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BMBWF - AG 3.1 .. AG 3.5: Vektoren

Lösungsweg

Aufgabe 1208

AHS - 1_208 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Perlensterne
Für einen Adventmarkt sollen Perlensterne hergestellt werden. Den Materialbedarf für die verschiedenen Modelle kann man der nachstehenden Tabelle entnehmen.

Den Spalten der Tabelle entsprechen Vektoren im \({{\Bbb R}^4}\) :

  • Materialbedarfsvektor S1 für den Stern 1
  • Materialbedarfsvektor S2 für den Stern 2
  • Kostenvektor K pro Packung zu 10 Stück
  • Lagerbestand L
Material Stern 1 Material Stern 2 Kosten pro Packung Perlen Lagerbestand der Perlen-Packungen
Wachsperle 8 mm 1 0 € 0,20 8
Wachsperle 3 mm 72 84 € 0,04 100
Glasperle 6 mm 0 6 € 0,90 12
Glasperle oval 8 0 € 1.50 9

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(10 \cdot L - \left( {5 \cdot {S_1} + 8 \cdot {S_2}} \right)\) in diesem Zusammenhang an.

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.1
Vektoren als Zahlentupel
Perlensterne - 1208. Aufgabe 1_208
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Aufgabe 1296

AHS - 1_296 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Vegetarische Menüs
In einem Restaurant wird täglich ein vegetarisches Menü angeboten. Der Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{a_1}}\\ {{a_2}}\\ {{a_3}}\\ {{a_4}}\\ {{a_5}}\\ {{a_6}}\\ {{a_7}} \end{array}} \right)\)gibt die Anzahl der verkauften vegetarischen Menüs an den Wochentagen Montag bis Sonntag einer bestimmten Woche an, der Vektor \(\overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{p_1}}\\ {{p_2}}\\ {{p_3}}\\ {{p_4}}\\ {{p_5}}\\ {{p_6}}\\ {{p_7}} \end{array}} \right)\)die jeweiligen Menüpreise in Euro.


Aufgabenstellung
Interpretieren Sie das Skalarprodukt \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow p\) in diesem Zusammenhang!

Vektoren als Zahlentupel
Skalares Produkt zweier Vektoren
Vegetarische Menüs - 1296. Aufgabe 1_296
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Aufgabe 1210

AHS - 1_210 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Vektoren als Zahlentupel
Ein Betrieb produziert und verkauft die Produkte P1, … , P5. In der vorangegangenen Woche wurden xi Stück des Produktes Pi produziert und yi Stück davon verkauft. Das Produkt Pi wird zu einem Stückpreis vi verkauft, ki sind die Herstellungskosten pro Stück Pi. Die Vektoren X, Y, V und K sind folgendermaßen festgelegt:

\(X = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right)\); \(Y = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{y_1}}\\ {{y_2}}\\ {{y_3}}\\ {{y_4}}\\ {{y_5}} \end{array}} \right)\); \(V = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{v_1}}\\ {{v_2}}\\ {{v_3}}\\ {{v_4}}\\ {{v_5}} \end{array}} \right)\); \(K = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{k_1}}\\ {{k_2}}\\ {{k_3}}\\ {{k_4}}\\ {{k_5}} \end{array}} \right)\)


Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie, welche Bedeutung der Ausdruck Y · V für den Betrieb hat!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.1
Vektoren als Zahlentupel
Vektoren als Zahlentupel - 1210. Aufgabe 1_210
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Aufgabe 1209

AHS - 1_209 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Torten
Eine Konditorei stellt 3 verschiedene Torten her: Malakofftorte M, Sachertorte S und Obsttorte O. Die Konditorei beliefert damit 5 Wiederverkäufer. Die Liefermengen pro Tortenstück an die Wiederverkäufer W werden durch die Vektoren LM für die Malakofftorte, LS für die Sachertorte und LO für die Obsttorte ausgedrückt.

\(W = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{W_1}}\\ {{W_2}}\\ {{W_3}}\\ {{W_4}}\\ {{W_5}} \end{array}} \right)\); \({L_M} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {20}\\ {45}\\ {60}\\ {30}\\ {10} \end{array}} \right)\); \({L_S} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {15}\\ {20}\\ {30}\\ 0\\ {20} \end{array}} \right)\); \({L_O} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {10}\\ {35}\\ {40}\\ {10}\\ {25} \end{array}} \right)\)

Ein Stück Malakofftorte kostet beim Konditor € 1,80, ein Stück Sachertorte € 2,10 und ein Stück Obsttorte € 1,50.


