Geometrie
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Geometrie
Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik.
Für die zugehörigen Formeln, Definitionen, Rechenregeln und Beispiele haben wir folgende Gliederung gewählt:
- Geometrie ebener Figuren und von Körpern
- Trigonometrie - Winkelfunktionen
- Vektorrechnung in der Ebene und im Raum
- Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional
- Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel
- Analytische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Mathematik | Mathematik kommt aus dem Griechischen und bedeutet ”die Kunst des Lernens”. Für die zugehörigen Formeln, Definitionen, Rechenregeln und Beispiele haben wir folgende Gliederung gewählt: Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik, Logik, Wirtschaftsmathematik sowie Prüfungsvorbereitung für Matura, Abitur und STEOP |
Aktuelle Lerneinheit
Geometrie | Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Analytische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven |
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Algebra | Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen |
Analysis | Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung |
Grundlagen der Wirtschaftsmathematik | Die Wirtschaftsmathematik ist ein Teilgebiet der Mathematik. Für die zugehörigen Formeln, Definitionen, Rechenregeln und Beispiele haben wir folgende Gliederung gewählt: Prozent- und Promillerechnung, Zins- und Zinseszinsrechung, Rentenrechnung, Kosten- und Preistheorie sowie Investitionsrechnung.
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Prüfungsvorbereitung für Matura, Abitur und STEOP | Wir erweitern laufend die umfangreiche Angabensammlung von original Prüfungsbeispielen. Wir haben die Prüfungsvorbereitung für Matura, Abitur und STEOP gegliedert in: Matura Österreich AHS - Mathematik, Matura Österreich BHS - Angewandte Mathematik |
Logik | Wissenswertes über Aussagen und Mengen |
Stochastik | Wissenswertes über: Kombinatorik, Beschreibende Statistik - Lagemaße + Streumaße, Schließende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Exporative Statistik - Data Mining |
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Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern | Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstig in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente |
Abbildungsgeometrie | In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen |
Analytische Geometrie | Bei der analytischen Geometrie werden Aufgaben der Geometrie auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt |
Vektor | Ein Vektor ist durch seine Richtung, seine Orientierung und durch seinen Betrag gekennzeichnet |
Trigonometrie | Es geht bei der Trigonometrie um die Berechnung von rechtwinkeligen Dreiecken mit Hilfe vom Verhältnis zweier Dreiecksseiten |
Koordinatensysteme | Koordinatensysteme dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4478
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Holzfeuchte und Holztrocknung - Aufgabe A_307
Teil a
Beim Trocknen verkürzen sich die Seitenlängen eines feuchten quaderförmigen Holzstücks.
a, b, c |
Seitenlängen des quaderförmigen Holzstücks in feuchtem Zustand |
In trockenem Zustand ist die Seitenlänge a um 0,5 %, die Seitenlänge b um 10 % und die Seitenlänge c um 5 % kürzer als in feuchtem Zustand.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens V des quaderförmigen Holzstücks in trockenem Zustand auf. Verwenden Sie dabei die Seitenlängen a, b und c.
V =
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, um wie viel Prozent das Volumen des quaderförmigen Holzstücks in trockenem Zustand kleiner als in feuchtem Zustand ist.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4481
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bordcomputer - Aufgabe A_308
Teil a
Ein Bordcomputer hat 12 min lang die Geschwindigkeit eines PKW aufgezeichnet. Der Graph der so ermittelten Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v ist im nachstehenden Diagramm modellhaft dargestellt.
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von v und der Zeitachse im Intervall [8 min; 12 min] kann durch den Flächeninhalt eines Vierecks angenähert werden. Die gekennzeichneten Gitterpunkte sind die Eckpunkte dieses Vierecks.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie diesen Flächeninhalt im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei auch die zugehörige Einheit an.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4484
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grundstücke - Aufgabe B_518
Teil a
In der nebenstehenden Abbildung ist ein dreieckiges Grundstück dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie mithilfe der gegebenen Seitenlängen, warum der Winkel α der größte Winkel des Dreiecks ist.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Pythagoras, dass α kein rechter Winkel ist.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Winkel α.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Grundstücks.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4493
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521
Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.
Teil b
Ein Teil des anfallenden Materials wird aufgeschüttet. Der dabei entstehende Schüttkegel hat einen Neigungswinkel von 32° (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Radius r eines solchen Schüttkegels mit einem Volumen von 200 m3.
[0 / 1 P.]
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Aufgabe 4498
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Martinigläser - Aufgabe B_523
Teil b
In der nachstehenden Abbildung ist der obere Teil eines teilweise befüllten Martiniglases dargestellt. Dabei handelt es sich um einen Drehkegel mit dem Durchmesser D und der Höhe H.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von z auf. Verwenden Sie dabei H, D und x.
z =
[0 / 1 P.]
Dieses Martiniglas ist bis zur Höhe x befüllt. Das Füllvolumen entspricht dabei dem halben Volumen des Drehkegels mit dem Durchmesser D und der Höhe H.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeigen Sie allgemein, dass die Höhe x rund 80 % der Höhe H beträgt.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4519
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zirbenholzbetten - Aufgabe A_309
Ein Unternehmen stellt Betten aus Zirbenholz mit einem Kopfteil her.
Teil c
In der Mitte des Kopfteils wird ein Stück in Form eines Herzens ausgefräst. Eine Hälfte der Begrenzungslinie des Herzens wird durch eine Kurve beschrieben, die aus dem Kreis bogen k und der daran anschließenden Strecke s besteht (siehe nachstehende Abbildung).
