehen von den unvermeidlichen, aber sehr niederen (1%) Trafoverlusten – gleich hoch ist.
Zwei Wicklungen, die denselben Eisenkern umfassen werden vom selben magnetischen Wechselfluss durchflossen.
- Dabei verhalten sich die beiden Klemmenspannungen auf der Primär- und auf der Sekundärseite proportional zu den jeweiligen Windungszahlen,
- während sich die Ströme indirekt proportional dazu verhalten. Durch den niedrigeren Strom (bei höherer Spannung) sinken die Leitungsverluste, das ist der entscheidende Vorteil von Drehstrom gegenüber von Gleichstrom!
\(\dfrac{{{N_P}}}{{{N_S}}} = \dfrac{{{u_P}}}{{{u_S}}} = \dfrac{{{i_S}}}{{{i_P}}}\)
Die Leistungsobergrenze liegt hier bei 1500 MW, deren Gewicht bei 450 t, jedoch noch ohne Ölfüllung.
Art von Strom und Spannung
- Gleichstrommaschine
- Einphasen- bzw. Wechselstrommaschine
- Mehrphasen- speziell (3-Phasen) Drehstrommaschinen
Lage der Erregerspule bei rotierenden Maschinen
- Innenpolmaschine: Die Spulen oder Permanentmagnete welche das Erregerfeld verursachen befinden sich am Läufer
- Synchronmaschine
- Außenpolmaschine: Die Spulen oder Permanentmagnete welche das Erregerfeld verursachen, befinden sich am Stator
- Gleichstrommaschine
- Asynchronmaschine
Art der Erregung
- Von Selbsterregung spricht man, wenn die Erregung und somit das Erreger- oder Hauptfeld durch einen Strom entsteht, den die Maschine selbst liefert.
- Von Eigenerregung spricht man, wenn die Antriebsleistung für den Generator und für die zu erregende Maschine, von der selben Turbine geliefert wird.
- Von Fremderregung spricht man, wenn die zu erregende Maschine, von einer von ihr unabhängigen Stromquelle gespeist wird.
Art des Erregerfeldes
Maschinen, deren Erregerfeld ein Gleichfeld ist. Dieses Wirkungsprinzip kommt für
- Gleichstrommaschinen
- Einphasen-Reihenschluss-Universalmotoren, können mit Gleich- aber auch mit Wechselstrom gespeist werden, da auf Grund der Serienschaltung, Anker und Erregerstrom gleichphasig sind.
zur Anwendung.
Maschinen, deren Erregerfeld ein Drehfeld ist. Dieses Wirkungsprinzip kommt für
- Bürstenlose Gleichstrommaschinen
- Synchronmaschinen
- Asynchronmaschinen
- Transformatoren
zur Anwendung.
Ursprung des Magnetfeldes
Magnetisch Felder besitzen im Unterschied zu elektrischen Feldern keine Quellen (Anfang einer Feldlinie) bzw. Senken (Ende einer Feldlinie), sondern sie sind Wirbelfelder. Dies beschreibt in der Elektrodynamik die 2. Maxwellgleichung, also das Gaußsche Gesetz für magnetische Felder, wie folgt mathematisch:
\(div\overrightarrow B = 0\)
Magnetische Feldlinien zeigen den Verlauf des Feldes, wobei magnetische Feldlinien immer geschlossen sind oder sie winden sich unendlich, ohne in sich zurückzulaufen, man spricht daher von einem sogenannten Wirbelfeld.
Ein Magnet hat zwei Pole, den Nordpol und den Südpol. Die magnetischen Feldlinien verlaufen außerhalb des Magneten vom Nordpol zum Südpol und schneiden einander nicht. Im Inneren eines Magneten verlaufen die Feldlinien dagegen von Südpol zum Nordpol. Die Polstärke \(\overrightarrow p \) gibt die Stärke und die Orientierung der beiden Pole eines Magneten an.
