Österreichische BHS Matura - 2021.09.17 - HTL1 - 3 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521

Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.

Teil a

In der nachstehenden Abbildung ist eine bestimmte Baggerposition dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Veranschaulichen Sie in Abbildung 2 diejenige Länge s, die durch den nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
\(s = a \cdot \cos \left( \alpha \right)\)

[0 / 1 P.]

Es gilt:

• a = 4,65 m
• b = 4,50 m
• β = 110°

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Länge d.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die richtige Formel zur Berechnung des Winkels γ an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Formel 1: \(\gamma = \alpha - \arccos \left( {\dfrac{a}{d}} \right)\)
• Formel 2: \(\gamma = \alpha - \arcsin \left( {\dfrac{{b \cdot \sin \left( \beta \right)}}{d}} \right)\)
• Formel 3: \(\gamma = \arcsin \left( {\dfrac{{a \cdot \sin \left( \alpha \right)}}{d}} \right)\)
• Formel 4: \(\gamma = \alpha - \left( {\dfrac{{180^\circ - \beta }}{2}} \right)\)
• Formel 5: \(\gamma = \arccos \left( {\dfrac{{{b^2} + {d^2} - {a^2}}}{{2 \cdot b \cdot d}}} \right)\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521

Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.

Teil b

Ein Teil des anfallenden Materials wird aufgeschüttet. Der dabei entstehende Schüttkegel hat einen Neigungswinkel von 32° (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Radius r eines solchen Schüttkegels mit einem Volumen von 200 m³.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
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Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521

Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.

Teil c

Beim Ausbau des Tunnels werden vorgefertigte Betonelemente eingesetzt. Die Breite dieser Betonelemente ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5 m und der Standardabweichung σ = 0,005 m. Zur Qualitätssicherung werden Zufallsstichproben mit dem Stichprobenumfang n = 10 entnommen und die Stichprobenmittelwerte der Breiten ermittelt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie den Erwartungswert \({\mu _{\overline x }}\) und die Standardabweichung \({\sigma _{\overline x }}\) für die Verteilung dieser Stichprobenmittelwerte an.

• \({\mu _{\overline x }}=\)
• \(\sigma _{\overline x }=\)

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Stichprobenmittelwerte zwischen 4,996 m und 5,004 m liegen.

[0 / 1 P.]

• f₁ ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichprobenumfang n₁ = 6.
• f₂ ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichprobenumfang n₂.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der nachstehenden Abbildung den Stichprobenumfang n₂.

Bild

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Carport - Aufgabe B_522

Ein Carport soll durch verschiedene Modelle beschrieben werden.

Teil a

Im Modell A wird ein Teil des Carports durch die Graphen der Funktionen f, g und h beschrieben.

(siehe nachstehende Abbildung).

Bild

Der Graph der Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x \) beschreibt zwischen den Punkten A = (0 | 0) und B den Verlauf einer Begrenzungslinie. Der Graph der Funktion h ergibt sich durch Verschiebung des Graphen der Funktion f um 1 m nach links und um 0,5 m nach unten.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie die fehlenden Zahlen und Rechenzeichen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.

\(h\left( x \right) = a \cdot \sqrt {x\boxed{}\boxed{}} \boxed{\boxed{}}\boxed{}\)

[0 / 1 P.]

Der Graph der Funktion g mit \(g\left( x \right) = b \cdot \sqrt x \)  beschreibt zwischen den Punkten A = (0 | 0) und E = (0,4 | –1,62) den Verlauf einer weiteren Begrenzungslinie.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den Parameter b.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Aussage 1: \(h'\left( {0,1} \right) > f'\left( {0,1} \right)\)
• Aussage 2: \(f'\left( {0,1} \right) - g'\left( {0,1} \right) = 0\)
• Aussage 3: \(f'\left( 0 \right) = 1\)
• Aussage 4: \(f'\left( {0,1} \right) = h'\left( { - 0,9} \right)\)
• Aussage 5: \(g'\left( {0,4} \right) < g'\left( {0,1} \right)\)

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Carport - Aufgabe B_522

Ein Carport soll durch verschiedene Modelle beschrieben werden.