Aufgabenstellung:

  • 1. Teilaufgabe: Geben Sie an, wie viele Tortenstücke der Konditor insgesamt an den Wiederverkäufer W3 liefert!
  • 2. Teilaufgabe: Berechnen Sie, wie viele Stück Sachertorte der Konditor insgesamt ausgeliefert hat!
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Vektoren als Zahlentupel
Torten - 1209. Aufgabe 1_209
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Lösungsweg

Aufgabe 1206

AHS - 1_206 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Betriebsgewinn
Ein Betrieb produziert und verkauft die Produkte P1, … , P5. In der vorangegangenen Woche wurden xi Stück des Produktes Pi produziert und auch verkauft. Das Produkt Pi wird zu einem Stückpreis vi verkauft, ki sind die Herstellungskosten pro Stück Pi. Die Vektoren X, V und K sind folgendermaßen festgelegt:

\(X = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right)\); \(V = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{v_1}}\\ {{v_2}}\\ {{v_3}}\\ {{v_4}}\\ {{v_5}} \end{array}} \right)\); \(K = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{k_1}}\\ {{k_2}}\\ {{k_3}}\\ {{k_4}}\\ {{k_5}} \end{array}} \right)\)


Aufgabenstellung:
Geben Sie mithilfe der gegebenen Vektoren einen Term an, der für diesen Betrieb den Gewinn G der letzten Woche beschreibt!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.1
Vektoren als Zahlentupel
Betriebsgewinn - 1206. Aufgabe 1_206
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Aufgabe 1207

AHS - 1_207 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Energiesparlampen
Ein Händler handelt mit 7 verschiedenen Typen von Energiesparlampen. In der Buchhaltung verwendet er folgende 7-dimensionale Vektoren (die Werte in den Vektoren beziehen sich auf einen bestimmten Tag):

  • Lagerhaltungsvektor L1 für Lager 1 zu Beginn des Tages
  • Lagerhaltungsvektor L2 für Lager 2 zu Beginn des Tages
  • Vektor P der Verkaufspreise
  • Vektor B, der die Anzahl der an diesem Tag ausgelieferten Lampen angibt

Aufgabenstellung
Geben Sie die Bedeutung des Ausdrucks (L1 + L2 – B) · P in diesem Zusammenhang an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.1
Vektoren als Zahlentupel
Energiesparlampen - 1207. Aufgabe 1_207
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Aufgabe 1213

AHS - 1_213 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Reslutierende Kraft
Drei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) lassen sich durch eine einzige, am selben Punkt angreifende resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) ersetzen, die alleine dieselbe Wirkung ausübt, wie es \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) zusammen tun. Gegeben sind drei an einem Punkt P angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) .

Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] Vektor w Vektor w: Vektor[A, D] Vektor w Vektor w: Vektor[A, D] P text1 = "P" \overrightarrow F_{2} text2 = "\overrightarrow F_{2}" \overrightarrow F_{2} text2 = "\overrightarrow F_{2}" \overrightarrow F_{2} text2 = "\overrightarrow F_{2}" \overrightarrow F_{1} text4 = "\overrightarrow F_{1}" \overrightarrow F_{1} text4 = "\overrightarrow F_{1}" \overrightarrow F_{1} text4 = "\overrightarrow F_{1}" \overrightarrow F_{3} text5 = "\overrightarrow F_{3}" \overrightarrow F_{3} text5 = "\overrightarrow F_{3}" \overrightarrow F_{3} text5 = "\overrightarrow F_{3}"


Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie grafisch die resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) als Summe der Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\)

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.2
Addition zweier Vektoren
Reslutierende Kraft - 1213. Aufgabe 1_213
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Lösungsweg

Aufgabe 1212

AHS - 1_212 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Parallelogramm
Im dargestellten Parallelogramm ABCD teilt der Punkt F die Seite BC im Verhältnis 1 : 2.

