Österreichische BHS Matura - 2022.05.03 - HAK

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Süßwarenproduktion – Aufgabe B_545

Ein Unternehmen produziert Süßwaren.

Teil a

Eine bestimmte Sorte von Schokoriegeln wird im Werk A und im Werk B produziert. Aufgrund unterschiedlicher Produktionsbedingungen sind die Kostenfunktionen für die Produktion in den beiden Werken unterschiedlich.

• x … Produktionsmenge in ME
• K_A(x) … Gesamtkosten im Werk A bei der Produktionsmenge x in GE
• K_B(x) … Gesamtkosten im Werk B bei der Produktionsmenge x in GE

Bei der Produktionsmenge x₁ sind die jeweiligen Gesamtkosten in beiden Werken gleich hoch.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Argumentieren Sie, dass bei der Produktionsmenge x₁ auch die jeweiligen Durchschnittskosten in beiden Werken gleich hoch sind.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

• Für K_A gilt: \({K_A}\left( x \right) = 0,0001 \cdot {x^2} + 0,17 \cdot x + 200\)
• Für K_B gilt: K_B ist eine lineare Funktion. Die Fixkosten betragen 260 GE, die variablen Stückkosten betragen 0,3 GE/ME.

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion K_B auf.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diejenige Produktionsmenge, bei der die jeweiligen Grenzkosten in beiden Werken gleich hoch sind.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
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Süßwarenproduktion – Aufgabe B_545

Ein Unternehmen produziert Süßwaren.

Teil b

Die Gesamtkosten bei der Produktion von Waffelschnitten können durch die lineare Kostenfunktion K beschrieben werden.

\(K\left( x \right) = a \cdot x + b\)

• x … Produktionsmenge in ME
• K(x) … Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE

In Abbildung 1 sind die Graphen der Grenzkostenfunktion K‘ und der Durchschnittskostenfunktion \(\overline K \)  dargestellt.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie die Steigung a der Kostenfunktion K an.

a = GE/ME
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen der Kostenfunktion K ein.
[0 / 1 P.]

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Süßwarenproduktion – Aufgabe B_545

Ein Unternehmen produziert Süßwaren.

Teil c

Für die Produktion von Schokolinsen sind die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E bekannt:

\(\begin{array}{l} K\left( x \right) = 0,0003 \cdot {x^3} - 0,017 \cdot {x^2} + 0,4 \cdot x + 40\\ E\left( x \right) = 1,5 \cdot x \end{array}\)

• x … produzierte bzw. abgesetzte Menge in ME
• K(x) … Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
• E(x) … Erlös bei der Absatzmenge x in GE

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der Gewinnfunktion G auf.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den maximalen Gewinn.
[0 / 1 P.]

Es wird folgende Berechnung durchgeführt:

\(\begin{array}{l} \overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x} = 0,0003 \cdot {x^2} - 0,017 \cdot x + 0,4 + \dfrac{{40}}{x}\\ 0,0006 \cdot x - 0,017 - \dfrac{{40}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x \approx 52,5 \end{array}\)

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie die Zahl 52,5 im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

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Autokauf – Aufgabe B_546

Clara mochte ein neues Auto kaufen.

Teil a

Eine Bank bietet Clara einen Kredit in Höhe von € 15.000 mit einer Laufzeit von 7 Jahren an. Die Rückzahlung erfolgt durch nachschüssige Monatsraten in Hohe von je € 216.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Monatszinssatz i₁₂ für diesen Kredit.

[0 / 1 P.]

Mit dem monatlichen Aufzinsungsfaktor \({q_{12}} = 1 + {i_{12}}\) führt Clara die nachstehende Berechnung durch.

\(X = 15000 \cdot {q_{12}}^{24} - 216 \cdot \dfrac{{{q_{12}}^{24} - 1}}{{{q_{12}} - 1}}\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beschreiben Sie die Bedeutung von X im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

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Autokauf – Aufgabe B_546

Clara mochte ein neues Auto kaufen.

Teil b

Eine andere Bank bietet Clara einen Kredit in Höhe von € 15.000 mit einem Zinssatz von 6,2 % p. a. an. Die Rückzahlung erfolgt durch nachschüssige Monatsraten in Höhe von je € 219,35.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den zu 6,2 % p. a. äquivalenten Monatszinssatz.
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2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Vervollständigen Sie den nachstehenden Ausschnitt des zugehörigen Tilgungsplans.

[0 / 1 P.]

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Autokauf – Aufgabe B_546

Clara mochte ein neues Auto kaufen.

Teil c

Clara hat vor 5 Jahren den Geldbetrag B₁ und vor 3 Jahren den Geldbetrag B₂ auf ein Konto eingezahlt. Der Zinssatz beträgt 1 % p. a.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Beschreibungen jeweils den passenden Ausdruck aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

• Beschreibung 1: Es wird die Summe der Werte der beiden Spareinlagen zum heutigen Zeitpunkt berechnet.
• Beschreibung 2: Es wird die Summe der Werte der beiden Spareinlagen zum Zeitpunkt der Einzahlung von B₂ berechnet.