In elektrischen Maschinen haben Magnetfelder folgenden Ursprung
- Permanentmagnete: In Dauermagneten fließen diese das Magnetfeld verursachenden Ströme in Form von bewegten Elektronen auf atomarer Ebene.
- Stromfluss durch einen Leiter bzw. eine Wicklung: Die Spule kann auf einem mechanisch pilzförmig ausgeprägten Pol, bestehend aus Polkern und Polschuh sitzen oder als Wicklung eingebettet in Nuten vom Rotor oder Stator liegen. Die magnetische Durchflutung einer Spule ergibt sich aus Strom mal Windungszahl.
Die magnetische Durchflutung \(\Theta \) "Theta" dient zur Berechnung einer, durch einen elektrischen Strom erzeugten, magnetischen Feldstärke.
\(\Theta = \oint\limits_s H \,\,d\overrightarrow s = {U_m} = \sum\limits_k {{I_k}} = I \cdot n\)
In elektrischen Maschinen kommen Wicklungen zur Erzeugung eines Gleichfeldes oder Wicklungen zur Erzeugung eines Drehfeldes zur Anwendung.
Polpaarzahl
Leistungsstärkere Maschinen haben nicht nur 2 Hauptpole, sondern verteilt am Ankerumfang p Polpaare, wobei „p“ die Polpaarzahl ist. Ein Polpaar besteht aus einem Nord- und einem Südpol.
- Die Polpaarzahl beeinflusst die Drehzahl, das Drehmoment und die Höhe der induzierten Spannung.
Polteilung
Die Polteilung ist das Maß für den Abstand zwischen zwei Polen. Die Polteilung ergibt sich als Quotient aus Ankerumfang und Polpaarzahl.
Art der Wicklung
Anzahl der Windungen
- Stabwicklung
Eine Windung je Spule - Spulenwicklung
Mehrere Windungen je Spule. Jede Spulenseite hat so viele Drähte, wie die Spule Windungen hat.
Anzahl der untereinander liegenden Spulenseiten je Nut
- Einschichtwicklung
In der Nut wird nur eine Spulenseite platziert - Mehrschichtwicklung
In der Nut werden mehrere Spulenseiten untereinander platziert. Bei der häufig anzutreffenden Zweischichtwicklung spricht man von Oberschicht (zum Luftspalt hin) und Unterschicht (zum Nutgrund hin).
Serienschaltung abhängig von der Lage unter den Polen bei Gleichstrommaschinen
- Schleifenwicklung
Die unter einem Polpaar aufeinander folgenden Spulen werden zusammengeschaltet. Für mittlere bis große oder schnell laufende Maschinen. - Wellenwicklung
Die unter aufeinander folgenden Polpaaren aufeinander folgenden Spulen werden zusammengeschaltet. Für kleinere bis mittlere oder langsam laufende Maschinen.
Anzahl der Nuten je Pol und Strang (als Lochzahl bezeichnet) bei Drehstrommaschinen
- Ganzlochwicklung
Die Anzahl der Nuten (Q) ist ein ganzzahliges Vielfaches vom Produkt aus der Anzahl der Pole (2p) und der Anzahl der Phasen (m=3)
\(q = \dfrac{Q}{{2p \cdot m}}{\text{ mit q}} \in {\Bbb N}\) - Bruchlochwicklung
Die Anzahl der Nuten (Q) ist kein ein ganzzahliges Vielfaches vom Produkt aus der Anzahl der Pole (2p) und der Anzahl der Phasen (m=3).
