BMBWF - AG 3.1 .. AG 3.5: Vektoren

AHS - 1_208 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Perlensterne
Für einen Adventmarkt sollen Perlensterne hergestellt werden. Den Materialbedarf für die verschiedenen Modelle kann man der nachstehenden Tabelle entnehmen.

Den Spalten der Tabelle entsprechen Vektoren im \({{\Bbb R}^4}\) :

• Materialbedarfsvektor S₁ für den Stern 1
• Materialbedarfsvektor S₂ für den Stern 2
• Kostenvektor K pro Packung zu 10 Stück
• Lagerbestand L

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(10 \cdot L - \left( {5 \cdot {S_1} + 8 \cdot {S_2}} \right)\) in diesem Zusammenhang an.

AHS - 1_296 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vegetarische Menüs
In einem Restaurant wird täglich ein vegetarisches Menü angeboten. Der Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{a_1}}\\ {{a_2}}\\ {{a_3}}\\ {{a_4}}\\ {{a_5}}\\ {{a_6}}\\ {{a_7}} \end{array}} \right)\)gibt die Anzahl der verkauften vegetarischen Menüs an den Wochentagen Montag bis Sonntag einer bestimmten Woche an, der Vektor \(\overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{p_1}}\\ {{p_2}}\\ {{p_3}}\\ {{p_4}}\\ {{p_5}}\\ {{p_6}}\\ {{p_7}} \end{array}} \right)\)die jeweiligen Menüpreise in Euro.

Aufgabenstellung
Interpretieren Sie das Skalarprodukt \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow p\) in diesem Zusammenhang!

AHS - 1_210 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vektoren als Zahlentupel
Ein Betrieb produziert und verkauft die Produkte P₁, … , P₅. In der vorangegangenen Woche wurden x_i Stück des Produktes P_i produziert und y_i Stück davon verkauft. Das Produkt P_i wird zu einem Stückpreis v_i verkauft, k_i sind die Herstellungskosten pro Stück P_i. Die Vektoren X, Y, V und K sind folgendermaßen festgelegt:

\(X = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right)\); \(Y = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{y_1}}\\ {{y_2}}\\ {{y_3}}\\ {{y_4}}\\ {{y_5}} \end{array}} \right)\); \(V = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{v_1}}\\ {{v_2}}\\ {{v_3}}\\ {{v_4}}\\ {{v_5}} \end{array}} \right)\); \(K = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{k_1}}\\ {{k_2}}\\ {{k_3}}\\ {{k_4}}\\ {{k_5}} \end{array}} \right)\)

Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie, welche Bedeutung der Ausdruck Y · V für den Betrieb hat!

AHS - 1_209 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Torten
Eine Konditorei stellt 3 verschiedene Torten her: Malakofftorte M, Sachertorte S und Obsttorte O. Die Konditorei beliefert damit 5 Wiederverkäufer. Die Liefermengen pro Tortenstück an die Wiederverkäufer W werden durch die Vektoren L_M für die Malakofftorte, L_S für die Sachertorte und L_O für die Obsttorte ausgedrückt.

\(W = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{W_1}}\\ {{W_2}}\\ {{W_3}}\\ {{W_4}}\\ {{W_5}} \end{array}} \right)\); \({L_M} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {20}\\ {45}\\ {60}\\ {30}\\ {10} \end{array}} \right)\); \({L_S} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {15}\\ {20}\\ {30}\\ 0\\ {20} \end{array}} \right)\); \({L_O} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {10}\\ {35}\\ {40}\\ {10}\\ {25} \end{array}} \right)\)

Ein Stück Malakofftorte kostet beim Konditor € 1,80, ein Stück Sachertorte € 2,10 und ein Stück Obsttorte € 1,50.

Aufgabenstellung:

• 1. Teilaufgabe: Geben Sie an, wie viele Tortenstücke der Konditor insgesamt an den Wiederverkäufer W₃ liefert!
• 2. Teilaufgabe: Berechnen Sie, wie viele Stück Sachertorte der Konditor insgesamt ausgeliefert hat!