Abbildung fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie, warum k nicht als Graph einer Funktion mit dem Definitionsbereich [0; 2 ∙ r] aufgefasst werden kann.
[0 / 1 P.]
Die Fläche der halben Herzform kann in einen Kreissektor und ein Viereck unterteilt werden. Für den Flächeninhalt dieses Kreissektors gilt:
\({A_1} = \pi \cdot {r^2} \cdot \dfrac{\beta }{{360^\circ }}\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel β.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie diejenige Formel an, mit der man den Flächeninhalt A2 des grau markierten Vierecks berechnen kann.
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Formel 1: \({A_2} = {r^2} \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
- Formel 2: \({A_2} = {r^2} \cdot \tan \left( \alpha \right)\)
- Formel 3: \({A_2} = \dfrac{{{r^2}}}{{\tan \left( \alpha \right)}}\)
- Formel 4: \({A_2} = {r^2} \cdot \sin \left( \alpha \right)\)
- Formel 5: \({A_2} = \dfrac{{{r^2}}}{{\sin \left( \alpha \right)}}\)
Aufgabe 4527
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Infusion – Aufgabe A_312
Wenn eine Medikamentenlösung als Infusion verabreicht wird, gelangt der Wirkstoff meist über einen Infusionsschlauch und eine Nadel in die Vene.
Teil b
Modellhaft betrachtet, hat das Innere eines Infusionsschlauchs die Form eines Drehzylinders. Ein 200 cm langer Schlauch hat einen Innendurchmesser von 3 mm.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie das Innenvolumen des Schlauchs. Geben Sie das Ergebnis in Millilitern an.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4541
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zebraschnecken – Aufgabe B_532
Um das Wanderverhalten von Zebraschnecken zu untersuchen, wird eine Versuchsfläche, auf der solche Schnecken leben, beobachtet.
Teil b
Die nachstehende Abbildung zeigt die Position der Zebraschnecke B an vier aufeinander folgenden Tagen. Die Punkte B1, B2, B3 und B4 sind dabei die Positionen der Zebraschnecke B zu Beginn des 1., 2., 3. bzw. 4. Tages.
Illustration fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Winkel α ein rechter Winkel ist.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Winkel β.
[0 / 1 P.]
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Aufgabe 4554
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kleingartensiedlung – Aufgabe A_318
Teil b
Ein Gartenhaus mit einem Pultdach hat eine rechteckige Grundfläche mit den Seiten a und b (siehe nachstehende Abbildungen).
Abbildung fehlt
a, b, h, H | Längen in cm |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe H auf. Verwenden Sie dabei a und h sowie den Winkel α.
H =
[0 / 1 P.]
In der obigen Abbildung ist das Pultdach als graues Rechteck dargestellt, das auf allen 4 Seiten jeweils gleich weit über den Rand reicht.
- Flächeninhalt 1: \(b \cdot \sqrt {{{\left( {H - h} \right)}^2} - {a^2}} + 60 \cdot 60\)
- Flächeninhalt 2: \(\sqrt {{{\left( {H - h + a} \right)}^2}} \cdot \left( {b + 60} \right)\)
- Flächeninhalt 3: \(\left( {\sqrt {{{\left( {H - h} \right)}^2} + {a^2}} + 60} \right) \cdot \left( {g + 60} \right)\)
- Flächeninhalt 4: \(60 \cdot b + \left( {\sqrt {{H^2} - {h^2} + {a^2}} \cdot b} \right)\)
- Flächeninhalt 5: \(\left( {60 + \left( {{H^2} - {h^2} + {a^2}} \right)} \right) \cdot b\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie den richtigen Ausdruck für den Inhalt der Fläche des grauen Rechtecks an.
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5609
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tischplatte – Aufgabe B_554
Eine Tischlerei erhält die nachstehend abgebildete Skizze einer Tischplatte und erstellt dazu drei Entwürfe.
Illustration fehlt
Teil a
Der erste Entwurf für die Tischplatte ist in der unten stehenden Abbildung dargestellt. Die Begrenzungslinie der Tischplatte setzt sich aus dem Kreisbogen b mit dem Mittelpunkt M und den Strecken s1, s2 und c zusammen.
Illustration fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe von r und α eine Formel zur Berechnung von h auf.
h =
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Markieren Sie in der obigen Abbildung eine Strecke x, deren Länge mit der nachstehenden Formel berechnet werden kann.
\(x = \dfrac{c}{2} - \sqrt {{r^2} - {h^2}} \)
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5615
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Seifenkisten – Aufgabe B_535
Seifenkisten sind einfache Fahrzeuge ohne Motor.
Teil a
Ein spezielles Lenksystem für Seifenkisten hat die Form eines Vierecks (siehe nachstehende Abbildungen).
Abbildung fehlt
Es gilt: a = 60 cm, v = 96 cm, k = 13 cm.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie s.
[0 / 1 / 2 P.]
Beim Lenken ändert sich die Form des Vierecks (siehe nachstehende Abbildung).
Abbildung fehlt
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel α, für den gilt:
\(\alpha = \arccos \left( {\dfrac{{{k^2} + {s^2} - \left( {{a^2} + {k^2}} \right)}}{{2 \cdot s \cdot k}}} \right)\)
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5616
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Seifenkisten – Aufgabe B_535
Seifenkisten sind einfache Fahrzeuge ohne Motor.
Teil b
Ein Rad einer bestimmten Seifenkiste hat einen Außendurchmesser von 45 cm. Die Seifenkiste erreicht eine Geschwindigkeit von 36 km/h.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Anzahl der Umdrehungen pro Minute, die das Rad bei dieser Geschwindigkeit macht.
[0 / 1 P.]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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