\(q = \dfrac{Q}{{2p \cdot m}}{\text{ mit q}} \in \left( {{{\Bbb Q}^ + }\backslash {\Bbb N}} \right)\)
Art der Erzeugung des Drehfeldes
- Drehfeld wird durch Gleichströme erzeugt
- Drehfeld wird durch 3 um 120° phasenverschobene Wechselströme erzeugt
Art des Betriebspunkts
Leerlauf
Die Maschine läuft ohne Last, dh sie verrichtet keine mechanische Arbeit. Der Verbrauch der Maschine dient nur zur Deckung der Verluste
stationärer Betriebszustand
Drehzahl und Stromaufnahme sind konstant
Untererregung, bzw, induktives Verhalten, Polradspannung kleiner als Statorspannung
Die Erregung reicht nicht aus, damit die Maschine die volle Leistung bzw. das erforderliche Drehmoment erbringen kann; Instabiler Betriebszustand.
Übererregung, bzw. kapazitives Verhalten, Polradspannung überstiegt Statorspannung
Die Erregung ist zu hoch, die magnetischen Kreise gehen in Sättigung. Gefahr der Beschädigung.
Kurzschluss
Auf Grund der kurzgeschlossenen Klemmen fließt ein maximaler Strom der nur durch den Innenwiderstand der Maschine begrenzt ist, mit entsprechend hoher Leistungsaufnahme. Die Gefahr der Überhitzung macht eine Notabschaltung erforderlich.
Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise
In realen Wechselstromkreisen kommen ohmsche, kapazitive und induktive Widerstände zusammen vor. Da die zugehörigen Ströme und Spannungen eine Phasenverschiebung zu einander aufweisen, hat die sich daraus ergebende Impedanz, der sogenannte Scheinwiderstand, einen Real- und einen Imaginäranteil. Der Scheinwiderstand (Impedanz Z) ist dabei die geometrische Summe aus dem ohmschen bzw. Wirkwiderstandsanteil (Resistanz R) und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand (Reaktanz X).
\(\overrightarrow u = \overrightarrow Z \cdot \overrightarrow i \) | komplexes ohmsches Gesetz für Ströme und Spannungen mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit in linearen Netzwerken |
\(u\left( t \right) = {U_0} \cdot {e^{j\omega t}}\) | komplexe Spannung |
\({\text{i}}\left( t \right) = {I_0} \cdot {e^{j\left( {\omega t - \varphi } \right)}}\) | komplexe Stromstärke |
\(\overrightarrow Z = {Z_0} \cdot {e^{j\varphi }} = R + jX\) | komplexer Scheinwiderstand = Summe aus komplexem Wirk- und Blindwiderstand |
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Der ohmsche Widerstand R im Wechselstromkreis ist unabhängig von der Frequenz und verursacht keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Der ohmsche Widerstand geht vollständig in den Realteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\(R = \dfrac{U}{I}\)
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein ohmschen Stromkreis
Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
Der kapazitive Blindwiderstand XC im Wechselstromkreis ist indirekt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung vorauseilt. Die Höhe vom kapazitiven Widerstand XC eines Kondensators im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform des Kondensators und von der Frequenz des Wechselstroms. Zufolge einer 50 Hz Wechselspannung wird ein Kondensator in einer Sekunde 50 mal jeweils aufgeladen, entladen, mit entgegengesetzter Polung aufgeladen und wieder entladen. Der kapazitive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\({X_C} = \dfrac{1}{{\omega \cdot C}} = \dfrac{1}{{2\pi f \cdot C}} \to \overrightarrow Z = - j\dfrac{1}{{\omega \cdot C}}\)
Ein idealer Kondensator \(\left( {R = \infty } \right)\) stellt einen rein kapazitiven Blindwiderstand X dar. Während ein Kondensator im Gleichstromkreis wie eine Leitungsunterbrechung wirkt, lässt er im Wechselstromkreis einen reinen Blindstrom durch, da er sich periodisch lädt und entlädt. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung vorauseilt. Da sich die Spannung am stärksten in ihrem Nulldurchgang ändert, hat zeitgleich der Strom sein Maximum.