• Ausdruck A: \({B_1} \cdot {1,01^5} + {B_2} \cdot {1,01^3}\)
• Ausdruck B: \({B_1} + {B_2} \cdot {1,01^{ - 2}}\)
• Ausdruck C: \({B_1} \cdot {1,01^5} + {B_2} \cdot {1,01^2}\)
• Ausdruck D: \({B_1} \cdot {1,01^2} + {B_2}\)

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Autokauf – Aufgabe B_546

Clara mochte ein neues Auto kaufen.

Teil d

Der Wert eines Autos verringert sich im Laufe der Zeit. Für ein bestimmtes Auto ist dessen Wert nach 1 Jahr und nach 3 Jahren in der nachstehenden Tabelle angegeben.

Der Wert des Autos kann im Zeitintervall [1; 3] näherungsweise durch die lineare Funktion f beschrieben werden.

• t ... Zeit nach dem Kauf in Jahren
• f(t) ... Wert des Autos zur Zeit t in €

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion f auf.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung von f im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
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Seminarprüfungen – Aufgabe B_548

Teil a

An einer Universität stellt eine Professorin Prüfungen für ihre Seminare zusammen.

• Dabei verwendet sie jede Prüfungsfrage nur ein Mal. Sie teilt ihre Prüfungsfragen in drei Kategorien ein: leicht (L), mittel (M), schwierig (S).
• Sie kombiniert die Prüfungsfragen in unterschiedlicher Anzahl für Prüfungen der Niveaustufen A und B.
• In ihren Einführungsseminaren (E) und Hauptseminaren (H) gibt es jeweils unterschiedlich viele Prüfungen der Niveaustufen A und B.

Die entsprechenden Zahlen können dem nachstehenden Gozinto-Graphen entnommen werden.

Abbildung fehlt

In diesem Gozinto-Graphen existiert kein Pfeil von S nach A.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie diesen Sachverhalt im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

• Die Matrix V₁ beschreibt den Bedarf an Prüfungsfragen für die unterschiedlichen Prüfungen der Niveaustufen A und B.
• Die Matrix V₂ beschreibt den Bedarf an Prüfungen der Niveaustufen A und B für die unterschiedlichen Seminare.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die beiden Matrizen V₁ und V₂.
[0 / 1 P.]

Die Professorin halt im aktuellen Semester 4 Einführungsseminare (E) und 2 Hauptseminare (H). Der Vektor \(\overrightarrow a \) beschreibt den Bedarf an leichten, mittleren und schwierigen Prüfungsfragen für diese Seminare.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Vektor \(\overrightarrow a \)

[0 / 1 P.]

Die Professorin benötigt für die Vorbereitung der Prüfungsfragen unterschiedlich viel Zeit:

• t₁ Minuten für eine leichte,
• t₂ Minuten für eine mittlere und
• t₃ Minuten für eine schwierige Prüfungsfrage.

Die insgesamt für alle Prüfungsfragen des aktuellen Semesters benötigte Vorbereitungszeit wird mit t bezeichnet.

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von t auf. Verwenden Sie dabei t₁, t₂ und t₃ sowie den Vektor \(\overrightarrow a \)

t =

[0 / 1 P.]

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Seminarprüfungen – Aufgabe B_548

Teil b

Über die Matrizen R, S und T weiß man:

• R ist eine 3 × 3-Matrix.
• S ist eine 2 × 3-Matrix.
• T ist eine 3 × 2-Matrix.

• Aussage 1: R ∙ S ist eine 3 × 2-Matrix.
• Aussage 2: R ∙ T ist eine 2 × 3-Matrix.
• Aussage 3: T ∙ S ist eine 3 × 3-Matrix.
• Aussage 4: S ∙ R ist eine 3 × 2-Matrix.
• Aussage 5: S ∙ T ist eine 3 × 3-Matrix.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Seminarprüfungen – Aufgabe B_548

Teil c

Eine Kommission untersucht die Ergebnisse mehrerer Prüfungen. Dabei wird beim Prüfungsergebnis zwischen „positiv“ und „negativ“, beim Geschlecht der Studierenden zwischen „männlich“ und „weiblich“ unterschieden. In der nachstehenden Vierfeldertafel sind die relativen Häufigkeiten für eine bestimmte Prüfung angegeben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die leeren Felder der obigen Vierfeldertafel.
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Von den Studierenden wird eine Person zufällig ausgewählt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person männlich ist, wenn bekannt ist, dass die Person ein negatives Prüfungsergebnis hat.
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Bei einer anderen Prüfung geht die Kommission von einer (stochastischen) Unabhängigkeit zwischen dem Prüfungsergebnis und dem Geschlecht aus.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie unter Berücksichtigung dieser Voraussetzung die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der nachstehenden Vierfeldertafel.
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