Teil b

Im Modell B wird ein Teil des Carports durch den Kreisbogen k und den Graphen der Funktion q beschrieben (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

Der Kreisbogen k verläuft zwischen den Punkten F und G = (1,18 | 1). Der zugehörige Kreis hat den Mittelpunkt M = (2,34 | –0,16).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeigen Sie, dass die Steigung der Tangente t an den Kreisbogen im Punkt G den Wert 1 hat.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Winkel α, der durch die nachstehende Formel berechnet werden kann.
\(\overrightarrow {MF} \cdot \overrightarrow {MG} = \left| {\overrightarrow {MF} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MG} } \right| \cdot \cos \left( \alpha \right)\)

0 / 1 P.]

Zwischen den Punkten G und R kann die Begrenzungslinie des Carports durch den Graphen der Funktion q beschrieben werden.
\(q\left( x \right) = - 0,00078 \cdot {x^4} + 0,0312 \cdot {x^3} - 0,366 \cdot {x^2} + 1,74 \cdot x - 0,593\)

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Länge der in der obigen Abbildung dargestellten Begrenzungslinie q des Carports im Intervall [1,18; 6,66].

[0 / 1 P.]

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Martinigläser - Aufgabe B_523

In der nebenstehenden Abbildung ist ein Martiniglas dargestellt. Der obere Teil des Martiniglases kann modellhaft als Drehkegel mit dem Durchmesser D und der Höhe H betrachtet werden.

Bild

Teil a

In der unten stehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist ein Modell dieses Martiniglases dargestellt. Der Drehkegel entsteht durch Rotation des Graphen der linearen Funktion f um die x-Achse.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie unter Verwendung von H und D die fehlenden Ausdrücke in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.

Bild

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe von H und D eine Gleichung der Funktion f auf.

f(x) =

[0 / 1 P.]

V_x ist das Volumen des Drehkegels, der bei Rotation des Graphen der Funktion f um die x-Achse entsteht.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von V_x auf.

V_x =

[0 / 1 P.]

Der obere Teil eines bestimmten Martiniglases wird durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [0; 75] um die x-Achse modelliert.

\(g\left( x \right) = \dfrac{{13}}{{17}} \cdot x\)

Dieses Martiniglas wird mit einer Flüssigkeitsmenge von 2 dl befüllt.

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die zugehörige Füllhöhe (gemessen von der Spitze des Drehkegels).
[0 / 1 P.]

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Martinigläser - Aufgabe B_523

Teil b

In der nachstehenden Abbildung ist der obere Teil eines teilweise befüllten Martiniglases dargestellt. Dabei handelt es sich um einen Drehkegel mit dem Durchmesser D und der Höhe H.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von z auf. Verwenden Sie dabei H, D und x.

z =

[0 / 1 P.]

Dieses Martiniglas ist bis zur Höhe x befüllt. Das Füllvolumen entspricht dabei dem halben Volumen des Drehkegels mit dem Durchmesser D und der Höhe H.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeigen Sie allgemein, dass die Höhe x rund 80 % der Höhe H beträgt.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
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Martinigläser - Aufgabe B_523

Teil c

Beim Verkauf von Martinigläsern geht man von einem linearen Zusammenhang zwischen dem Preis in GE/ME und der Verkaufsmenge in ME aus. Bei einem Preis von 5,00 GE/ME können 100 ME verkauft werden. Sinkt der Preis um 1,50 GE/ME, können um 200 ME mehr verkauft werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Preisfunktion der Nachfrage p_N auf.

[0 / 1 P.]

In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Erlösfunktion E und der Graph der Kostenfunktion K dargestellt.

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie diejenige Verkaufsmenge ab, bei der der Gewinn 250 GE beträgt.

ME

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Aussage 1: Der Erlös bei einer Verkaufsmenge von 100 ME beträgt 500 GE.
• Aussage 2: Die Fixkosten betragen 200 GE.
• Aussage 3: Die Kostenfunktion K ist streng monoton steigend.
• Aussage 4: Für die untere Gewinngrenze x_u gilt: E′(x_u) = K′(x_u).
• Aussage 5: Für die zugehörige Stückkostenfunktion K gilt: K(200) = 3.