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein kapazitiven Stromkreis
Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis
Der induktive Blindwiderstand XL im Wechselstromkreis ist direkt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung nacheilt. Die Höhe vom induktive Widerstand XL einer Spule im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform der Spule (L) und von der Frequenz f des Wechselstroms. Zufolge eines 50 Hz Wechselstroms wird in einer Spule in einer Sekunde 50 mal durch Selbstinduktion ein magnetisches Feld auf und wieder abgebaut, mit entegengesetzer Richtung wieder aufgebaut und erneut abgebaut. Der induktive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\({X_L} = \omega \cdot L = 2\pi f \cdot L \to \overrightarrow Z = j \cdot \omega \cdot L\)
Eine ideale Spule (R=0) stellt einen rein induktiven Blindwiderstand X dar. Während eine Spule im Gleichstromkreis wie ein Kurzschluss wirkt, speichert und entlädt sie im Wechselstromkreis elektrische Energie ohne dabei Wirkleistung zu erbringen. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung nacheilt. Die Selbstinduktion der Spule verzögert nämlich den Stromfluss.
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein induktiven Stromkreis
Elektrische Spannung
Elektrische Spannung entsteht, wenn positive und negative Ladungen von einander getrennt vorliegen. Die elektrische Spannung U entspricht der Arbeit W, die zur Verschiebung (Trennung) der Ladung Q erforderlich ist. Die elektrische Spannung ist also ein Energiezustand, der zwischen ungleichen Potentialen von Ladungen besteht. Verbindet man die von einander getrennten positiven und negativen Ladungen durch einen elektrischen Leiter, so ist die Spannung die Ursache für einen (Ausgleichs)strom.
zeitunabhängige Darstellung (Großbuchstaben)
\(U = \dfrac{W}{Q}\)
zeitabhängige Darstellung (Kleinbuchstaben)
\(u\left( t \right) = \dfrac{{dw}}{{dq}}\)
\(U\) | Spannung in V |
\( \varphi\) | elektrisches Potential in V - gegen Bezugspunkt (Erde) |
\(W\) | Arbeit |
\(Q\) | Ladung |
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Schwache Wechselwirkung
Quantenfeld | Schwaches Kernfeld |
Austauschteilchen - Quant | W+, W- und Z0massetragende Bosonen (tragen selbst auch den schwachen Isospin) |
Ladung | Schwacher Isospin (up, down) |
Spin - Eigendrehimpuls des Quants | s=1 - Vektorboson |
Reichweite | < 10-18 m |
Masse | m=80/80/91 GeV/c2 |
Relative Stärke (im Vergleich zur starken WW) | 10-15 |
wirkt auf | Quarks, Leptonen Neutrinos sowie auf W+, W- und Z0 und Higgs Bosonen |
Kraft | Kann keine „gebundenen“ Zustände erzeugen, sondern führt zum radioaktivem Betazerfall. Fusioniert zwei Wasserstoffprotonen im Schnitt nach 14.109 Jahre (=Lebensdauer der Sonne) zu einem Deuteriumkern |
Theorie | Elektroschwache Theorie |
Die Bezeichnung „schwache“ Wechselwirkung sollte eigentlich „relativ seltene“ Wechselwirkung heißen. Da sich dabei die schwach wechselwirkenden Teilchen sehr nahe kommen müssen, kommt es nur sehr selten zum Beta Zerfall und damit zum Zerfall von gewöhnlicher Materie.
\(\eqalign{ & {}_0^1n \to {}_1^1p + {e^ - } + {\overline \nu _e} \cr & {}_1^1p \to {}_0^1n + {e^ + } + {\overline \nu _e} \cr} \)
Die schwache Wechselwirkung ist für den Beta Zerfall von Neutronen verantwortlich, bei dem ein Neutron in ein Proton und ein Elektron zerfällt.