Viereck poly1 Viereck poly1: Polygon A, B, C, D Strecke a Strecke a: Strecke A, B Strecke b Strecke b: Strecke B, C Strecke c Strecke c: Strecke C, D Strecke d Strecke d: Strecke D, A Punkt A A = (6.7, 9.5) Punkt A A = (6.7, 9.5) Punkt A A = (6.7, 9.5) Punkt B B = (12.26, 9.5) Punkt B B = (12.26, 9.5) Punkt B B = (12.26, 9.5) Punkt C C = (14.94, 12.64) Punkt C C = (14.94, 12.64) Punkt C C = (14.94, 12.64) Punkt D D = (9.34, 12.62) Punkt D D = (9.34, 12.62) Punkt D D = (9.34, 12.62) Punkt F Punkt F: Punkt auf b Punkt F Punkt F: Punkt auf b Punkt F Punkt F: Punkt auf b


Aufgabenstellung:
Drücken Sie den Vektor \(\overrightarrow {FD}\) durch die Vektoren \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB}\) und \(\overrightarrow b = \overrightarrow {BC}\) aus!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.2
Addition zweier Vektoren
Parallelogramm - 1212. Aufgabe 1_212
Fragen oder Feedback
Lösungsweg

Aufgabe 1056

AHS - 1_056 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Kräfte

Zwei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\) lassen sich durch eine einzige am selben Punkt angreifende resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) ersetzen, die allein dieselbe Wirkung ausübt wie \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\) zusammen.

Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] P text1 = "P" ${\overrightarrow F_{1}}$ text2 = "${\overrightarrow F_{1}}$" ${\overrightarrow F_{1}}$ text2 = "${\overrightarrow F_{1}}$" ${\overrightarrow F_{1}}$ text2 = "${\overrightarrow F_{1}}$" $\overrightarrow F_{2} text4 = "$\overrightarrow F_{2}" $\overrightarrow F_{2} text4 = "$\overrightarrow F_{2}" $\overrightarrow F_{2} text4 = "$\overrightarrow F_{2}"


Aufgabenstellung:
Gegeben sind zwei an einem Punkt P angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\). Ermitteln Sie grafisch die resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) als Summe der Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\) !

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.2
Addition zweier Vektoren
Kräfte - 1056. Aufgabe 1_056
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LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1211

AHS - 1_211 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Geometrische Deutung
Gegeben sind zwei Vektoren: \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \,\, \in {{\Bbb R}^2}\)

  • Aussage 1: Der Vektor \(3 \cdot \overrightarrow a \) ist dreimal so lang wie der Vektor \(\overrightarrow a\).
  • Aussage 2: Das Produkt \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\) ergibt einen Vektor.
  • Aussage 3: Die Vektoren \(\overrightarrow a\) und \( - 0,5 \cdot \overrightarrow a\) besitzen die gleiche Richtung und sind gleich orientiert.
  • Aussage 4: Die Vektoren \(\overrightarrow a\) und \( - 2 \cdot \overrightarrow a\) sind parallel.
  • Aussage 5: Wenn \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\) einen rechten Winkel einschließen, so ist deren Skalarprodukt größer als null.

Aufgabenstellung
Welche der obenstehenden Aussagen über Vektoren sind korrekt? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Parallele Vektoren
Rechter Winkel zwischen 2 Vektoren
Geometrische Deutung - 1211. Aufgabe 1_211
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.3
Skalares Produkt zweier Vektoren
Fragen oder Feedback
Lösungsweg

Aufgabe 1118

AHS - 1_118 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Vektoren
Gegeben sind die Vektoren \(\overrightarrow a\)und \(\overrightarrow b\), die in der untenstehenden Abbildung als Pfeile dargestellt sind.

Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] Punkt D D = (11, 10) Punkt D D = (11, 10) A text1 = "A" B text2 = "B" C text3 = "C" D text4 = "D" \overrightarrow a text5 = "\overrightarrow a" \overrightarrow a text5 = "\overrightarrow a" \overrightarrow b text6 = "\overrightarrow b" \overrightarrow b text6 = "\overrightarrow b"


  • Aufgabenstellung:

Stellen Sie \(\dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow a\) ausgehend vom Punkt C durch einen Pfeil dar!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.3
Subtraktion zweier Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Vektoren - 1118. Aufgabe 1_118
Fragen oder Feedback
LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1057

AHS - 1_057 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Vektoren im Dreieck

Ein Dreieck ABC ist rechtwinklig mit der Hypotenuse AB.

  • Aussage 1: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)
  • Aussage 2: \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
  • Aussage 3: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}\)
  • Aussage 4: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} \)
  • Aussage 5: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\)

Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen sind jedenfalls richtig? Kreuzen Sie die beiden entsprechenden Aussagen an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 3.3
Rechtwinkeliges Dreieck
Vektoren im Dreieck - 1057. Aufgabe 1_057
Quadrat eines Vektors
Orthogonalitätskriterium
Satz des Pythagoras
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