AHS - 1_206 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Betriebsgewinn
Ein Betrieb produziert und verkauft die Produkte P₁, … , P₅. In der vorangegangenen Woche wurden x_i Stück des Produktes P_i produziert und auch verkauft. Das Produkt P_i wird zu einem Stückpreis v_i verkauft, k_i sind die Herstellungskosten pro Stück P_i. Die Vektoren X, V und K sind folgendermaßen festgelegt:

\(X = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right)\); \(V = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{v_1}}\\ {{v_2}}\\ {{v_3}}\\ {{v_4}}\\ {{v_5}} \end{array}} \right)\); \(K = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{k_1}}\\ {{k_2}}\\ {{k_3}}\\ {{k_4}}\\ {{k_5}} \end{array}} \right)\)

Aufgabenstellung:
Geben Sie mithilfe der gegebenen Vektoren einen Term an, der für diesen Betrieb den Gewinn G der letzten Woche beschreibt!

AHS - 1_207 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Energiesparlampen
Ein Händler handelt mit 7 verschiedenen Typen von Energiesparlampen. In der Buchhaltung verwendet er folgende 7-dimensionale Vektoren (die Werte in den Vektoren beziehen sich auf einen bestimmten Tag):

• Lagerhaltungsvektor L₁ für Lager 1 zu Beginn des Tages
• Lagerhaltungsvektor L₂ für Lager 2 zu Beginn des Tages
• Vektor P der Verkaufspreise
• Vektor B, der die Anzahl der an diesem Tag ausgelieferten Lampen angibt

Aufgabenstellung
Geben Sie die Bedeutung des Ausdrucks (L₁ + L₂ – B) · P in diesem Zusammenhang an!

AHS - 1_213 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Reslutierende Kraft
Drei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) lassen sich durch eine einzige, am selben Punkt angreifende resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) ersetzen, die alleine dieselbe Wirkung ausübt, wie es \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) zusammen tun. Gegeben sind drei an einem Punkt P angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) .

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie grafisch die resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) als Summe der Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\)

AHS - 1_212 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parallelogramm
Im dargestellten Parallelogramm ABCD teilt der Punkt F die Seite BC im Verhältnis 1 : 2.

Aufgabenstellung:
Drücken Sie den Vektor \(\overrightarrow {FD}\) durch die Vektoren \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB}\) und \(\overrightarrow b = \overrightarrow {BC}\) aus!

AHS - 1_056 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kräfte

Zwei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\) lassen sich durch eine einzige am selben Punkt angreifende resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) ersetzen, die allein dieselbe Wirkung ausübt wie \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\) zusammen.

Aufgabenstellung:
Gegeben sind zwei an einem Punkt P angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\). Ermitteln Sie grafisch die resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) als Summe der Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\) !

AHS - 1_211 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Geometrische Deutung
Gegeben sind zwei Vektoren: \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \,\, \in {{\Bbb R}^2}\)

• Aussage 1: Der Vektor \(3 \cdot \overrightarrow a \) ist dreimal so lang wie der Vektor \(\overrightarrow a\).
• Aussage 2: Das Produkt \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\) ergibt einen Vektor.
• Aussage 3: Die Vektoren \(\overrightarrow a\) und \( - 0,5 \cdot \overrightarrow a\) besitzen die gleiche Richtung und sind gleich orientiert.
• Aussage 4: Die Vektoren \(\overrightarrow a\) und \( - 2 \cdot \overrightarrow a\) sind parallel.
• Aussage 5: Wenn \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\) einen rechten Winkel einschließen, so ist deren Skalarprodukt größer als null.

Aufgabenstellung
Welche der obenstehenden Aussagen über Vektoren sind korrekt? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

AHS - 1_118 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vektoren
Gegeben sind die Vektoren \(\overrightarrow a\)und \(\overrightarrow b\), die in der untenstehenden Abbildung als Pfeile dargestellt sind.

• Aufgabenstellung:

Stellen Sie \(\dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow a\) ausgehend vom Punkt C durch einen Pfeil dar!

AHS - 1_057 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vektoren im Dreieck

Ein Dreieck ABC ist rechtwinklig mit der Hypotenuse AB.

• Aussage 1: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)
• Aussage 2: \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
• Aussage 3: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}\)
• Aussage 4: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} \)
• Aussage 5: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\)

Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen sind jedenfalls richtig? Kreuzen Sie die beiden entsprechenden Aussagen an!