Da das Neutron aus 2 Stk. d-Quarks und 1 Stk u-Quark besteht und das resultierende Proton aus 1 Stk d-Quark und 2 Stk u-Quarks besteht, muss sich ein d-Quark in ein u-Quark umwandeln. D.h. die schwache Wechselwirkung ist in der Lage die Natur der Quarks zu verändern. Die schwache Wechselwirkung hat Einfluss auf die elektrischen Eigenschaften eines Teilchens, da sie deren elektrische Ladung verändern kann. Daher sind die schwache und die elektromagnetische Wechselwirkung nicht unabhängig voneinander und wurden 1964 zur „elektroschwachen Wechselwirkung“ zusammengefasst.
W+ und W- Bosonen
Die schwache Wechselwirkung wird durch den Austausch von W Bosonen, die den schwachen Isospin als Ladung tragen bewirkt und durch die SU(2) genannte Eichgruppe beschrieben.
Das W- Boson ist das Antiteilchen vom W+ Boson. Der schwache Isospin kann nur 2 Zustände annehmen: „Up“ und „Down“. Die Emission oder Absorption eines W-Bosons ändert den Isospin des Teilchens. Die W und Z Bosonen sind die einzigen Austauschteilchen die Masse besitzen. Der Grund dafür ist, dass die Ladung des Higgs-Feldes ebenfalls der schwache Isospin ist, genauso wie für die schwache Wechselwirkung.
Z0 Bosonen
Z Bosonen sind ebenso wie die beiden W Bosonen Träger der schwachen Wechselwirkung. Sie haben Spin 1. Die Emission oder die Absorption von Z0 Bosonen ändert die Natur eines Teilchens nicht, Neutrinos können aber mit Hilfe der Z-Bosonen mit einander wechselwirken. Da Neutrinos elektrisch neutral sind, können sie nicht elektromagnetisch bzw. über Photonen mit einander wechselwirken, sondern nur über das elektrisch neutrale Z-Boson. Z-Bosonen sind sehr schwer, haben daher nur eine kurze Lebensdauer von 3*10-25 Sekunden und können in dieser kurzen Zeit nur sehr kleine Entferungen zurücklegen.
Physik des Atomkerns
Die Kernphysik beschreibt das Verhalten der Kernteilchen, also der Protonen und der Neutronen, bwz. der Quarks, aus denen sich die Nukleonen zusammensetzen.
Aufbau des Atomkerns
Jeder Atomkern besteht aus Protonen p und Neutronen n, die man zusammen als Baryonen bezeichnet. Baryonen haben eine innere Struktur (d.h. sie bestehen jeweils aus 3 Quarks, erst diese sind fundamental). Protonen und Neutronen sind daher - im Unterschied zu den Elektronen der Hülle - keine Elementarteilchen.
p | \({{m_0} = 1836 \cdot {m_e}}\) | 1,007 276 466 58 u |
n | \({{m_0} = 1839 \cdot {m_e}}\) | 1,008 664 915 95 u |
e | 0,000 548 579 90 u |
u = Atomare Masseneinheit
Nukleonenzahl oder Massenzahl A
Unter der Nukleonenzahl A, auch Massenzahl genannt, versteht man die Summe der Protonen Z und der Neutronen N im Atomkern.
A = Z + N
Die Bindungsenergie pro Nukleon hat ihr Maximum bei A=56. Das entspricht dem Element Eisen, welches 30 Neutronen und 26 Protonen hat.
Protonenzahl oder Ordnungszahl Z
Ein Element hat immer eine fixe Anzahl Z an Protonen, kann aber unterschiedlich viele Neutronen N - und somit unterschiedliche Massenzahlen A=Z+N haben - man spricht dann von Isotopen.
\({}_Z^AElement = Element\)
Massendefekt
Die Masse eines Atomkerns ist um den Massendefekt geringer, als die Summe der Masse seiner Protonen und Neutronen, da zu deren Bindung im Kern eine Bindungsenergie erforderlich ist. Die entsprechende Wechselwirkung ist die starke Wechselwirkung, die eine Reichweite von ca. 3.10-15 m hat..
