Österreichische AHS Matura - 2018.05.09 - 24 Typ I Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zusammenhang zweier Variablen

Für \(a,b \in {\Bbb R}\) gilt der Zusammenhang \(a \cdot b = 1\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Zwei der fünf nachstehenden Aussagen treffen in jedem Fall zu. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

• Aussage 1: Wenn a kleiner als null ist, dann ist auch b kleiner als null.
• Aussage 2: Die Vorzeichen von a und b können unterschiedlich sein.
• Aussage 3: Für jedes \(n \in {\Bbb N}\) gilt: \(\left( {a - n} \right) \cdot \left( {b + n} \right) = 1\)
• Aussage 4: Für jedes \(n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\}\) gilt: \(\left( {a \cdot n} \right) \cdot \left( {\dfrac{b}{n}} \right) = 1\)
• Aussage 5: \(a \ne b\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Solaranlagen

Eine Gemeinde unterstützt den Neubau von Solaranlagen in h Haushalten mit jeweils p % der Anschaffungskosten, wobei das arithmetische Mittel der Anschaffungskosten für eine Solaranlage für einen Haushalt in dieser Gemeinde e Euro beträgt.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Interpretieren Sie den Term \(h \cdot e \cdot \dfrac{p}{{100}}\) im angegebenen Kontext.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Lösungsfälle quadratischer Gleichungen

Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form \(r \cdot {x^2} + s \cdot x + t = 0{\text{ mit }}r,s,t \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung hängt von r, s und t ab.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie die Anzahl der reellen Lösungen der gegebenen Gleichung an, wenn r und t verschiedene Vorzeichen haben, und begründen Sie Ihre Antwort allgemein!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kräfte

An einem Massenpunkt M greifen drei Kräfte an. Diese sind durch die Vektoren \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b {\text{ und }}\overrightarrow c\) gegeben.

Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung einen Kraftvektor \(\overrightarrow d \) so ein, dass die Summe aller vier Kräfte (in jeder Komponente) gleich null ist!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Rechter Winkel

Gegeben ist eine Strecke \(AB{\text{ im }}{{\Bbb R}^2}{\text{ mit }}A = \left( {3\left| 4 \right.} \right){\text{ und }}B = \left( { - 2\left| 1 \right.} \right)\)

Aufgabenstellung:
Geben Sie einen möglichen Vektor \(\overrightarrow n \in {{\Bbb R}^2}\) mit \(\overrightarrow n \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinus und Cosinus

Die nachstehende Abbildung zeigt einen Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 1. Die Punkte A = (1|0) und P liegen auf der Kreislinie. Der eingezeichnete Winkel α wird vom Schenkel OA zum Schenkel OP gegen den Uhrzeigersinn gemessen.

Ein Punkt Q auf der Kreislinie soll in analoger Weise einen Winkel β festlegen, für den folgende Beziehungen gelten: \(\sin \left( {\beta} \right) = - \sin \left( \alpha \right)\) und \(\cos \left( \beta \right) = \cos \left( \alpha \right)\)

Aufgabenstellung
Zeichnen Sie in der oben stehenden Abbildung den Punkt Q ein!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quadratische Pyramide

Die Oberfläche einer regelmäßigen quadratischen Pyramide kann als Funktion O in Abhängigkeit von der Länge der Grundkante a und der Höhe der Seitenfläche h₁ aufgefasst werden. Es gilt: \(O\left( {a,{h_1}} \right) = {a^2} + 2 \cdot a \cdot {h_1}\) wobei \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) und \({h_1} > \dfrac{a}{2}\)

Aufgabenstellung
Gegeben sind sechs Aussagen zur Oberflache von regelmäßigen quadratischen Pyramiden. Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!

• Aussage 1: Ist h₁ konstant, dann ist die Oberflache direkt proportional zu a.
• Aussage 2: Ist a konstant, dann ist die Oberflache direkt proportional zu h₁.
• Aussage 3: Für a = 1 cm ist die Oberflache sicher grösser als 2 cm².
• Aussage 4: Für a = 1 cm ist die Oberflache sicher kleiner als 10 cm².
• Aussage 5: Werden sowohl a als auch h₁ verdoppelt, so wird die Oberflache verdoppelt.
• Aussage 6: Ist h₁ = a², dann kann die Oberfläche durch eine Exponentialfunktion in Abhängigkeit von a beschrieben werden.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Radfahrer

Zwei Radfahrer A und B fahren mit Elektrofahrrädern vom gleichen Startpunkt aus mit jeweils konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Straße in dieselbe Richtung. In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Funktionen s_A und s_B dargestellt, die den von den Radfahrern zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Fahrzeit beschreiben. Die markierten Punkte haben die Koordinaten (0 | 0), (2 | 0) bzw. (8 | 2 400).

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die der obigen Abbildung entnommen werden können!

• Aussage 1: Der Radfahrer B startet zwei Minuten später als der Radfahrer A.
• Aussage 2: Die Geschwindigkeit des Radfahrers A betragt 200 Meter pro Minute.
• Aussage 3: Der Radfahrer B holt den Radfahrer A nach einer Fahrstrecke von 2,4 Kilometern ein.
• Aussage 4: Acht Minuten nach dem Start von Radfahrer B sind die beiden Radfahrer gleich weit vom Startpunkt entfernt.
• Aussage 5: Vier Minuten nach der Abfahrt des Radfahrers A sind die beiden Radfahrer 200 Meter voneinander entfernt.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graphen quadratischer Funktionen

Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen quadratischer Funktionen f₁, f₂ und f₃ mit den Gleichungen \({f_i}\left( x \right) = {a_i} \cdot {x^2} + {b_i}\) wobei gilt: \({a_i},{b_i} \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,i \in \left\{ {1,2,3} \right\}\)

Aufgabenstellung
Ordnen Sie die Parameterwerte a_i und b_i jeweils der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten!

• Parameterwerte a_i: _______ < _______ < _______
• Parameterwerte b_i: _______ < _______ < _______

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Polynomfunktion

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f.

Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum es sich bei der dargestellten Funktion nicht um eine Polynomfunktion dritten Grades handeln kann!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zellkulturen

Im Rahmen eines biologischen Experiments werden sechs Zellkulturen günstigen und ungünstigen äußeren Bedingungen ausgesetzt, wodurch die Anzahl der Zellen entweder exponentiell zunimmt oder exponentiell abnimmt. Dabei gibt N_i (t) die Anzahl der Zellen in der jeweiligen Zellkultur t Tage nach Beginn des Experiments an.
(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier beschriebenen Veränderungen (I, II, III, IV) jeweils die zugehörige Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!

• Veränderung I: Die Anzahl der Zellen verdoppelt sich pro Tag.
• Veränderung II: Die Anzahl der Zellen nimmt pro Tag um 85 % zu.
• Veränderung III: Die Anzahl der Zellen nimmt pro Tag um 85 % ab.
• Veränderung IV: Die Anzahl der Zellen nimmt pro Tag um die Hälfte ab.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinusfunktion

Für \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) sei die Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) für \(x \in {\Bbb R}\) gegeben. Die beiden nachstehenden Eigenschaften der Funktion f sind bekannt:

• Die (kleinste) Periode der Funktion f ist π.
• Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Funktionswert von f beträgt 6.

Aufgabenstellung
Geben Sie a und b an!

• a =
• b =