\(\Delta m = \left( {Z \cdot {m_p} + N \cdot {m_n}} \right) - {m_{Kern}}\)
Fusion von Atomkernen
Bei der Fusion von Atomkernen die zusammen eine kleinere Massenzahl als Eisen (bzw. Nickel-62) haben, wird Bindungsenergie frei, es handelt sich also um einen exothermen Prozess. Bei Verbindung zu schwereren Kernen müsste man Energie aufwenden. Das ist der Grund, warum der Fusionsprozess im Inneren von Sonnen, der sogenannten Nuklearsynthese, von Wasserstoff über Deuterium, Helium, Lithium, Beryllium, Kohlenstoff und Sauerstoff bis zum Eisen bzw. Nickel verläuft. Schwerere Elemente (z.B. Gold) werden erst im kurzen Augenblick der Explosion von Sonnen gebildet, bei denen die Hälfte der Masse ins Universum geschleudert wird, während die andere Hälfte der Sonnenmasse kollabiert.
Kernbindungsenergie
Die Kernbindungsenergie ist jene Energie die frei wird, wenn sich Z freie Protonen und N freie Neutronen zu einem Kern verbinden.
\({E_B} = \Delta m \cdot {c^2} = \left[ {\left( {Z \cdot {m_p} + N \cdot {m_n}} \right) - {m_{Kern}}} \right] \cdot {c^2}\)
Bei der Kernfusion verbinden sich zwei leichte Atomkerne zu einem schwereren Atomkern. Wenn 2 leichte Atomkerne zu einem schwereren Atomkern unter extremen Druck und unter extremer Temperatur (im Inneren der Sonne, im Fusionsreaktor) verschmelzen wird die Kernbindungsenergie frei. Dieser exotherme Prozess hat bei den Elementen Eisen bzw. Nickel sein Ende. D.h. schwerere Elemente (wie Gold) werden in Sonnen nicht "gebrannt". Sie entstehen erst, wenn die Sonne explodiert.
Ein Beispiel: 1 Deuteriumkern und 1 Tritiumkern verschmelzen zu 1 Heliumkern und 1 freien Neutron unter Freisetzung von 3,5+14,1 MeV Energie.
\({}^2H + {}^3H \to {}^4He + 3,5\,\,MeV + n + 14,1\,\,MeV\)
Fission von Atomkernen
Bei der Fission (Spaltung) von Atomkernen, wird ab einer Massenzahl von über 120 Bindungsenergie frei, wenn ein schwerer Kern in 2 leichtere Kerne gespaltet wird. Die Kernspaltung verläuft i.A. nicht symmetrisch, d.h. die Spaltprodukte haben unterschiedliche Massenzahl. Der Prozess der Kernspaltung wird durch Neutronenbeschuss ausgelöst, wobei das Neutron eingefangen wird. Bei der Kernspaltung entstehen aber wieder freie Neutronen, die erneut eingefangen werden können. Das Verhältniss von eingefangenen zu abgegebenen Neutronen entscheidet, ob der Prozess der Kernspaltung erlischt, konstant verläuft oder ob eine Kettenreaktion in Gang gesetzt wird. Spaltbares Uran 235U kommt im natürlichen Uran nur zu 0,72% vor, der Rest ist nicht spaltbares 238U.
- In Schwerwasser- und Graphitmoderierten Atomreaktoren kann Natururan zum Einsatz kommen.
- Für Leichtwasserreaktoren (Druck- oder Siedewasser) erfolgt eine 235U Anreicherung auf 3% .. 5%. Dieser Reaktortyp erzeugt ca. 90% der weltweiten Kernenergie.
- Für Atombomben erfolgt eine 235U Anreicherung auf über 85%.
Kernspaltungsenergie
Die bei der Kernspaltung eines schweren Atomkerns in mehrere leichte Atomkerne freigesetzte Energie entspricht der Differenz der Bindungsenergien der beteiligten Kerne.
\({}_{92}^{235}U + {}_0^1n \to {}_{36}^{89}Kr + {}_{56}^{144}Ba + 3 \cdot {}_0^1n + 210\,\,MeV\)
Gravitation
Anziehungskraft gemäß Newton
Die Anziehungskraft zwischen 2 Körpern ist direkt proportional zu ihren Massen m1 und m2 und indirekt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Die Gravitationskraft wirkt immer so, dass sich die beiden Massen anziehen. D.h. Massen können sich nicht abstossen, was elektrische Ladungen, mittels der Coulomb‘schen Kraft, sehr wohl können.
\(\overrightarrow F = \overrightarrow G \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)
\({\text{Einheit}} = kg \cdot \dfrac{m}{{{s^2}}}\)
Gravitationskonstante
Die – sehr kleine – Gravitationskonstante bestimmt, wie groß die Kräfte sind, mit der sich Massen gegenseitig anziehen. Sie ist eine Naturkonstante.
\(G = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\dfrac{{N{m^2}}}{{k{g^2}}}\)
Gravitation gemäß Einstein
Die allgemeine Relativitätstheorie besagt, dass Masse und Energie den Raum krümmen und über diese Raumkrümmung die Bewegung anderer Massen beeinflussen. Zufolge starker Beschleunigung zweier Massen, wie sie beim Zusammenstoß zweier Schwarzer Löcher auftreten, beginnt die Raumkrümmung zu vibrieren und sogenannte Gravitationswellen entstehen.
Die Gravitationskraft entzieht sich bis heute einer Beschreibung in der Quantenfeldtheorie. Ein Austauschteilchen, das postulierte (!) Graviton, das die Schwerkraft vermitteln würde, ist noch nicht gefunden worden. Es scheint auch kein Anti-Teilchen zum Graviton zu geben. Auch scheint es möglich, dass die Gravitation keinen (!) „kleinsten“ Wert annehmen, also beliebig klein werden kann und daher nicht quantisierbar ist. Gravitationen addieren sich grundsätzlich immer, umgekehrt ausgedrückt: Sie kompensieren sich nie gegenseitig.
Neue Erkenntnisse zur dunklen Energie stellen obige Grundsätze durchaus in Frage.
Gravitationswellen
Die Allgemeine Relativitätstheorie besagt, dass Massen und Energien den Raum krümmen und über diese Raumkrümmung die Bewegung anderer Massen beeinflussen. Alle beschleunigten Massen sind Quellen von Gravitationswellen indem sie die Raumzeit stauchen und strecken. Sie sind eine Verzerrung der Geometrie des Raumes mit einer Amplitude kleiner als der Durchmesser eines Atomkerns.
Vor der Allgemeinen Relativitätstheorie ging man davon aus, dass die Anziehungskraft zwischen 2 Massen ohne jedem Zeitverzug, also unendlich schnell, wirkt, gleichgültig wie weit die Massen von einander entfernt sind. Die von der ART vorausgesagten Gravitationswellen krümmen, bzw. bringen die Raumzeit hingegen lediglich mit Lichtgeschwindigkeit zum Schwingen.
Zufolge der starken Beschleunigung zweier extremer Massen, wie sie beim Zusammenstoß zweier Schwarzer Löcher auftreten, beginnt die Raumzeitkrümmung für Sekunden so stark zu vibrieren, dass man die entstehenden und sich mit Lichtgeschwindigkeit im Universum ausbreitenden Gravitationswellen noch auf der Erde nachweisen kann.
Im Februar 2016 wurde der Nachweis der Gravitationswellen am LIGO durch die Lasermessungen von im rechten Winkel angeordneten Strecken nachgewiesen. Davor konnte die Existenz von Gravitationswellen durch den Energieverlust zufolge der Wellenabstrahlung und die damit verbundene Verkürzung der Umlaufzeit rotierender Neutronensterne nachgewiesen werden.
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
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Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.